2025年中考數(shù)學(xué)解答題系列：平面直角坐標(biāo)系綜合

2025年中考數(shù)學(xué)解答題系列：平面直角坐標(biāo)系綜合1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出三角形；(2)若三角形是由三角形平移后得到的，且的坐標(biāo)是，請你畫出三角形，并寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)向上平移個(gè)單位長度，再向右平移個(gè)單位長度，得到的對應(yīng)點(diǎn)．連接．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，四邊形的面積為_______；(2)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得三角形的面積是三角形面積的倍？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是原點(diǎn)，四邊形是邊長為5的正方形，點(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上，為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，，設(shè)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)：（用含的代數(shù)式表示）(2)試判斷線段的長是否隨點(diǎn)位置的變化而變化，并說明理由．4．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)將三角形先右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，得到三角形，在坐標(biāo)系中畫出三角形，并寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)三角形平移到三角形后，若點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，且，，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”，如圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”示意圖．(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積是；②點(diǎn)C在直線上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若在二次函數(shù)圖象上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍．6．綜合與實(shí)踐【問題背景】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求的面積．【解決問題】（2）若，，，求四邊形的面積．【深入探究】（3）在（2）的條件下，過中點(diǎn)作直線軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【拓展延伸】（4）在（2）的條件下，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在軸上是否存在點(diǎn)，使三角形的面積等于四邊形面積的3倍？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖，平行四邊形在平面直角坐標(biāo)系中，、．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問是否為定值？若是，求出其值；若不是，求其范圍．(3)若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是否為定值？若是，求出其值；若不是，求其范圍．8．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，且(1)求a、b的值并寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)C在x軸上，三角形的面積是三角形面積的一半，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，，交y軸于點(diǎn)D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，求證：；(3)如圖2，點(diǎn)在延長線上，連接，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，垂足為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，是等腰直角三角形，，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，長方形的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在第二象限．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；長方形的面積為______；(2)將長方形沿軸向右平移，得到長方形，點(diǎn)，，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，，.長方形與重疊部分的面積為．小王同學(xué)猜想：當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)如圖2）S最大；小張同學(xué)猜想：當(dāng)長方形恰好平移到等腰直角的中央位置如圖3），即的中點(diǎn)與的中點(diǎn)恰好重合時(shí)S最大．請你探究一下這兩種位置中，哪一種位置的S比較大，并說明理由（提示：設(shè)與長方形的邊、分別交于、兩點(diǎn)，可令圖中的）11．用一條直線分割一個(gè)三角形，如果能分割出一個(gè)等腰三角形，那么就稱這條直線為該三角形的一條等腰分割線．在直角三角形中，，，．(1)如圖1，O為的中點(diǎn)，則直線的等腰分割線．（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線是的等腰分割線時(shí)，求的長度．(3)如圖3，若將放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q是邊上的一點(diǎn)，如果直線是的等腰分割線，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．(直接寫出答案)．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，，與軸正半軸交于點(diǎn)，且．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；(2)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)在邊上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中：①若點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)的速度為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的值；②若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別是，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求出與滿足的數(shù)量關(guān)系．

《2025年中考數(shù)學(xué)解答題系列：平面直角坐標(biāo)系綜合》參考答案1．(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析，，【分析】（）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)描出各點(diǎn)，再相連即可；（）根據(jù)的坐標(biāo)可知三角形先向左平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度得到三角形，據(jù)此可畫出圖形，再根據(jù)圖形寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)即可；本題考查了坐標(biāo)與圖形，圖形的平移，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，三角形即為所求；（2）解：如圖所示，三角形即為所求，由圖可得，，．2．(1)，，(2)在軸上存在一點(diǎn)或，使得三角形的面積是三角形面積的倍，【分析】（）根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可求解；（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，可得，解方程求出即可求解；本題考查了點(diǎn)平移，坐標(biāo)與圖形，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由平移得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴四邊形的面積，故答案為：，，；（2）解：在軸上存在一點(diǎn)或，使得三角形的面積是三角形面積的倍，理由如下：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∵，∴，∵三角形的面積是三角形面積的倍，∴，∴，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．3．(1)(2)線段的長不隨點(diǎn)位置的變化而變化，為定值5，理由見詳解【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)和判定，并靈活應(yīng)用．（1）作軸于，則，先證出，再證明，得出，，求出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，與交于點(diǎn)，先證明四邊形是正方形，得出，，再證出四邊形是平行四邊形，即可得出．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于，則，，，四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：線段的長不隨點(diǎn)位置的變化而變化，為定值5，理由如下：如圖所示，連接與交于點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，又，，四邊形是正方形，，，四邊形是平行四邊形，．線段的長不隨點(diǎn)位置的變化而變化，為定值5．4．