高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一篇專題突破專題五立體幾何刺第1講空間幾何體的三視圖表面積和體積文

第1講空間幾何體三視圖、表面積和體積1/41考情分析2/41總綱目錄考點(diǎn)一

空間幾何體三視圖考點(diǎn)二空間幾何體表面積與體積(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)三與球相關(guān)切、接問題考點(diǎn)四立體幾何中數(shù)學(xué)文化3/41考點(diǎn)一

空間幾何體三視圖1.一個物體三視圖排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖下面,長度與正(主)視圖長度一樣,側(cè)(左)視

圖放在正(主)視圖右面,高度與正(主)視圖高度一樣,寬度與俯視圖

寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”.2.由三視圖還原幾何體步驟普通先從俯視圖確定底面再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體.4/41經(jīng)典例題(1)(北京理,7,5分)某四棱錐三視圖如圖所表示,則該四棱錐

最長棱長度為

()

A.3

B.2

C.2

D.25/41(2)(課標(biāo)全國Ⅰ理,7,5分)某多面體三視圖如圖所表示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形邊長為2,俯視圖

為等腰直角三角形.該多面體各個面中有若干個是梯形,這些梯形

面積之和為

()

A.10

B.12

C.14

D.166/41答案(1)B(2)B解析(1)依據(jù)三視圖可得該四棱錐直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所

示,將該四棱錐放入棱長為2正方體中.由圖可知該四棱錐最長棱為

PD,PD=

=2

.故選B.

(2)由多面體三視圖還原直觀圖如圖.

7/41該幾何體由上方三棱錐A-BCE和下方三棱柱BCE-B1C1A1組成,其中

面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,則梯形面積之和為2×

=12.故選B.由三視圖還原直觀圖思緒(1)依據(jù)俯視圖確定幾何體底面.(2)依據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體側(cè)棱與側(cè)面特征,調(diào)整

實(shí)線和虛線所對應(yīng)棱、面位置.(3)確定幾何體直觀圖形狀.方法歸納8/41跟蹤集訓(xùn)1.(廣東惠州第三次調(diào)研)如圖所表示,將圖(1)中正方體截去兩個三

棱錐,得到圖(2)中幾何體,則該幾何體側(cè)視圖為

()

9/41答案

B從幾何體左面看,AD1在視線范圍內(nèi),畫實(shí)線,C1F不在視

線范圍內(nèi),畫虛線.選B.10/412.(廣東廣州綜合測試(一))如圖,網(wǎng)格紙上小正形邊長為1,粗線畫

出是某幾何體正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體體

積為

,則該幾何體俯視圖能夠是

()

11/41答案

D由題意可得該幾何體可能為四棱錐.如圖所表示,其高為2,底

面為正方形(面積為2×2=4),因?yàn)樵搸缀误w體積為

×4×2=

,滿足條件,所以該幾何體俯視圖能夠?yàn)橐粋€直角三角形.選D.

12/41考點(diǎn)二

空間幾何體表面積與體積(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.由三視圖求空間幾何體體積;2.由三視圖求空間幾何體表面積;3.依據(jù)已知空間幾何體求其表面積或體積.13/411.柱體、錐體、臺體側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高);(2)S錐側(cè)=

ch'(c為底面周長,h'為斜高);(3)S臺側(cè)=

(c+c')h'(c',c分別為上下底面周長,h'為斜高).2.柱體、錐體、臺體體積公式(1)V柱體=Sh(S為底面面積,h為高);(2)V錐體=

Sh(S為底面面積,h為高);(3)V臺=

(S+

+S')h(不要求記憶).14/41經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國Ⅱ,6,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,粗

實(shí)線畫出是某幾何體三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部

分后所得,則該幾何體體積為

()A.90πB.63πC.42πD.36π

15/41(2)(課標(biāo)全國Ⅲ,10,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,粗實(shí)線

畫出是某多面體三視圖,則該多面體表面積為

()

A.18+36

B.54+18

C.90

D.8116/41解析(1)由三視圖可知兩個一樣幾何體能夠拼成一個底面直徑為6,

高為14圓柱,所以該幾何體體積V=

×32×π×14=63π.故選B.(2)由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形(邊長為3),高為6,側(cè)棱長為3

