2025年黑龍江齊齊哈爾高三三模高考數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁數(shù)學試卷本試卷共8頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條碼區(qū)域”2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)，則z在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知空間中不過同一點的三條直線，則“共面”的一個充分不必要條件是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．兩兩相交3．已知全集，若，則下列說法正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且4．在中，角所對的邊分別為，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知點在冪函數(shù)的圖象上，設，，，則（

）A． B． C． D．6．已知為坐標原點，在扇形中，為劣弧的中點，則（

）A． B． C． D．7．有一組樣本數(shù)據為，3，7，8，9，11，在其中添加一個數(shù)構成一組新的樣本數(shù)據，若，則新舊樣本數(shù)據的下四分位數(shù)相等的概率為（

）A． B． C． D．8．已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（

）A． B．1 C． D．e二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的數(shù)字圖形（見下圖），即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數(shù)列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，?，則下列說法正確的是（

）A．B．C．第項為D．從楊輝三角的圖中抽取一斜線的數(shù)列1，3，6，10，15，…，得到其倒數(shù)和，則10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若有兩個極值點B．的對稱中心為C．過平面內一點作的切線最多有三條D．有三個不同的根，則11．已知為坐標原點，橢圓的方程：，其左右焦點為，離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于兩點，是的中點（是異于長軸端點的點），在中，記，則下列說法正確的是（

