上海大學附屬中學2024−2025學年高二下學期期中考試 數(shù)學試卷（含解析）

上海大學附屬中學2024?2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、填空題（本大題共12小題）1．已知直線的方程為，則直線的傾斜角為.2．若正數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列，則正數(shù).3．已知為正整數(shù)．若，則．4．計算.5．若二項式的展開式共有6項，則此展開式中含的項的系數(shù)是.6．已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列命題中正確的有.①有2個駐點②在處取得極小值③有極大值，沒有極小值④在上嚴格增7．是等差數(shù)列的前項和，若且，則當取得最大值時的.8．已知數(shù)列為嚴格增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為9．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則.10．有名同學報名參加暑期區(qū)科技館志愿者活動，共服務兩天，每天需要兩人參加活動，則恰有人連續(xù)參加兩天志愿者活動的概率為．11．已知數(shù)列的前項和，設為數(shù)列的前項和，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.12．已知空間向量，，兩兩之間的夾角均為，且，，，若向量，分別滿足與，則的最小值為．二、單選題（本大題共4小題）13．如果函數(shù)在處的導數(shù)為1，那么（

）A． B．1 C．2 D．14．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且與的等差中項為，則（

）A． B． C． D．15．直線（不全為0）與圓有公共點，且公共點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線有（

）A．60條 B．66條 C．72條 D．78條16．在數(shù)列中，，，.對于命題：①存在，對于任意的正整數(shù)，都有.②對于任意和任意的正整數(shù)，都有.下列判斷正確的是（

）A．①是真命題，②也是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是假命題，②也是假命題三、解答題（本大題共5小題）17．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與平行．(1)求的值：(2)求的單調(diào)增區(qū)間．18．已知拋物線經(jīng)過點.(1)求的值和拋物線的準線方程；(2)已知直線與拋物線交于兩點，求.19．在數(shù)列中，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前項和，求以及.20．如圖，在平面中，，在四棱錐中，平面為的中點，在上，且.(1)求證:；(2)求點到平面的距離；(3)求平面與平面所成的二面角大?。?1．已知雙曲線的漸近線上一點與右焦點的最短距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)為坐標原點，直線與雙曲線的右支交于兩點，與漸近線交于兩點，與在軸的上方，與在軸的下方．（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍．（ⅱ）設，分別為的面積和的面積，求的最大值．

參考答案1．【答案】【詳解】因為直線的方程為，所以直線的斜率1，令直線的傾斜角為，則，因為，所以.2．【答案】【詳解】由題，可得，又，.3．【答案】【詳解】由得,則.4．【答案】/【詳解】由無窮等比數(shù)列的求和公式可得.5．【答案】10【詳解】因二項式的展開式共有6項，則，則展開式第項滿足：，令，則系數(shù)為.6．【答案】①③④【詳解】觀察圖象知，當時，，當且僅當，當時，，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，無極小值，因此①③④正確，②錯誤.7．【答案】10【詳解】由，得，，又，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，所以當時，取得最大值.8．【答案】【詳解】根據(jù)題意，可得，即，，對，又數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則，.9．【答案】97【詳解】∵，，∴，∴，∴.故答案為：9710．【答案】【詳解】每天從5名同學中抽取2名參加志愿者活動，一共有種方式，恰有一人連續(xù)參加兩天志愿者活動有種方式，由古典概型的概率公式可得恰有1人連續(xù)參加兩天志愿者活動的概率為.11．【答案】【詳解】由，，，，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，，時，，所以當時，取最小值的取值范圍是.12．【答案】/【詳解】依題意，，，因為，所以，所以，所以，令，則，且，由，得，所以，所以，當且僅當，共線同向且，共線時等號成立.13．【答案】A【詳解】因為，所以，所以．故選A．14．【答案】D【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為，設其公比為，由已知，故，所以，，則，故，所以，，故.故選D.15．【答案】D【詳解】因，，則公共點為：，共12個.若這樣的直線為圓的切線，則滿足題意的切線有12條；若這樣的直線不為圓的切線，則由兩點確定一條直線，滿足的直線有條.則這樣的直線有78條.故選D16．【答案】A【詳解】對①，當時，易得，，，，，…故數(shù)列為2，2，1循環(huán).所以對于任意的正整數(shù)，都有成立，故①正確；對②，對于任意，有，，，，設數(shù)列中第一項滿足的項為，則，此時易得，又，且由題意，恒成立，故，即數(shù)列中所有項都滿足，故，因為，與矛盾，故對于任意和任意的正整數(shù)，都有.故選A17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）函數(shù)，求導得，由曲線在點處的切線與平行，得即，解得，此時，點不在直線上，所以.（2）由（1）知，其定義域為，，由，即，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間是.18．【答案】(1).(2).【詳解】（1）解：代入，得解得，所以準線方程是；（2）解：由，可得，設方程的兩根為，則，，所以.19．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由對正整數(shù)恒成立，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），..20．【答案】(1)證明見解析(2)(3)或.【詳解】（1）由于平面，，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由，得，則，，，，，設點，由，得，解得，即，所以，，所以，又，所以.（2）由（1）得，則，，設平面的一個法向量為，則，令，得，，，又，所以點到平面的距離為.（3）由（2）得平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的二面角大小為或.21．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）設雙曲線的焦距為，且，因為到直線的距離