2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸專題-四邊形中最值問題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸專題四邊形中最值問題1．如圖1，兩個(gè)正方形和共一個(gè)直角頂點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、、、．(1)當(dāng)，時(shí)，①作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中分別取、、的中點(diǎn)、、（不要求尺規(guī)作圖），并直接寫出和的關(guān)系：______；②若，求此時(shí)的長(zhǎng)；當(dāng)，求的最小值．2．已知，如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形為矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)（直接寫出的值），四邊形是平行四邊形；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求的值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)在線段上有一點(diǎn)且，求四邊形的周長(zhǎng)最小值．3．已知：如圖，在矩形中，．在上取一點(diǎn)E，，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作菱形，使點(diǎn)N落在邊上，點(diǎn)M落在矩形內(nèi)或其邊上．若的面積為S．

(1)當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求x的值；(2)當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)_____________時(shí)，的面積S最大；當(dāng)_____________時(shí)，的面積S最小；(4)在的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^程中，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)：_____________．4．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)，，，矩形的頂點(diǎn)．(1)如圖1，與，交于點(diǎn)，．①直接寫出直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；②求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，將矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．點(diǎn)，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與平行四邊形重合部分圖形的周長(zhǎng)為．①在平移過程中，當(dāng)矩形與平行四邊形重合部分為四邊形時(shí)，直接用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；②如圖3，若的中點(diǎn)為，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，連接，．在平移過程中，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出此時(shí)的值．5．問題提出（1）如圖①，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，若，求的最小值；問題解決（2）如圖②是海邊沙灘排球賽的比賽場(chǎng)地一角，是臨海沙灘邊緣，已知，，．工作人員計(jì)劃在沙灘上用隔離帶、、圈出比賽場(chǎng)地，在右側(cè)，是的中點(diǎn)，長(zhǎng)為，，為節(jié)省材料，隔離帶需盡可能短，舉辦方賽前準(zhǔn)備了長(zhǎng)的隔離帶，請(qǐng)你判斷隔離帶是否夠用？并說明理由．（，）6．問題提出：（1）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為；問題探究：（2）如圖2，在矩形中，，E為的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)F作的垂線交邊于點(diǎn)G．求證：；問題解決：如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形的空地，管理人員規(guī)劃修兩條互相垂直的小路和（小路的寬度忽略不計(jì)，兩條小路交于點(diǎn)G），并沿修建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得最?。褱y(cè)出．，管理人員的想法能否實(shí)現(xiàn)，若能，請(qǐng)求出的最小值，若不能，請(qǐng)說明理由．7．小明在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)行了如下的探究活動(dòng)：如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)A、D、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G、F、E．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)G落在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)G落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)H．①求證：；②求的長(zhǎng)．記點(diǎn)K為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，連接，記面積為S，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．8．如圖1，已知為等腰直角三角形，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，作正方形，使點(diǎn)，分別在邊和上，連接，．

(1)探索線段與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論______；(2)將正方形繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角大于，小于或等于）時(shí)（如圖2），（1）的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；(3)已知，，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為最大值時(shí)，求的值．9．如圖①．已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，作正方形，使點(diǎn)，分別在和上，連接，．

(1)試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論；(2)將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于），如圖②，通過觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，①當(dāng)為最大值時(shí)，則___________．②當(dāng)為最小值時(shí)，則___________．10．如圖，正方形中，點(diǎn)為邊的上一動(dòng)點(diǎn)，作交、分別于、點(diǎn)，連．

