2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第36講合情推理與演繹推理課時達標理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第36講合情推理與演繹推理課時達標一、選擇題1．下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)B解析對于A項，小前提與結(jié)論顛倒，錯誤；對于B項，符合演繹推理過程且結(jié)論正確；對于C項，大小前提顛倒；對于D項，大小前提以及結(jié)論顛倒．故選B.2．請細致視察1,1,2,3,5，()，13，運用合情推理，可知寫在括號里的數(shù)最可能是()A．8 B．9C．10 D．11A解析視察題中所給各數(shù)可知2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，8＝3＋5,13＝5＋8，所以括號中的數(shù)為8.故選A.3．視察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3,(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)D解析由所給等式知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．因為f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，從而g(x)是奇函數(shù)．所以g(－x)＝－g(x)．4．中國有句名言“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算的，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如圖，當(dāng)表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式須要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推．例如6613用算籌表示就是，則8335用算籌可表示為()B解析各位數(shù)碼的籌式須要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，則8335用算籌可表示為.故選B.5．(2024·太原模擬)某單位支配甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟?，?jù)此可推斷丙必定值班的日期是()A．2日和5日 B．5日和6日C．6日和11日 D．2日和11日C解析這12天的日期之和S12＝eq\f(12,2)(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.對于甲，剩余2天日期之和是22，因此這兩天是10日和12日，故甲在1日、3日、10日、12日有值班；對于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日、7日，也可能是4日、5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．6．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，視察下列運算：a1·a2＝log23·log34＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·…·eq\f(lg8,lg7)＝3；…若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”，試確定當(dāng)a1·a2·a3·…·ak＝2019時，“企盼數(shù)”k為()A．22019＋2 B．22019C．22019－2 D．22019－4C解析a1·a2·a3·…·ak＝eq\f(lgk＋2,lg2)＝2019，lg(k＋2)＝lg22019，故k＝22019－2.二、填空題7．視察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，依據(jù)上述規(guī)律，第n個不等式應(yīng)當(dāng)為________________．解析不等式的左邊為連續(xù)自然數(shù)的平方的倒數(shù)和，即1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n＋12)，不等式的右邊為eq\f(2n＋1,n＋1)，所以第n個不等式應(yīng)當(dāng)為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)＜eq\f(2n＋1,n＋1).答案1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)＜eq\f(2n＋1,n＋1)8．(2024·鄂南中學(xué)月考)一同學(xué)在電腦中打出如下圖形(表示空心圓，表示實心圓)．若將此若干個圓依此規(guī)律接著下去，得到一系列的圓，則前2020個圓中有實心圓的個數(shù)為________．解析將這些圓分段處理，第一段兩個圓，其次段三個圓，第三段四個圓，……，可以看出每一段的最終一個圓都是實心圓，由于本題要求前2020個圓中有多少個實心圓，因此找到第2020個圓所在的段數(shù)很重要．因為2＋3＋…＋63＝eq\f(2＋63,2)×62＝2015<2020，而2＋3＋…＋64＝eq\f(2＋64,2)×63＝2079>2020，所以共有62個實心圓．答案629．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論我們可以得到一個真命題為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則______________成等比數(shù)列．解析利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可．答案T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)三、解答題10．設(shè)f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)(其中a＞0，且a≠1)．(1)請你由5＝2＋3推想g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)來表示；(2)假如(1)中獲得了一個結(jié)論，請你推想能否將其推廣．解析(1)由于f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2＋a－2,2)＝eq\f(a5－a－5,2)，又g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)，因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推想g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．證明：因為f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)，所以g(x＋y)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)，g(y)＝eq\f(ay－a－y,2)，f(y)＝eq\f(ay＋a－y,2)，所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝eq\f(ax＋a－x,2)·eq\f(ay－a－y,2)＋eq\f(ax－a－x,2)·eq\f(ay＋a－y,2)＝eq\f(ax＋y－a－x＋y,2)＝g(x＋y)．11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．解析如圖(1)所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD于E，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明如下：如圖(2)，連接BE交CD于點F，連接AF.因為AB⊥AC，AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，所以AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).12．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，假如每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5.(1)求a18的值；(2)求該數(shù)列的前n項和Sn.解析(1)由題意易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝＝eq\f(5,2)n.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n，n為偶數(shù)，,\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù).))13．[選做題](2024·威海模擬)對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3,5))，33＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7,9,11))，43＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13,15,17,19))，…仿此，若m3的“分裂”數(shù)中有一個是73，則m的值為