數(shù)學 2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預測數(shù)學中檔大題練2含答案

中檔大題練2(限時40分鐘)1.如圖,在三角形ABC中,AC⊥BD,DC-BC=12(1)證明:sin∠BAD【解析】(1)因為sin∠BAD=sin(B+D),所以欲證sin∠BAD即證sin(B+D)=2sin(B-D),即證sinBcosD+cosBsinD=2sinBcosD-2cosBsinD,即證3cosBsinD=sinBcosD,即證tanB=3tanD,即證ACBC=3·AC需證CD=3BC,因為DC-BC=12BD所以DC-BC=12(DC+BC),化簡得CD=3BC故得證;(2)若sinB=45,求tan∠BAD的值【解析】(2)由sinB=45=ACAB,不妨設AC=4m,AB=5則BC=3m,DC=3BC=9m,所以tan∠BAC=BCAC=34,tan∠DAC=DCAC所以tan∠BAD=tan(∠BAC+∠DAC)=tan∠=34+92.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+alnx,(a∈R).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】(1)f(x)的定義域為x∈(0,+∞),當a=0時,f(x)=x2-2x,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,當a≠0時,f'(x)=2x-2+ax=2x2-2x+ax,令g(又因為Δ=4-8a,當Δ≤0,即a≥12時,g(x)≥0,此時f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增當Δ>0,即a<12時,令g(x)=0,解得x1=1-1-2a其中,當0<a<12時,0<x1<x2,x∈(0,x1)∪(x2,+∞),此時g(x)>0,x∈(x1,x2),g(x所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減;當a<0時,x1<0<x2,x∈(0,x2),g(x)<0,x∈(x2,+∞),g(x)>0,故f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.當a=0時,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.綜上:a≥12,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;0<a<12,f(x)在(0,1-1-2a2)和(1+1-2a2,+∞)上單調(diào)遞增,在(1-1-2a2,1+1-(2)若對任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使x2f(x1)-x【解析】(2)解法一:不妨設0<x1<x2,則x2f(x1)-x1f(x2)<0,同除以x1x2得f(x1所以令G(x)=f(x)x=當x∈(0,+∞)時,G'(x)=1+a(1-若a=0,G'(x)=1>0恒成立,符合題意;當a>0時,1a≥lnx令F(x)=lnx則F'(x)=3-所以F(x)在(0,e32)上單調(diào)遞增,在(e3所以1a≥F(e32)=12e3,所以若a<0,同理1a≤lnx-1x2恒成立,由上知,當x→0+,綜上所述:a∈(0,2e3].解法二:由(x1-x2)[x2f(x1)-x1f(x2)]>0得,(x1-x2)[f(x1)令m(x)=f(x)x=x-2+alnxx,則只需m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即m'(x)≥0恒成立,m'(x)=x2+a(1-lnx)x2,令又n'(x)=2x-ax=2①當a=0時,n(x)=x2,n(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增成立;②當a<0時,n'(x)>0,n(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又x→0+,n(x)→-∞,故n(x)≥0不恒成立.不滿足題意;③當a>0時,由n'(x)=0得x=a2或-a2(舍),n(x)在(0,a2)上單調(diào)遞減,在(a因為n(x)≥0恒成立,所以n(x)min=n(a2)=a2(3-ln解得0<a≤2e3,綜上,a∈(0,2e3].3.研究表明,溫度的突然變化會引起機體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應,從而導致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某中學數(shù)學建模社團成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差,并到校醫(yī)務室查閱了這六天中每天高三學生新增患感冒而就診的人數(shù),得到資料如表:日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x(℃)47891412新增就診人數(shù)y(位)y1y2y3y4y5y6參考數(shù)據(jù):∑i=16y(1)已知第一天新增患感冒而就診的學生中有7名女生,從第一天新增患感冒而就診的學生中隨機抽取3人,若抽取的3人中至少有一名男生的概率為1724,求y1的值【解析】(1)因為1-C73C所以7×6×5y1(所以y1(y1-1)(y1-2)=720=10×9×8,所以y1=10.(2)已知兩個變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=1516,請用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程=x+,據(jù)此估計晝夜溫差為15℃時,該校新增患感冒的學生數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)).參考公式:=∑i=1n(xi【解析】(2)因為∑i=16所以x=9,所以∑i=1因為r=∑=∑i=16所以∑i=16(xi-x)(yi所以=∑i=16(xi又因為∑i=16(yi-y)2=∑i=16解得y=22.所以=y-x=22-158×9=418,所以=418+158x,當x=15時,=418+15所以可以估計,晝夜溫差為15℃時,該校新增患感冒的學生數(shù)為33人.4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an+2n-1.(1)求證:數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列;【解析】(1)當n=1時,a1=2a1+1,解得a1=-1,當n≥2時,由Sn=2an+2n-1,可得Sn-1=2an-1+2n-3,兩式相減得an=2an-2an-1+2,所以an-2=2(an-1-2),又因為a1-2=-3,所以{an-2}是首項為-3,公比為2的等比數(shù)列.(2)已知bn=n(2-an)3,求數(shù)列{bn【解析】(2)由(1)知,an-2=-3×2n-1,所以bn=n(2-an)設數(shù)列{bn}的前n項