重慶市巴川中學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一階段測數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市巴川中學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一階段測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．2．已知向量，若，則（）A． B．4 C． D．53．已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的半圓，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（）A． B． C．30 D．605．已知圓：，直線：，則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，，是其一條漸近線上的兩點(diǎn)，且，若的面積等于，則的最小值為（）A． B．2 C． D．47．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，如果對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是函數(shù)定義域內(nèi)的極小值點(diǎn)B．的單調(diào)減區(qū)間是C．若有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則D．在定義域內(nèi)既無最大值又無最小值10．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是11．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，直線：與相交于點(diǎn)，與的一條漸近線相交于點(diǎn).記的離心率為，那么（

）A．若，則B．若，則C．落，則D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知拋物線上，點(diǎn)在此拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則．13．若曲線只有一條過原點(diǎn)的切線，則的值為．14．記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若的面積為，，求的值.16．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17．如圖，在圓柱中，是圓柱的一條母線，是底面圓的內(nèi)接四邊形，是圓的直徑，為上一點(diǎn).(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.18．已知橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，為橢圓上異于的不同兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為.（?。┰噯査谥本€是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由；（ⅱ）若為橢圓上異于的一點(diǎn)，且，求的面積的最小值.19．對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令函數(shù)，若是的極值點(diǎn)，則稱點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”．(1)對(duì)于函數(shù)，證明：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”；(2)對(duì)于函數(shù)，若不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，求的取值范圍；(3)對(duì)于函數(shù)，若存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，求的取值范圍．

參考答案1．【答案】D【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選D.2．【答案】A【詳解】由，可得，又由，則得，即，解得.故選A.3．【答案】C【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，母線長為，則，，所以，所以，所以該圓錐的體積為.故選C.4．【答案】B【詳解】由題意可得.故選B.5．【答案】A【詳解】將直線方程進(jìn)行變形：因?yàn)椋钥陕?lián)立方程組，解得..所以直線恒過定點(diǎn).已知圓：，則圓心，半徑.可得圓心與定點(diǎn)的距離為：.因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部.當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，弦長最短.此時(shí)弦長的一半、圓心與定點(diǎn)的距離以及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，其中圓的半徑為斜邊.根據(jù)勾股定理，弦長的一半為.所以弦長的最小值為.直線被圓截得的弦長的最小值為.故選A.6．【答案】B【詳解】

設(shè)，是漸近線上的兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以的面積為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2.故選.7．【答案】A【詳解】是偶函數(shù)，，則，即是奇函數(shù)，由，可得，構(gòu)造，則單調(diào)遞增；，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，由單調(diào)性可得，解得故選A.8．【答案】B【詳解】解：依題意只需在時(shí)．又，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以．對(duì)分類討論：①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立；②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則，不符合題意．綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B．9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域滿足，解得，由，令可得和，當(dāng)或時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí).所以在上單調(diào)遞增，這表明是的極小值點(diǎn)，A正確；對(duì)B，的單調(diào)減區(qū)間是，，故B不正確；對(duì)D，由A可得當(dāng)和時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，且，作出簡圖，可得的值域是，故D正確；對(duì)C，由圖象可得，與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，故C正確；故選ACD.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A、C：因?yàn)?，且，所以，，又因?yàn)?，所以，解得；所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以，即選項(xiàng)D正確.故選BCD.11．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，直線與雙曲線一條漸近線平行，由漸近線性質(zhì)可得，對(duì)于A，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由向量數(shù)量積為0，可得齊次式，從而得解；對(duì)于B，在中，求出，再結(jié)合雙曲線定義可求解；對(duì)于C，由為的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可解；對(duì)于D，結(jié)合雙曲線定義和余弦定理求出，再結(jié)合條件得解.【詳解】根據(jù)題意，雙曲線漸近線方程為：，則直線與平行，由兩漸近線斜率互為相反數(shù)，從而傾斜角互補(bǔ)，從而又則，

聯(lián)立，可得A選項(xiàng)：，則有，所以正確.B選項(xiàng)：由，則有，又，所以，所以，В錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：由，則，因?yàn)樵谏?，所以有，所以正確.選項(xiàng)：由，解得，，由，即，解得，所以，D錯(cuò)誤.故選AC.【方法總結(jié)】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線一條漸近線平行，由漸近線性質(zhì)可得，從而求解各選項(xiàng).12．【答案】5【詳解】點(diǎn)在此拋物線上，解得，所以．13．【答案】或【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,∴切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵曲線只有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線切，∴,解得或,∴或.14．【答案】【詳解】解：已知，當(dāng)時(shí)，，解得或,因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，舍去，所以，當(dāng)時(shí)，，整理可得，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，則是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，令，則.對(duì)求導(dǎo)，得，令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)殡S增加而增大，，；，；，；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解即可；（2）由正弦定理及面積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，又，所?（2）由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.16．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?duì)上式兩邊同時(shí)取倒數(shù)有：所以，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以?7．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槭菆A柱的一條母線，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)榈酌?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸?軸?軸正方向，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，連接,因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以是等邊三角形，所以，是圓的直徑，則，，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，底面平面，故,又，平面，所以底面，所以平面的一個(gè)法向量可取為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，因?yàn)椋蓤D可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為18．【答案】(1)(2)（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）.【詳解】（1）由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)為，，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，則，又，所以，所以所以橢圓的方程為.（2）（?。┤糁本€斜率不存在，設(shè)，，則，而，故不成立.所以直線的斜率存在，設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，消去得：，①設(shè)，，，，，，.整理得.所以直線恒過點(diǎn)（0,0）.（ⅱ）由（ⅰ）知，，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，設(shè)所在直線方程為，則，，當(dāng)時(shí)，亦符合上式，所以.令，，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取最大值4，所以當(dāng)，即時(shí)，面積最小，最小值為.19．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則2是的極小值點(diǎn)，故存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”；（2），因?yàn)椴淮嬖邳c(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，所以沒有極值點(diǎn)，若，則沒有極值點(diǎn)，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞堿，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，綜上，；（3），因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“邊界點(diǎn)”，所以有2個(gè)極值點(diǎn)，令函數(shù)，