肇慶市實驗中學(xué)高中數(shù)學(xué)學(xué)案：第課極坐標與參數(shù)方程（綜合訓(xùn)練5）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【選修4-4】第22課極坐標與參數(shù)方程(綜合訓(xùn)練5)一、學(xué)習(xí)要求1.掌握極坐標與直角坐標互化公式，并能熟練地進行坐標互化;2。能熟練地進行極坐標方程與直角坐標方程的互化；并能把極坐標問題轉(zhuǎn)化為直角坐標問題來解決。3.掌握直線、圓、橢圓的參數(shù)方程及簡單應(yīng)用.能熟練地把它們的參數(shù)方程化為普通方程;4。能利用直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的意義解決求兩點間的距離、弦長等問題.二、問題探究■合作探究例1．在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為(1）已知在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為(4，π2)（2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求點Q到直線l解:（1）點P的極坐標(4，π2)∵點P的直角坐標是(0，4)滿足方程x-y+4=0∴點P在直線l（2）∵點Q在曲線C上，∴設(shè)Q(3點Q到直線l的距離為：當cos(φ+π6)∴點Q到直線l的距離的最小值是2三、問題過關(guān)1。設(shè)直線l經(jīng)過點M0（1)求直線l(2)求直線l和直線l1：x-y-23（3）求直線l和圓x2+y2=16（4）求直線l被圓x2解:（1）由直線的參數(shù)方程，得直線lx=1+tcosπ6（2）把直線l的參數(shù)方程中的x，y代入直線得(1+3∴直線l和直線l1:x-y-23t=10+6（3）把直線l的參數(shù)方程中的x，y代入圓方程(化簡，得tt1+t∴兩個交點A，B到點M0距離的積為t（4）由（3）知,t1+t∴直線l被圓AB=(5+2。已知點P(x，y（1)求2x+y(2）若x+y+a≥0解：（1)把圓方程配方，得x2+(y-1)2設(shè)圓的參數(shù)方程為x=cosθ則P(cos∴∵-1≤sin(θ+φ)≤1，∴2x+y的取值范圍是(2）∵-x+y當sin(θ+π∵x+y+a≥0恒成立,即∴a≥∴實數(shù)a的取值范圍[1．【10新課標(文23）】（本小題滿分10分）已知直線:（為參數(shù))，：（為參數(shù)）,（Ⅰ）當時，求與的交點坐標；（Ⅱ)過坐標原點做的垂線，垂足為，為中點，當變化時，求點的軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線?！窘狻浚á?當時,的普通方程為，的普通方程為.由，解得，；∴與的交點為，.(Ⅱ）的普通方程為：?！吲c直線垂直，可得的方程為；由解得點的坐標為：；∵為中點,∴當變化時，點的軌跡的參數(shù)方程為：(為參數(shù)）；∴點的軌跡的普通方程為?！帱c軌跡是圓心坐標為,半徑為的圓.2．【11新課標(文23）】（本小題滿分10分)在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。是上的動點，點滿足,點的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求。【解】（Ⅰ)設(shè)，則由條件知?！唿c在上，∴，即；∴的參數(shù)方程為：（為參數(shù))。（Ⅱ）曲線的極坐標方程為；曲線的極坐標方程為.射線與的異于極點的交點為的極徑為，射線與的異于極點的交點為的極徑為?！?【另解】曲線的普通方程為；曲線的普通方程為；射線的普通方程為（).解方程組，得射線與的異于極點的交點為;解方程組，得射線與的異于極點的交點為?！唷?．【12新課標（文23）】（本小題滿分10分)已知曲線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線的極坐標系方程是,正方形的頂點都在上，且，,，依逆時針次序排列，點的極坐標為.(Ⅰ）求點，，,的直角坐標；(Ⅱ）設(shè)為上任意一點，求的取值范圍。【解】（Ⅰ）∵點的極坐標為,且正方形的頂點,，，依逆時針次序排列，∴點，，的極坐標分別為：,，.∴點，，,的直角坐標分別為：，，,。（Ⅱ)設(shè)?！唿c在曲線上，∴(為參數(shù)）.∵，∴，∵，∴，∴的取值范圍是.4．【13新課標Ⅰ（文23)】（本小題10分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。（Ⅰ）把的參數(shù)方程化為極坐標方程；（Ⅱ）求與交點的極坐標（，）。【命題意圖】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標方程與直角坐標方程互化及兩曲線交點求法、極坐標與直角坐標互化,是容易題?！窘狻浚á?將曲線的參數(shù)方程(為參數(shù)）消去參數(shù),得曲線的普通方程為；∵，∴即，∴的極坐標方程為：。（Ⅱ）將的極坐標方程為化為普通方程得：;由,解得或；∴與交點的極坐標，。5．【13新課標Ⅱ(文23）】（本小題滿分10分）已知動點，都在曲線:(為參數(shù)）上，對應(yīng)參數(shù)分別為與(），為的中點.(Ⅰ）求的軌跡的參數(shù)方程；（Ⅱ）將到坐標原點的距離表示為的函數(shù)，并判斷的軌跡是否過坐標原點。【解】（Ⅰ）依題意有，,∴，∴的軌跡的參數(shù)方程為：(為參數(shù)，）。（Ⅱ）到坐標原點的距離：，∵當時,，∴的軌跡過坐標原點。6．【14新課標Ⅰ（文23）】（本小題滿分10分)已知曲線:，直線：(為參數(shù)）。（Ⅰ）寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程；（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為的直線,交于點，求的最大值與最小值。【解】（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，直線的普通方程為：。（Ⅱ）在曲線上任意取一點到的距離為：,∴，其中為銳角，且。當時，取得最大值，最大值為；當時，取得最小值，最小值為。7．【14新課標Ⅱ（文23）】在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓的極坐標方程，。（Ⅰ)求的參數(shù)方程；（Ⅱ)設(shè)點在上,在處的切線與直線：垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定的坐標。【解】（Ⅰ）∵半圓的極坐標方程為：，，∴半圓的直角坐標方程為：(，）。令，，,∴半圓的參數(shù)方程為:（）。（Ⅱ）∵曲線在處的切線與直線:垂直，∴直線和直線平行，∴直線和直線斜率相等；設(shè)點的坐標為，∵，∴，解得，∵，∴?！帱c的坐標為。8．【15新課標Ⅰ（文23）】在直角坐標系中，直線：,圓：，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求，的極坐標方程。(Ⅱ）若直線的極坐標方程為（），設(shè)，的交點為，，求的面積?！窘狻?Ⅰ)∵，，∴的極坐標方程為:；的極坐標方程為：。（Ⅱ)由，解得，，∴，∵圓的半徑為1，∴的面積為：.9．【15新課標Ⅱ(文23）】在直角坐標系中,曲線:(為參數(shù)，且),其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極