(1)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求證：F點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)；(3)若正方形邊長(zhǎng)為4，直接寫出的最小值________．11．如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)如圖1，若，求的值；(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)G、Q分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出的最小值．12．如圖，正方形中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)交于E時(shí)，①如圖1，求證：．②如圖2，連接交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，試探究線段、、之間用等號(hào)連接的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；如圖3，已知M為的中點(diǎn)，為對(duì)角線上一條定長(zhǎng)線段，若正方形邊長(zhǎng)為4，隨著P的運(yùn)動(dòng)，的最小值為，求線段的長(zhǎng)．13．平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．14．如圖，在平行四邊形中，，P是射線上一點(diǎn)，連接，沿將折疊，得．(1)如圖1所示，當(dāng)時(shí)，=_____度；(2)如圖2所示，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F是邊上不與點(diǎn)A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，得到，連接，求周長(zhǎng)的最小值．15．如圖，矩形中，，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，作，交直線于點(diǎn)．且，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；(2)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)成為以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)記點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)落在的內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸專題——四邊形中最值問題》參考答案1．(1)①作圖見解析，；②(2)【分析】（1）①，先證明是的中位線，是的中位線，推出；再證明，得到，，即可推出，再證明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解；（2）如圖，分別取、、、的中點(diǎn)、、、，連接同理（1）①可得；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，即有最小值，最小值為的長(zhǎng)，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答．【詳解】（1）解：，理由如下：∵點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，∴；∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②由①知：，∴，∴，∴，∵四邊形和四邊形都是正方形，，，∴，∵，∴，∴，∴，即（負(fù)值舍去）；（2）解：如圖，分別取、、、的中點(diǎn)、、、，連接同理（1）①可得是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴；∴∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，即有最小值，最小值為的長(zhǎng)，同理（1）①得，，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形中點(diǎn)問題的綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．2．(1)秒(2)秒時(shí)，；秒時(shí)，(3)【分析】（1）先求出，進(jìn)而求出，再由運(yùn)動(dòng)知，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)建立方程即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形周長(zhǎng)最小，得出最小，即可確定出點(diǎn)M的位置，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，，，∴，，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵動(dòng)點(diǎn)在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，故答案為：秒；（2）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)，∵四邊形為菱形，∴，∴在中，，∴，∴，∵，∴；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的左邊時(shí)，∵四邊形為菱形，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∵，∴；綜上所述，秒時(shí)，；秒時(shí)，；（3）如圖，由（1）知：，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形的周長(zhǎng)為：∴最小時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，∴作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此時(shí)最小，即最小，∵，∴的最小值為：，∴四邊形的周長(zhǎng)最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，利用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)(3)①，②(4)【分析】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)；（1）只要證明即可解決問題；（2）如圖，連接，作于，想辦法證明，可得，由此即可解決問題；（3）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，的面積最大，在中，．②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最大，的面積最?。唬?）如圖3中，在的面積由最大變?yōu)樽钚〉倪^程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行的線段，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)的長(zhǎng)．【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，∴，，．，，．故答案為：．（2）如圖，連接，作于，則，，

四邊形是菱形，，，，矩形中，，，，即，，，，，．與的函數(shù)關(guān)系式；（3）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，的面積最大，