）A．B．C．與橢圓切于點的切線方程為D．若直線的斜率存在，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236，567），則比423大的三位“漸升數(shù)”共有個．13．已知是拋物線的焦點，是拋物線上的點，為坐標原點，當時，則的面積為．14．已知四面體中，，則此四面體的體積為，若用平行于的平面截此四面體，得到截面四邊形，則此四邊形的對角線的最小值為．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列滿足，數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列的前項和為，若______．下面三個條件中任選一個，補充在上面橫線中．①；②成等差數(shù)列；③成等比數(shù)列．記數(shù)列滿足求數(shù)列的前20項和．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．16．如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，且，，為邊長為2的等邊三角形．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．17．已知函數(shù)(1)若，討論函數(shù)在的單調性；(2)若，求證：．(3)若在上有唯一的零點，求實數(shù)的最小值．18．已知雙曲線過點，且與直線有唯一的公共點，過點且與直線垂直的直線分別交軸，軸于兩點．(1)當點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；如果推廣到雙曲線，你能得到什么相應的結論？（只需寫出結論，不需要證明）(2)是雙曲線上的兩個不相同的點，若直線的斜率之和為0，證明：（點不與原點重合）19．泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述在固定時間或空間內某事件發(fā)生的次數(shù)，廣泛應用于通信，交通，生物學，金融和質量控制等領域．若隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布（記作），則其概率分布為．(1)當時，泊松分布可以用正態(tài)分布來近似；當時，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時可認．若，估計的值；(2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率為，各芯片是否為次品相互獨立，以記產品中的次品數(shù)．①若，求在1000個產品中至少有2個次品的概率；②若，求在1000個產品中至少有2個次品的概率；通過①，②的計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律；(3)若，且，在保留小數(shù)點后一位的時候，求證：的最大值為0.1．參考數(shù)據：若，則，，，，，答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】計算出，則可選出答案.【詳解】，所以復數(shù)z在復平面內對應的點為，在第二象限.故選：B2．D【分析】根據充分不必要條件得要求推出各選項是否能保證三條直線共面.【詳解】選項A：，且，三條直線可能在不同的平面.選項B：，且，三條直線可能分布在三個平行平面內.選項C：，且，垂直于但可能不在與確定得平面內.選項D：兩兩相交且不過同一點得三條直線必然共面.故選：D3．A【分析】依題意畫出Venn圖表示出集合間的基本關系，即可判斷出元素與集合間的關系.【詳解】根據題意，畫出Venn圖如下圖所示：由圖可知，且，即A正確；顯然，可得B錯誤，，C錯誤，，可知D錯誤.故選：A4．B【分析】利用余弦定理求出的值，再根據面積公式求出三角形面積.【詳解】由余弦定理得，代入，整理可得，所以.故選：B5．C【分析】根據冪函數(shù)的定義可求得的值，根據可求出的值，然后利用該函數(shù)的單調性可得出、、的大小關系.【詳解】因為點在冪函數(shù)的圖象上，則，解得，所以，可得，故，因為，，，且函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，則，故.故選：C.6．B【分析】根據已知有扇形的半徑且，，再應用二倍角余弦公式求得、，即可得坐標.【詳解】由題設，易知扇形的半徑且，又為劣弧的中點，則，所以，所以，則，由，則.故選：B7．C【分析】求出原始數(shù)據的下四分位數(shù)為3，再重新求得新的一組數(shù)據的下四分位數(shù)，求出滿足題意的所有的取值，即可求得相應概率.【詳解】易知樣本數(shù)據共6個，，因此樣本數(shù)據的下四分位數(shù)為第2個數(shù)，即3；添加一個數(shù)構成一組新的樣本數(shù)據共有7個數(shù)，，因此新數(shù)據的下四分位數(shù)為第2個數(shù)，也得為3；所以添加的數(shù)大于等于3即可滿足題意，即可以為；在中任選一個作為共有6種選擇，因此所求概率.故選：C8．D【分析】利用導數(shù)分別判斷出、的單調性，求出零點可得答案.【詳解】令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，又當時，，而，所以；由，得，所以在單調遞增，由，得，則.故選：D.9．AC【分析】將數(shù)列數(shù)列、、、、、、、、、、變成數(shù)陣，確定數(shù)陣第行有個數(shù)，從左向右分別為.對于A，確定分別在該數(shù)陣第行的第2個和第4個即可判斷；對于B，確定位于該數(shù)陣第行第個數(shù)即可求和；對于C，確定第項為第行第1個即可；對于D，根據楊輝三角得到，利用裂項相消求和法求和即可.【詳解】將數(shù)列、、、、、、、、、、變成以下數(shù)陣：則該數(shù)陣第行有個數(shù)，從左向右分別為，第行最后一項位于原數(shù)列第項，對于A，因為，所以分別在該數(shù)陣第行的第2個和第4個，故，即，選項A正確；對于B，因為，所以位于該數(shù)陣第行第個數(shù)，由題意可知，該數(shù)陣第行所有數(shù)為“楊輝三角”數(shù)陣中第行去掉首、尾兩個得到，而“楊輝三角”中第行所有數(shù)之和為，所以，該數(shù)陣第行所有數(shù)之和為，所以，選項B錯誤；對于C，因為，所以第項為第行第1個，即，選項C正確；對于D，根據楊輝三角知，，選項D錯誤.故選：AC.10．BC【分析】對于A，即判斷，的不同解個數(shù)是否是2；對于B，由對稱中心定義可得，由題可得，結合賦值法可得對稱中心；對于C，設平面內一點為，設其對應切線的切點為，說明存在使有三個解即可判斷選項正誤；對于D，通過比較與系數(shù)可判斷選項正誤.【詳解】對于A，，當時，則的判別式，則有兩個不同根或有兩個相同根，則有兩個極值點或無極值點，故A錯誤；對于B，設對稱中心為：，則.即，則，則，則，令，則.故B正確；對于C，設平面內一點為，設其對應切線的切點為.則切線方程滿足：，即，因在切線上，則，當，即時，，若還有，則方程有三個根，分別為：，即此時對于，存在三個不同的切點，即過平面內一點作的切線最多有三條，故C正確；對于D，有三個不同的根，則，即，與相比較，可得，故D錯誤.故選：BC11．ACD【分析】利用橢圓定義及正弦定理推理判斷A；利用橢圓定義、余弦定理、三角形面積公式及二倍角公式求解判斷B；設出切線方程并現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出切線斜率判斷C；設出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立推理判斷D.【詳解】令橢圓的半焦距為，則，對于A，在中，由正弦定理，得，因此，A正確；對于B，在中，由余弦定理，得，則，，B錯誤；對于C，與橢圓切于點的切線斜率存在，設方程為，由消去得：，，整理得，而，則，即，解得，因此切線方程為，整理得，C正確；對于D，設直線的方程為，點，由消去得，，，，D正確.故選：ACD12．20【分析】根據定義結合分類加法計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】完成這件事需選出3個數(shù)，要滿足“漸升數(shù)”需分類來解.當百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為5時，個位上的數(shù)字有4種選法；當百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為6時，個位上的數(shù)字有3種選法；當百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為7時，個位上的數(shù)字有2種選法；當百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；當百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為6時，個位上的數(shù)字有3種選法；當百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為7時，個位上的數(shù)字有2種選法；當百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；當百位上的數(shù)字為6，十位上的數(shù)字為7時，個位上的數(shù)字有2種選法；當百位上的數(shù)字為6，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；當百位上的數(shù)字為7，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法；所以比423大的三位“漸升數(shù)”共有個.故答案為：20.13．【分析】根據題意，求得拋物線的方程為，根據，不妨設直線的傾斜角為，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結合，即可求解.【詳解】由是拋物線的焦點，可得，所以，即，又由為坐標原點，且，如圖所示，不妨設直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，即，解得或（舍去），可得所以的面積為.故答案為：.14．【分析】對于四面體體積，可將其補成長方體，利用長方體與四面體的關系求解；對于截面四邊形對角線的最小值，先根據面面平行性質證明四邊形是平行四邊形，再通過相似三角形得到邊的關系，最后將對角線長度表示為關于某一變量的函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【詳解】(1)將四面體補成長方體，設長方體的長、寬、高分別為，，.根據長方體面對角線的性質可得.三式相加得，則.分別求解可得，，，即，，.因為四面體的體積等于長方體體積減去四個等體積的三棱錐體積.長方體體積.一個三棱錐的體積.四個三棱錐體積.所以四面體的體積.(2)因為平面，平面，平面平面，平面，根據面面平行的性質可知，同理，，，所以四邊形是平行四邊形.設，則.由，可得，因為，所以.由，可得，因為，所以.因為，，補成的長方體上下底面為正方形，可得，所以，則.將，代入可得.令，，這是一個二次函數(shù)，圖象開口向上，對稱軸為.當時，取得最小值，，所以.故答案為：；.

