云南省昭通2024-2025學年高三下學期4月教學質(zhì)量檢測數(shù)學檢測試題（附答案）

云南省昭通2024-2025學年高三下學期4月教學質(zhì)量檢測數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={(x,y)|y=cosx}，B=((x,y)|y=x}，則A∩B中元素的個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.32.已知z=(1+i)2025÷2A.22+22i B.3.已知f′(x0)=4，limA.4 B.2 C.8 D.164.某同學參加跳遠測試，共有3次機會.用事件Ji(i=1,2,3)表示隨機事件“第i(i=1,2,3)次跳遠成績及格”，那么事件“前兩次測試成績均及格，第三次測試成績不及格”可以表示為A.J1∩J2 B.J2∪5.若tanθ=?3，則cos(πA.?65 B.3 C.356.規(guī)定Axm=x(x?1)…(x?m+1)，其中x∈R，m∈N?，且Ax0=1，這是排列數(shù)AA.22 B.1 C.27.已知某圓臺的體積為1423π，其軸截面為梯形ABCD，AB=4，CD=2，則在該圓臺的側(cè)距上，從點A到A.32 B.33 C.8.已知拋物線C：y2=6x的焦點為F，O為坐標原點，傾斜角為θ的直線l過點F且與C交于M，N兩點，若△OMN的面積為3A.sinθ=12 B.|MN|=24

C.以MF為直徑的圓與y軸僅有1個交點 D.|MF|二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所錄，則A.φ=?π6

B.f(x)在[0,π2]的值域為[?1,1]

C.將f(x)的圖像向左平移π12個單位后為奇函數(shù)

10.素數(shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想.19世紀中葉，法國數(shù)學家波利尼亞克提出了“廣義孿生素數(shù)猜想”：對所有自然數(shù)k，存在無窮多個素數(shù)對(p,p+2k).其中當k=1時，稱(p,p+2)為“孿生素數(shù)”，k=2時，稱(p,p+4)為“表兄弟素數(shù)”.在不超過10n(n∈N?)的素數(shù)中，任選兩個不同的素數(shù)p，q(p<q)，令事件An={(p,q)為孿生素數(shù)}，Bn={(p,q)為表兄弟素數(shù)}，Cn={(p,q)|q?p≤4}，記事件An，BnA.P(A3)=P(B3)=P(C3)11.已知函數(shù)fx=xA.當m≤3時，函數(shù)fx有兩個極值

B.過點0,?1且與曲線y=fx相切的直線有且僅有一條

C.當m=1時，若b是a與c的等差中項，直線ax?by?c=0與曲線y=fx有三個交點Px1,?y1,?Q三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若對任意的實數(shù)k，直線kx?y+1=0與橢圓x26+y213.已知無窮等比數(shù)列{an}中，首項a1=3，公比q=14.幻方是一種數(shù)學游戲，具有悠久的歷史，其要求每行每列以及兩條對角線的數(shù)字之和均相等，且每格的數(shù)字均不相同.現(xiàn)將1～16填入4×4幻方，部分數(shù)據(jù)如圖所示，則m的取值集合是

．1312111m169四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左右兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，B1B2是該橢圓的短軸，且|B1B2|=216.(本小題15分)

在△ABC中，2asinB=2b．

(1)求A；

(2)若b=26，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，求△ABC的面積.條件①：cosC=?1010；條件②：a=2；條件③：sinB=17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//DC，PA⊥底面ABCD，點E為棱PC的中點，AD=DC=AP=2AB=2．

(1)證明：BE//平面PAD；

(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角F?AD?C的余弦值為1010，若存在，求出PFPC18.(本小題17分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且{2(1)求a2的值，并求{a(2)探究{an(3)證明：Sn<8(本小題17分)

對于一個函數(shù)f(x)和一個點M(a,b)，令函數(shù)s(x)=f(x)?bx?a，若x0是s(x)的極值點，則稱點P(x0,f(x0）是M在f(x)的“邊界點”．