斜四棱柱.其表面積S=2×32+2×3×3

+2×3×6=54+18

.故選B.答案(1)B(2)B17/41空間幾何體表面積與體積求法(1)據(jù)三視圖求表面積、體積時(shí),解題關(guān)鍵是對所給三視圖進(jìn)行分析,

得到幾何體直觀圖;(2)多面體表面積是各個面面積之和,求組合

體表面積時(shí)要注意重合部分面積;(3)求規(guī)則幾何體體積時(shí),只需

確定底面與對應(yīng)高,而求一些不規(guī)則幾何體體積時(shí),往往需采取分

割或補(bǔ)形思想,轉(zhuǎn)化求解.方法歸納18/41跟蹤集訓(xùn)1.一個幾何體三視圖如圖所表示(其中正視圖弧線為四分之一圓周),

則該幾何體表面積為

()

A.72+6π

B.72+4π

C.48+6π

D.48+4π19/41答案

A由三視圖知,該幾何體由一個正方體

與一個圓柱

組合而成(如圖所表示),該幾何體表面積為16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π,故選A.

20/412.(山東,13,5分)由一個長方體和兩個

圓柱體組成幾何體三視圖以下列圖,則該幾何體體積為

.

21/41解析由幾何體三視圖可畫出該幾何體直觀圖以下:

∴該幾何體體積V=2×1×1+

×π×1=2+

.答案2+

22/41考點(diǎn)三

與球相關(guān)切、接問題與球相關(guān)組合體問題,一個是內(nèi)切,一個是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分

析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)位置,確定相關(guān)元素間數(shù)量關(guān)系,并作出合

適截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個面中心,正方體

棱長等于球直徑;球外接于正方體,正方體頂點(diǎn)均在球面上,正方體

體對角線長等于球直徑.23/41經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國Ⅲ,4,5分)在封閉直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個

體積為V球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V最大值是

()A.4πB.

C.6πD.

(2)(課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分)已知三棱錐S-ABC全部頂點(diǎn)都在球O

球面上,SC是球O直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC體積為9,則球O表面積為

.24/41解析(1)要使球體積V最大,則球半徑R最大.由題意,知當(dāng)球與直三棱柱上、下底面都相切時(shí),球半徑取得最大

值,為

,此時(shí)球體積為

πR3=

π×

=

,故選B.(2)由題意作出圖形,如圖.

設(shè)球O半徑為R,由題意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,則SB=BC答案(1)B(2)36π25/41=SA=AC=

R.連接OA,OB,則OA⊥SC,OB⊥SC,因?yàn)槠矫鍿CA⊥平面SCB,平面SCA∩

平面SCB=SC,所以O(shè)A⊥平面SCB,所以O(shè)A⊥OB,則AB=

R,所以△ABC是邊長為

R等邊三角形,設(shè)△ABC中心為O1,連接OO1,CO1.則OO1⊥平面ABC,CO1=

×

×

R=

R,則OO1=

=

R,則VS-ABC=2VO-ABC=2×

×

(

R)2×

R=

R3=9,所以R=3.所以球O表面積S=4πR2=36π.26/41多面體、旋轉(zhuǎn)體與球接、切問題求解策略(1)過球心及多面體中特殊點(diǎn)(普通為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問

題轉(zhuǎn)化為平面問題.(2)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w元素間關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接

幾何體直觀圖,確定球心位置,搞清球半徑(直徑)與該幾何體已知

量關(guān)系,列方程(組)求解.(3)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C組成三條線段PA,PB,PC兩兩相互垂直,且PA

=a,PB=b,PC=c,普通把相關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體,用4R2

=a2+b2+c2求解.方法歸納27/41跟蹤集訓(xùn)1.(課標(biāo)全國Ⅲ,9,5分)已知圓柱高為1,它兩個底面圓周在直

徑為2同一個球球面上,則該圓柱體積為

()A.πB.

C.

D.