(1)，(2)畫圖見解析，，，(3)【分析】本題考查了作圖—平移變換，平移的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)各點(diǎn)所在的象限，對應(yīng)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先確定平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)，再順次連接即可得出；（3）根據(jù)坐標(biāo)的平移方式（左減右加，上加下減）即可確定平移后的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形，得，；（2）解：如圖，即為所求，，，（3）解：∵三角形先右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度，得到三角形，∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：．5．(1)①8；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為或(2)或【分析】（1）①首先畫出圖形，然后根據(jù)矩形面積公式求解即可；②設(shè)，根據(jù)題意分兩種情況，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程求解即可；（2）設(shè)，根據(jù)題意得到，然后分兩種情況討論，分別根據(jù)判別式求解即可．【詳解】（1）①如圖所示，∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積是；②∵點(diǎn)C在直線上，∴設(shè)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在位置時(shí)，∵點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形∴解得∴；當(dāng)點(diǎn)C在位置時(shí)，∵點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形∴解得∴；（2）∵點(diǎn)N在二次函數(shù)圖象上∴設(shè)∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形∴∴當(dāng)時(shí)，整理得，根據(jù)題意得，解得；當(dāng)時(shí)，整理得，根據(jù)題意得，解得；綜上所述，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)和二次函數(shù)的上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形表示出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（1）；（2）9；（3）【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，數(shù)量掌握圖形面積與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得軸，點(diǎn)B到的距離為，據(jù)此根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可；（2）根據(jù)（1）所求求出的面積，再求出A、B坐標(biāo)，進(jìn)而求出的面積即可得到答案；（3）先求出的長，則可得點(diǎn)N橫坐標(biāo)，根據(jù)列式求出的長即可得到答案；（4）求出的面積，進(jìn)而得到四邊形面積，則可得到三角形的面積，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求出的長即可得到答案．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為∴軸，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B到的距離為，∴；（2）當(dāng)，，時(shí)，，，∴，∴，∴；（3）∵，點(diǎn)M是中點(diǎn)，∴，∵軸，∴軸，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，∴；（4）∵，，∴，∴，∵三角形的面積等于四邊形面積的3倍，∴，∴，∴，∴，∵，∴或．7．(1)點(diǎn)坐標(biāo)為(2)是定值，其值為1(3)是定值，其值為【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，找到角或面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由條件可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)和點(diǎn)的相同，延長交軸于點(diǎn)，可求得的長，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則由平行的性質(zhì)可得出，可得出結(jié)論；、（3）設(shè)平行四邊形的邊上的高為，則可表示出和的面積和，表示出平行四邊形的面積，可找出其關(guān)系，得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，延長交軸于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，且點(diǎn)坐標(biāo)為，，，點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：如圖2，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，，，，是定值，其值為1；（3）解：設(shè)平行四邊形的邊上的高為，則，，，∴，∴，是定值，其值為．8．(1)，，，(2)或(3)【分析】本題考查了三角形的面積，平行線的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值即可解決問題．（2）設(shè)．根據(jù)構(gòu)建方程求出m即可解決問題．（3）如圖2中，連接，，由，推出，由此構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】（1）解：∵，，且，∴，，∴，；（2）解：設(shè)．∵，，∴，，∵，∴，∴，∴C的坐標(biāo)為或．（3）解：如圖2中，連接，，∴，∴，∴，∴，∴．9．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用勾股定理求出，即可而得出結(jié)論；（2）由（1）知，求出，利用勾股定理逆定理即可證明結(jié)論；（3）過點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為，設(shè)與y軸交點(diǎn)為，證明，結(jié)合題意證明，求出，得到，再證明，推出，，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)為．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴；（3）解：過點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為，設(shè)與y軸交點(diǎn)為，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（2）知，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確構(gòu)造三角形全等時(shí)解題的關(guān)鍵．10．(1)，(2)小張同學(xué)猜想的位置的S比較大，理由見解析【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等腰直角三角形和長方形的性質(zhì)，通過合理設(shè)未知數(shù)來計(jì)算重疊部分面積并比較大小．（1）由，，，及四邊形是矩形即可得出答案；（2）分別求出兩種情況的面積，再比較即可，具體減詳解．【詳解】（1）解：，，，，，四邊形是矩形，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；長方形的面積為，故答案為：，；（2）小王同學(xué)猜想：當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)如圖，是等腰直角三角形，，將長方形沿軸向右平移，得到長方形，，，是等腰直角三角形，，的面積，長方形與重疊部分的面積為長方形的面積；小張同學(xué)猜想：當(dāng)長方形恰好平移到等腰直角的中央位置如圖，此時(shí)的，的面積，長方形與重疊部分的面積為長方形的面積長方形的面積，，小張同學(xué)的方法使得重疊部分的面積更大．11．(1)是(2)或(3)或或或【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得兩個(gè)等腰三角形；（2）設(shè)，①當(dāng)，根據(jù)勾股定理列方程得：，解出x即可，②當(dāng)時(shí)；可得；（3）分情況進(jìn)行討論：先分是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論，當(dāng)時(shí)可求出點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可求出，當(dāng)時(shí)，Q不在邊上，舍去．再分是等腰三角形時(shí)，同理分三種情況討論可出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；【詳解】（1）解：，O為中點(diǎn)，在中，，和是等腰三角形，則直線是的等腰分割線；故答案為：是．（2）解：①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，①當(dāng)，在中，，，解得：，即：；②時(shí)，；即的長為或；（3）解：，，，，，，，①若為等腰三角形，如圖1，當(dāng)時(shí)，，，，；如圖2，當(dāng)時(shí)，Q為中點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，Q不在邊上，舍去．②若為等腰三角形．如圖3，當(dāng)時(shí)，，；如圖4，當(dāng)時(shí)，，，，如圖2，當(dāng)時(shí)，Q為中點(diǎn)，，此時(shí)；綜合以上可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或故答案為：或或或【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形等知識，解決此類題目需要熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解題的關(guān)鍵是正確理解題意，了解等腰分割線的意義．12．(1)(2)①當(dāng)或時(shí)，是直角三角形；②或【分析】（1）首先求出，然后得到，進(jìn)而求解即可；（2）①由題意，得，，得到，然后分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意分別求解即可；②根據(jù)題意分兩種情況討