(1)對于函數(shù)f(x)=ex，證明：對于點M(1,0)，存在點P，使得點P是M在f(x)的“邊界點”．

(2)對于函數(shù)f(x)=13x4+ax2，M(0,0)，若不存在點P，使得點P是M在f(x)的“邊界點”，求a的取值范圍．答案1.【正確答案】B

兩個函數(shù)的大致圖象如圖所示：

可知函數(shù)y=cosx與函數(shù)y=x的圖象有1個交點，

所以A∩B中有1個元素．

故選：B．2.【正確答案】A

∵(1+i2)2=1+2i+i223.【正確答案】C

因為f′(x0)=4，

則limΔx→0f(x0+2△Δx)?f(xJ1∩J2表示前兩次測試成績均及格，故A錯誤;

J2∪J3∪J35.【正確答案】C

cos(π2+θ)(1+sin2θ)sin(π+θ)+sin(3π2+θ)=?sinθ(sinθ+cosθ)2由題意可得32+1A=(2+1)(2)(由AB=4，CD=2，得圓臺的下底面的半徑為2，上底面的半徑為1，

設(shè)圓臺的高為?，由圓臺的體積為1423π，得13(12+22+1×2)π?=1423π，所以?=22，

在梯形ABCD中，則BC=12+(22)2=3，如圖，延長AD，BC，OO1交于點P，

由△PDC∽△PAB，得PCPC+3=12，所以PC=3，

設(shè)該圓臺的側(cè)面展開圖的圓心角為α，則3α=2π，所以α=2π3，

連接AC，PC，則從點A到C的最短路徑為線段AC，

又PC=3，PA=6，∠CPA=π3，所以AC=62+32?2×6×3×8.【正確答案】C

依題意F(32,0)，設(shè)直線l：x=my+32,M(x1,y1),N(x2,y2)，

由x=my+32y2=6x，整理得y2?6my?9=0，則Δ=36(m2+1)>0，

所以y1+y2=6m，y1y2=?9，所以S△OMN=12×|y1?y2|×32=34(y1+y2)2?4y1y2=34×6m2+1=339.【正確答案】ACD

對于A，由f(x)的部分圖象知，A=2，T=2×[π3?(?π6)]=π，

所以ω=2πT=2，f(x)=2sin(2x+φ)，

由2×π3+φ=π2，得φ=?π6，選項A正確；

對于B，所以f(x)=2sin(2x?π6)，x∈[0,π2]時，2x?π6∈[?π6,5π6]，

所以f(x)的值域為[?12,1]，選項B錯誤；

對于C，將f(x)的圖像向左平移π12個單位后，得f(x+π12)=2sin[2(x+π12)?不妨取n=3，

不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，

從中任意取兩個不同的素數(shù)p，q(p<q)，共有C102=45(個)樣本點，

由題意可知，A3={(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)}，共4個樣本點，

B3={(3,7)，(7,11)，(13,17)，(19,23)}，共4個樣本點，

C3={(2,3)，(2,5)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，(7,11)，(11,13)，(13,17)，(17,19)，(19,23)}，共10個樣本點，

所以P(A3)=P(B3)=445，P(C3)=29，

顯然P(A3)=P(B由fx=x對于A，當m≤3時，則有Δ=36?12m≥0，所以當m=3時，f′x=3x此時函數(shù)fx對于B，設(shè)過點0,1且與曲線y=fx相切于點t,則斜率為f′t=3t代入0,1得1?t3+3令gx=2x3+3x2+4，則令g′x<0得?1<x<0，所以gx在?∞,?1在?1,0上單調(diào)遞減，又g?3=?23<0，g?1所以函數(shù)gx只有一個零點，即方程2所以過點0,1且與曲線y=fx對于C，當m=1時，fx=x3+3x2所以直線ax?by?c=0即為直線ax?by+a?2b=0，即ax+1該直線過定點?1,?2，且此點在曲線fx又f′x=3x2+6x+1，令f′令f′x<0得所以fx在?∞,?3?63由題意作出函數(shù)fx設(shè)函數(shù)fx的對稱中心為a,b，則f2a?x+f整理得6a+1所以6a+1=0所以函數(shù)fx圖象關(guān)于點?1,?2中心對稱，設(shè)x則有x1+x對于D，當m=0時，fx=x令f′x>0得x>0或x<?2，令f′x所以fx在?∞,?2和0,+∞上單調(diào)遞增，在?2,0又f?2=1>0，f0所以fx在?1,?12上單調(diào)遞減，所以f令t=32x?14，當x∈?1,?1所以ft∈?1,5364故選：BCD．12.[1,6)∪(6,+∞)