【點睛】15．(1)(2)520【分析】（1）根據題意求得等比數(shù)列的公比，結合等差數(shù)列通項公式即可得解；（2）先選擇條件，然后根據所選的條件求得的值，然后求得數(shù)列的通項公式，即可得出數(shù)列的通項公式，最后利用分組求和即可得解.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，，又，，，是等差數(shù)列，且公差為3，數(shù)列的通項公式為（2）選①：，，選②：成等差數(shù)列，，選③：成等比數(shù)列，，，16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題給條件找垂直于平面內的兩條相交直線即可得證;（2）找兩兩垂直建立空間直角坐標系，根據空間向量的線面成角公式即可求解.【詳解】（1）取的中點，連，取中點，連，且，四邊形為平行四邊形，.，，又，平面（2）由（1）知.取的中點，連，，，.，，又，.因為為的中點，所以，又因為，則四邊形為正方形.故在正方形中，，，又，即兩兩互相垂直.以為原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則，∴,,.設平面的一個法向量為，，得，令.計算得，∴直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)在上單調遞增，在上單調遞減；(2)證明見解析；(3)1．【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可；（2）構造，應用導數(shù)研究單調性求其最小值得到，即可證；（3）問題化為與有唯一的交點，利用導數(shù)求的最值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）當時，，，由，，令，則，所以，或，令，則，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減，（2）令，則，可得，令，則，，在上單調遞減，，在上單調遞增，所以時，即，所以