答案

B設(shè)圓柱底面半徑為r,由題意可得r2+

=12,解得r=

.∴圓柱體積V=πr2×1=

,故選B.28/412.(廣東惠州第三次調(diào)研)已知一個平放各棱長為4三棱錐內(nèi)有

一個小球O(重量忽略不計(jì)),現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水,小球慢慢上浮,

若注入水體積是該三棱錐體積

時(shí),小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切),則小球表面積等于

()A.

B.

C.

D.

答案

C當(dāng)注入水體積是該三棱錐體積

時(shí),設(shè)水面上方小三棱錐棱長為x(各棱長都相等),依題意,有

=

,得x=2.易得小三棱錐高為

,設(shè)小球半徑為r,則

S底面·

=4·

·S底面·r,得r=

,故小球表面積S=4πr2=

.故選C.29/41考點(diǎn)四

立體幾何中數(shù)學(xué)文化經(jīng)典例題“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球體積過程中構(gòu)

造一個友好優(yōu)美幾何體.它由完全相同四個曲面組成,相正確兩

個曲面在同一個圓柱側(cè)面上,好似兩個扣合(牟合)在一起方形傘(方

蓋).其直觀圖如圖(1)所表示,圖(2)中四邊形是為表達(dá)其直觀性所作輔助

線,當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),它正視圖和俯視圖分別可能是

()圖(1)

30/41

圖(2)A.a,b

B.a,c

C.c,b

D.b,d答案

A解析當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),“牟合方蓋”相正確兩個曲面正

對前方,正視圖為一個圓,俯視圖為一個正方形,且兩條對角線為實(shí)線,故

選A.方法歸納解這類題關(guān)鍵是觀察圖形.31/41跟蹤集訓(xùn)1.(吉林長春質(zhì)量檢測(三))塹堵,我國古代數(shù)學(xué)名詞,其三視圖如圖

所表示.《九章算術(shù)》中有以下問題:“今有塹堵,下廣二丈,袤一十八丈六

尺,高二丈五尺,問積幾何?”意思是說:“今有塹堵,底面寬為2丈,長為18

丈6尺,高為2丈5尺,問它體積是多少?”(注:一丈=十尺),答案是

(

)

A.25500立方尺

B.34300立方尺C.46500立方尺

D.48100立方尺32/41答案

C2丈=20尺,18丈6尺=186尺,2丈5尺=25尺.由三視圖可知,塹

堵為一個三棱柱,其體積為

×186×20×25=46500(立方尺).故選C.33/412.(廣東廣州綜合測試(一))《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有

一條側(cè)棱與底面垂直四棱錐稱為陽馬;將四個面都是直角三角形四

面體稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,

三棱錐P-ABC四個頂點(diǎn)都在球O球面上,則球O表面積為

()A.8πB.12πC.20πD.24π34/41答案

C解法一:將三棱錐P-ABC放入長方體中,如圖,三棱錐P-ABC

外接球就是長方體外接球.因?yàn)锳B=2,AC=4,△ABC為直角三角形,

所以BC=

=2

.設(shè)外接球半徑為R,依題意可得(2R)2=22+22+(2

)2=20,故R2=5,則球O表面積為4πR2=20π,選C.

解法二:利用鱉臑特點(diǎn)求解.如圖,因?yàn)樗膫€面都是直角三角形,所以

PC中點(diǎn)到每一個頂點(diǎn)距離都相等,即PC中點(diǎn)為球心O,易得2R=35/41PC=

,所以球O表面積為4πR2=20π,選C.

36/411.(新疆第二次適應(yīng)性檢測)球體積為4

π,平面α截球O球面所得圓半徑為1,則球心O到平面α距離為

()A.1

B.

C.

D.

隨堂檢測答案

B設(shè)球半徑為R,則有

R3=4

π,解得R=

,所以球心O到平面α距離d=

=

,選B.37/412.(湖北七市(州)聯(lián)考)如圖是一個幾何體三視圖,其中正視圖和

側(cè)視圖是兩個全等等腰三角形,底邊長為4,腰長為3,則該幾何體表

面積為

()

A.6π