在中，，的最大值．②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最大，的面積最小，此時(shí)易證，，，；故答案為：①，②．（4）如圖3中，在的面積由最大變?yōu)樽钚〉倪^程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行的線段，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)的長(zhǎng)，故答案為：．4．(1)①；②見解析(2)①當(dāng)時(shí)，重疊部分是菱形，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)；②【分析】（1）①根據(jù)，，計(jì)算；結(jié)合平行四邊形，得到，結(jié)合，得到點(diǎn)C與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同即，設(shè)直線的解析式為，代入解答即可；根據(jù)，得到點(diǎn)，代入解析式解答即可．②過點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，根據(jù)平行四邊形，得到，根據(jù)矩形得到，得證四邊形為平行四邊形．根據(jù)坐標(biāo)，得到，據(jù)勾股定理，得，結(jié)合，得到，得證四邊形為菱形；（2）①設(shè)直線的解析式為，確定解析式，過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，則，當(dāng)時(shí)，重疊部分是菱形，此時(shí)；過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形，此時(shí)；②過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)Q，則四邊形是平行四邊形，，當(dāng)E，N，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，解答即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴；∵平行四邊形，得到，，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同即，設(shè)直線的解析式為，解得，故的解析式為．∵矩形的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，代入解析式，得，解得，故點(diǎn)．②過點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，∵平行四邊形，∴，∵矩形∴，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，據(jù)勾股定理，得，∵，∴,∴四邊形為菱形．（2）①∵，，設(shè)直線的解析式為，解得，故的解析式為．∵矩形的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，代入解析式，得，解得，故點(diǎn)．過點(diǎn)G作于點(diǎn)P，則，當(dāng)時(shí)，重疊部分是菱形，此時(shí)；過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，∵，，當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形，此時(shí)，，；此時(shí)；②根據(jù)題意，得的中點(diǎn)為，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則直線是矩形的對(duì)稱軸，∴，∵，∴；∴；∴，，過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)Q，則四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴當(dāng)E，N，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，設(shè)與的交點(diǎn)為R，根據(jù)題意，得，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，過點(diǎn)H作于點(diǎn)P，則四邊形是矩形，∴；，∵，，∴，∴，∴，此時(shí)的值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形不等式的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，三角形中位線定理的判定和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，三角形不等式的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．5．（1）；（2）夠用，理由見解析【分析】（1）以為直徑作圓，圓心為，連接交于點(diǎn)，則，根據(jù)得點(diǎn)在矩形內(nèi)部的半圓上運(yùn)動(dòng)，據(jù)此得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小，最小值為的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理求出的即可；（2）連接，作交于，先證明和，作出所在的，任取優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，連接，，將點(diǎn)水平向左平移得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將點(diǎn)往右平移得到點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可以知道，從而推出，結(jié)合勾股定理，算得的長(zhǎng)度，分別證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，在利用勾股定理求得和的長(zhǎng)度，結(jié)合和關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)與重合，、、三點(diǎn)共線，取最小值，此時(shí)，，最后在中利用勾股定理求得，從而求得的長(zhǎng)度，得到的最小值，最后與350米進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）以為直徑作圓，圓心為，連接交于點(diǎn)，如圖所示：，即點(diǎn)在矩形內(nèi)部的半圓上運(yùn)動(dòng)那么當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小，最小值為的長(zhǎng)在中，，的最小值為．（2）連接，作交于，如圖，，又又，作出所在的，任取優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，連接，，將點(diǎn)水平向左平移得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將點(diǎn)往右平移得到點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：，四邊形是平行四邊形和關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)與重合，、、三點(diǎn)共線，取最小值，此時(shí)，當(dāng)最小時(shí)，最小值為是的中點(diǎn)，，，四邊形圓的內(nèi)接四邊形，，又，四邊形是矩形，，，，四邊形是平行四邊形，，最小值為，隔離帶夠用．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及推論，圓的內(nèi)接四邊形，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，解直角三角形，點(diǎn)的平移，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，畫出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（1）（2）見解析（3）的最小值為【分析】（1）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到是定值，由，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出，即可求解結(jié)果；（2）由結(jié)合矩形的性質(zhì)，易證，得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合，得到點(diǎn)四點(diǎn)共圓，推出，進(jìn)而得到，根據(jù)，矩形的性質(zhì)，得到，證明，得到，即可證明；（3）過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)P，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，連接，先證明，求出，然后利用勾股定理求出，進(jìn)而得到，根據(jù)四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到點(diǎn)四點(diǎn)共圓，由為四點(diǎn)共圓的半徑為定值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，再根據(jù)題意易證，得到，利用勾股定理即可求出，即可求出的最小值．【詳解】（1）解：連接，由折疊的性質(zhì)得：是定值，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，是正方形，，，即可求解結(jié)果；，的最小值為，故答案為：；（2）證明：，是矩形，，，，，，，E為的中點(diǎn)，，，，，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，，，，，；（3）解：如圖，過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)P，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，為四點(diǎn)共圓的半徑為定值，即，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，，，，，，，的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的邊角關(guān)系定理，翻折的性質(zhì)，四邊形外接圓，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)；(2)①見解析；②；(3)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，由矩形性質(zhì)知，再在中根據(jù)勾股定理可得；（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，由可證；②由全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，可得，由勾股定理可求的值；（3）由勾股定理可求的值，可得，當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，面積有最小值，當(dāng)點(diǎn)G在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，面積有最大值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∵四邊形是矩形，∴，，∴；∴；（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)知：，，∵，∴，又∵，∴；②解：設(shè)，由①知，∴，又∵在矩形中，有，∴，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，即；（3）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，如圖，始終在以B為圓心，為半徑的圓上，的底是定值為3，當(dāng)高最小或最大時(shí)，的面積就存在最小值或最大值，

∴當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，此時(shí)最短，則面積有最小值；當(dāng)點(diǎn)G在延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，則面積有最大值；分情況討論：當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，面積有最小值，∴；當(dāng)點(diǎn)G在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，面積有最大值．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．8．(1)(2)成立，理由見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)推出條件判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）連接，判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是時(shí)，、、三點(diǎn)共線，取得最大值，根據(jù)的最大值，用勾股定理即可求出的值．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，是等腰直角三角形，，，四邊形是正方形，，，．故答案為：；（2）如圖2，連接，