因為kx?y+1=0恒過定點(0,1)，

又對任意的實數(shù)k，直線kx?y+1=0與橢圓x26+y2n=1恒有公共點，

則06+1n≤1，

即n≥1，

又n≠6，

則實數(shù){an}是無窮等比數(shù)列，首項a1=3，公比q=13，

則i=1+∞ai=不妨記第i列(從左往右)，第j行(從下往上)的數(shù)字坐標為(i,j)，如12=(3,4)，

易知8=(2,4)，6=(3,3)，7=(3,2)，16?m=(1,2)，m?11=(1,3)．

設(shè)t=(4,1)，則9?t=(2,1)，6+t=(2,3)，

由對角線可得到13+6+t+7+t=34，解得t=4，

故4=(4,1)，5=(2,1)，10=(2,3)，29?m=(4,3)．

注意到m?11>0，故m>11，

而12，13，16均在幻方中出現(xiàn)過，故m=14或m=15．

當m=15時，1=(1,2)，但1=(4,4)，矛盾;

當m=14時，給出一種幻方成立的情況：

綜上，m的取值集合是{14}．15.【正確答案】x24+y23=1(1)由題意可知S△F1B1B2=12×2b×c=bc=3，且|B1B2|=2b=23，

所以b=3，c=1，則a=b2+c2=2，故橢圓C的標準方程為x24+y23=1．

(2)設(shè)點P(x,y)，則?2≤x≤2，y2=3?3x24，易知點16.(1)在△ABC中，2asinB=2b?2sinAsinB=2sinB，

因為B∈(0,π)，sinB>0，

所以2sinA=2?sinA=22，

又A∈(0,π)，

所以A=π4或A=3π4．

(2)若選①，即cosC=?1010，則π2<C<π，

所以0<A<π2,0<B<π2,sinC=31010，則A=π4，

則sinB=sin(π?(A+C）=sin(A+C)=sin(π4+C)

=22×(?1010)+31010×22=55，

由正弦定理得：

asinA=bsinB=csinC，a=26517.【正確答案】(1)證明：在PD上找中點G，連接AG，EG，如圖：

∵G和E分別為PD和PC的中點，

∴EG/?/CD，且EG=12CD，

又∵底面ABCD是直角梯形，CD=2AB，AB/?/CD，

∴AB//GE且AB=GE.即四邊形ABEG為平行四邊形，

∴AG//BE，

∵AG?平面PAD，BE?平面PAD，

∴BE/?/平面PAD；

(2)解：因為PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，

以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，PC=(2,2,?2)，

由F為棱PC上一點，設(shè)PF=λPC=(2λ,2λ,?2λ),0≤λ≤1，

AF=AP+PF=(2λ,2λ,2?2λ)，AD=(0,2,0)，

設(shè)平面FAD的法向量為n=(a,b,c)，

由n?AF=0n?AD=0，可得2λa+2λb+(2?2λ)c=02b=0，解得b=0，

令c=λ，則a=λ?1，則n=(λ?1,0,λ)，

取平面ADC的法向量為m=(0,0,1)，

則二面角18.(1)因為{2nann}為等差數(shù)列，取前3項知2，2a2，83a3成等差數(shù)列，即4a2=83a3+2，

因為{ann(n+1)}為等比數(shù)列，取前3項知12，a26，a312成等比數(shù)列，即2a22=3a3，

代入4a2=83a3+2得4a2=169a22+2，即8a22?18a2+9=0，

也即(2a2?3)(4a2?3)=0，所以a2=34或319.(1)證明：M(1,0),s(x)=exx?1,s′(x)=(x?2)ex(x?1)2．

當x∈(2,+∞)時，s′(x)>0．

當x∈(?∞,1)∪(1,2)時，s′(x)<0；

所以s(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,1)，(1,2)上單調(diào)遞減，

則2是s(x)的極小值點，

故存在點P(2,e2)，使得點P是M在f(x)的“邊界點”．

(2)M(0,0),s(x)=13x3+ax(x≠0),s′(x)=x