山東省重點(diǎn)高中2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期3月大聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

山東省重點(diǎn)高中2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（

）A．3 B． C．6 D．2．已知函數(shù)，則的值為（

）A．0 B． C． D．3．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)在處取得極小值10．已知函數(shù)圖象上的一條切線與的圖象交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，則下列結(jié)論不正確的有（

）A．函數(shù)的最小值為B．函數(shù)的值域?yàn)镃．的最小值為D．函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的切線傾斜角的所在范圍為11．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為B．當(dāng)時，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C．若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D．若過原點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則．13．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為.14．若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最值．16．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求曲線在點(diǎn)A處的切線方程；(2)求曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程．17．如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長，圓柱的體積為V．(1)求出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；(2)當(dāng)x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？18．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線為的切線，求a的值；(3)已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點(diǎn)，求a的取值范圍.19．約瑟夫·路易斯·拉格朗日是聞名世界的數(shù)學(xué)家，拉格朗日中值定理就是他發(fā)現(xiàn)的.定理如下：若函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)（函數(shù)圖象沒有間斷）；②函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)存在）．則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中稱為“拉格朗日中值點(diǎn)”．(1)求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個數(shù)；(2)對于任意的實(shí)數(shù)，，證明：；(3)已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件，當(dāng)時，證明：．

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，所以，所以．故選B.2．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選D.3．【答案】C【詳解】，∵點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選C．4．【答案】D【詳解】由，得，根據(jù)題意得，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選D．5．【答案】B【詳解】因?yàn)?，則，其中，令，解得，令，解得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?，，解?故選B.6．【答案】D【解析】由題意得，令，求的取值范圍可得答案.【詳解】由，則，令，則，當(dāng)?shù)茫瑔握{(diào)遞增，當(dāng)?shù)?，單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)趨向于正無窮大時，也趨向于正無窮大，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，則.故選D.7．【答案】B【詳解】由題意，、關(guān)于軸對稱，∴與在上有交點(diǎn)，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選B.8．【答案】A【詳解】令，則，所以在R上單調(diào)遞增，由，得，即，又在R上單調(diào)遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選A.9．【答案】ACD【詳解】對于A．因?yàn)樵趨^(qū)間上成立，所以區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間，故A正確；對于B．因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C．因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極大值，故C正確；對于D．因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在處取得極小值，故D正確.故選ACD．10．【答案】ABD【詳解】已知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選項(xiàng)A、B不正確；設(shè)直線l與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則直線l的方程為，即，直線l與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選項(xiàng)C正確;，可知切線斜率可為負(fù)值，即傾斜角可以為鈍角，故選項(xiàng)D不正確．故選ABD.11．【答案】AB【詳解】由，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，又由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；當(dāng)時，令，可得或，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，必有，可得，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)為（其中），由切線過原點(diǎn)，有，整理為，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由時，；時，；及，可知當(dāng)時，關(guān)于m的方程有且僅有3個根，可得過原點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，故D選項(xiàng)錯誤，故選AB．12．【答案】【詳解】由，函數(shù)兩邊求導(dǎo)得：，令，則，所以代入函數(shù)得：．13．【答案】/0.5【詳解】由，可知，所以.14．【答案】/【詳解】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故，即a的最小值為．15．【答案】(1)；(2)，．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值為，當(dāng)時，取得極小值為，又，，所以，．16．【答案】(1)；(2)和．【詳解】（1）依題意可得，則，∴，∵，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）設(shè)過原點(diǎn)的切線方程為，則切點(diǎn)為，則消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程為和．17．【答案】(1)，定義域?yàn)椋?2)當(dāng)時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所以，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則，即，所以，定義域?yàn)椋?）由（1）得，，，令，則，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是18．【答案】(1)答案見解析；(2)1；(3).【詳解】（1）由，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)切點(diǎn)為，依題意得，所以，又因?yàn)?，代入，可得，設(shè)，則，所在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?（3），，所以曲線在處的切線方程為，即，設(shè)，，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個零點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，?dāng)，，所以有兩個零點(diǎn)，不符題意；④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，?dāng)，，所以有兩個零點(diǎn)，不符題意；綜上，a的取值范圍是.19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，，，，所以在上的“拉格朗?/p>