由（1）得：，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，，又，，，．即（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）如圖3，

當(dāng)、、三點(diǎn)共線，，取得最大值，，，又，，在中，，，，當(dāng)為最大值時(shí)，的值為5．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．9．(1)，證明見解析(2)成立，證明見解析(3)①；②【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可以得出，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）如圖2，連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可以得出，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）①如圖③，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，，此時(shí)的值最大．②利用三角形的三邊關(guān)系確定的最小值，此時(shí)如圖③中，，，共線．【詳解】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖1，延長(zhǎng)交于．

是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，．四邊形是正方形，．在和中，，，；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，，．理由如下：如圖②，連接，延長(zhǎng)交于，交于．

在中，為斜邊中點(diǎn)，，，．四邊形為正方形，，且，，．在和中，，，，，，，．（3）①如圖③，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，，此時(shí)的值最大．

，．．在中，由勾股定理，得，．故答案為：；②如圖④中，連接．

如圖②中，在中，，，，的最小值為1，此時(shí)如圖④中，，，共線，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)2(3)【分析】（1）證明，推出，由，，推出，即可證明點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．（3）取的中點(diǎn)，連接，，由直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，則可求出答案．【詳解】（1）解：證明：如圖1中，

四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，

，，又，分別是，的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，．（3）取的中點(diǎn)，連接，，

，，，、、共線時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．11．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由矩形性質(zhì)可得：，，由平行線性質(zhì)可得，再由線段垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可推出，即可證明結(jié)論；（2）如圖1，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證得，得出：，，設(shè)，則，利用勾股定理可得，再由，可得出，，再利用，即可求得答案；（3）由于直線是的對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接、、，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上，且時(shí)，最小，由，可求得，再由，可得，利用相似三角形性質(zhì)即可求得的值．【詳解】（1）解：證明：四邊形是矩形，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，；（2）如圖1，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

四邊形是矩形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，設(shè)，則，，，，

，，即，，，由（1）知：，，，，，，；（3）是線段的垂直平分線，直線是的對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接、、，

當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上，且時(shí)，最小，由（2）知：，，，解得：，，，，，，，，，，，

，，即，，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱中的路徑最短問題，直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，第（2）添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵；第（3）中，找出的最小值是解題的關(guān)鍵．12．(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①連接，根據(jù)證明，得到，，再求出，進(jìn)一步證明得到，等量代換可得結(jié)果；②先根據(jù)得到，得到，結(jié)合勾股定理得到；（2）連接交于點(diǎn)O，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，進(jìn)一步得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，的最小值，的最小值，以及此時(shí)，，最后根據(jù)M為中點(diǎn)得到Q為中點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：①如圖1，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，又，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②如圖，，理由是：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，連接交于點(diǎn)O，∵四邊形是正方形，邊長(zhǎng)為4，∴，，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，的最小值為，∵的最小值為，∴的最小值為，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，，如圖，∴，∵M(jìn)為中點(diǎn)，∴Q為中點(diǎn)，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，面積法，勾股定理，最值問題，有一定難度，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用正方形的性質(zhì)添加輔助線．13．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“直角三角形的中線等于斜邊長(zhǎng)一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，則，即可求解；（2）由題意可得，是的角平分線，且，故延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可證，要證，而，即證明即可，延長(zhǎng)交于N，過E作于P，先證明，可以得到，再證明四邊形是正方形，得到，接著證明即可解決；（3）如圖3，分別以和為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”模型，即可得到，所以，則，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，所求線段和的值最小，利用，解即可解決．【詳解】（1）解：∵，如圖1，∴，E為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，在中，，∴；（2）證明：如圖2，設(shè)射線與射線交于點(diǎn)M，由題可設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，延長(zhǎng)交于N，∴，過E作于P，則，在與中，

，∴，∴，過E作于Q，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，∴，在與中，，

∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等邊，同理以為邊構(gòu)造等邊，∴，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為線段BN的長(zhǎng)度，如圖4，過N作交其延長(zhǎng)線于T，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的最