《線性回歸方程》

線性回歸方程

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有些教師常說：“假如你數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問題”按照這種說法，似乎學(xué)生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間也存在著某種關(guān)系。你怎樣認(rèn)識(shí)它們之間存在關(guān)系？物理成績(jī)

數(shù)學(xué)成績(jī)

學(xué)習(xí)興趣

學(xué)習(xí)時(shí)間

其它原因這兩個(gè)變量之間有不確定的關(guān)系結(jié)論：變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有。相關(guān)關(guān)系問題引入：第2頁

函數(shù)關(guān)系---變量之間是一個(gè)確定性關(guān)系.如:圓面積S和半徑r之間關(guān)系.

相關(guān)關(guān)系—變量之間有一定聯(lián)絡(luò),但不能完全用函數(shù)來表示.普通來說,身高越高,體重越重,但不能用一個(gè)函數(shù)來嚴(yán)格地表示身高與體重之間關(guān)系.(非確定性關(guān)系)變量之間關(guān)系第3頁函數(shù)關(guān)系是一個(gè)確定關(guān)系；相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量關(guān)系．問題：舉一兩個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中問題，問題所包括變量之間存在一定相關(guān)關(guān)系。（1）父母身高與兒女身高之間關(guān)系（2）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間關(guān)系（3）糧食產(chǎn)量與施肥量之間關(guān)系例：相關(guān)關(guān)系是一個(gè)非確定關(guān)系.相同點(diǎn)：不一樣點(diǎn)：第4頁問題：

某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶杯數(shù)與當(dāng)日氣溫對(duì)照表：氣溫/0C261813104-1杯數(shù)202434385064假如某天氣溫是-50C，你能依據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶杯數(shù)嗎?第5頁

為了了解熱茶銷量與氣溫大致關(guān)系,我們以橫坐標(biāo)x表示氣溫，縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量，建立直角坐標(biāo)系.將表中數(shù)據(jù)組成6個(gè)數(shù)對(duì)表示點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出，得到下列圖。今后我們稱這么圖為散點(diǎn)圖(scatterplot).第6頁

選擇怎樣直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間關(guān)系?

我們有各種思索方案:(1)選擇能反應(yīng)直線改變兩個(gè)點(diǎn),比如?。?）取一條直線,使得位于該直線一側(cè)和另一側(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)基本相同；（3）多取幾組點(diǎn),確定幾條直線方程,再分別算出各條直線斜率、截距平均值,作為所求直線斜率、截距；

………………

怎樣直線最好呢?這兩點(diǎn)直線；第7頁建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.最小二乘法：用方程為點(diǎn)，應(yīng)使得該直線與散點(diǎn)圖中點(diǎn)最靠近那么，怎樣衡量直線與圖中六個(gè)點(diǎn)靠近程度呢？

直線擬合散點(diǎn)圖中我們將表中給出自變量代入直線方程,得到對(duì)應(yīng)六個(gè)值：六個(gè)值

它們與表中對(duì)應(yīng)實(shí)際值應(yīng)該越靠近越好.

第8頁所以,我們用類似于預(yù)計(jì)平均數(shù)時(shí)思想,考慮離差平方和

第9頁與圖中六個(gè)點(diǎn)靠近程度,所以,設(shè)法取到達(dá)最小值.值,使這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法).

是直線在垂直方向(縱軸方向)上距離平方和,能夠用來衡量直線與各散點(diǎn)第10頁第11頁第12頁第13頁線性相關(guān)關(guān)系：像這么能用直線方程近似表示相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系.

假如散點(diǎn)圖中點(diǎn)分布從整體上看大致在一條直線附近我們就稱這兩個(gè)變量之間含有線性相關(guān)關(guān)系第14頁線性回歸方程：普通地,設(shè)有n個(gè)觀察數(shù)據(jù)以下：……當(dāng)a,b使取得最小值時(shí),就稱這n對(duì)數(shù)據(jù)線性回歸方程,該方程所表示直線稱為回歸直線.為擬合第15頁第16頁

類似地，我們能夠推得，求回歸方程中系數(shù)a,b普通公式:

以上公式推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它原理較為簡(jiǎn)單：即各點(diǎn)到該直線距離平方和最小，這一方法叫最小二乘法。第17頁求解線性回歸問題步驟:1.列表()，畫散點(diǎn)圖.2.計(jì)算:3.代入公式求a,b4.列出直線方程第18頁例題1：下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)統(tǒng)計(jì)資料，請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否含有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程;假如不含有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由．第19頁解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故含有線性相關(guān)關(guān)系．第20頁第21頁第22頁回歸分析基本步驟:畫散點(diǎn)圖求回歸方程預(yù)報(bào)、決議第23頁問題：有時(shí)散點(diǎn)圖各點(diǎn)并不集中在一條直線附近，依然能夠按照求回歸直線方程步驟求回歸直線，顯然這么回歸直線沒有實(shí)際意義。在怎樣情況下求得回歸直線方程才有實(shí)際意義？即建立線性回歸模型是否合理？怎樣對(duì)一組數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)程度作出定量分析？第24頁相關(guān)系數(shù)

1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越靠近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越靠近于0，相關(guān)程度越弱．超級(jí)鏈接第25頁散點(diǎn)圖只是形象地描述點(diǎn)分布情況，要想把握其特征，必須進(jìn)行定量研究．第26頁相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣不一樣？函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量間是一個(gè)確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一個(gè)非確定性關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一個(gè)理想關(guān)系模型相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更普通情況小結(jié)：1.變量之間兩種關(guān)系