云南省曲靖市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

云南省曲靖市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|3<2x}，B={y|y=3x+1}A.A∩B=(1,32) B.A∪B=(32,+∞)2.已知m，n為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，m?α，n?β，m⊥n，則m⊥β是α⊥β的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知關(guān)于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集為m,4m，其中m<0A.?2 B.1 C.2 D.84.牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為T0，則經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度T將滿足T?Ta=(12)t?(T0?Ta)，其中TA.12 B.14 C.16 D.185.3A.1 B.2 C.3 D.46.已知向量a=(cosπ3,sin2πA.?x∈R，|2a→?3b→|>1 B.?x∈(?∞,0)，使得(a+b)//b

7.復(fù)數(shù)z=i2020+(1+i1?i)2021A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若滿足：?①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù);?②存在[m,n]?D(n>m)，使得f(x)在[m,n]上的值域?yàn)閇m,n]，那么就稱y=f(x)是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)g(x)=loga(a2x+t)(a>0且a≠1)是定義域?yàn)锳.(0,14) B.(0,14]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知ω>0，函數(shù)f(x)=sinωx2cosωx2A.點(diǎn)?π6,0是函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間?5π12,π12上單調(diào)遞增

C.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π1210.下列命題正確的A.若復(fù)數(shù)z=(1?i)(2?i)，則|z|=10

B.若z1=2?i，z2=1?3i，則復(fù)數(shù)z=iz1+z25的虛部是?1

C.若|z?1|=2，則11.如圖，點(diǎn)M是正方體ABCD?A1B1C1DA.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足CM⊥AD1

B.若正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐B?C1MD體積的最大值為13

C.在線段AD1上存在點(diǎn)M，使異面直線B1M與三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,1),b=(1,?1)，且a與a+λb13.已知函數(shù)f(x)=log2x(x>0),2x(x≤0),且關(guān)于x的方程14.已知a>2b(a,b∈R)，函數(shù)f(x)=ax2+x+2b的值域?yàn)閇0,+∞)，則a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在①acosB+bcosA=2ccosC；②2asinAcosB+bsin2A=3a；③△ABC的面積為S，且4S=3(a2+b2?c2)，這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，填入下面的問題中，并求解，在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，函數(shù)16.(本小題15分)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過中心O的直線l與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M，N．

(1)求BD?(2)若Q是BC的中點(diǎn)，求QM?(3)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足2OP=λOB+17.(本小題15分)已知f(x)=(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)y=|f(x)|?m在區(qū)間[?524π,38?①求m的取值范圈;?②求sin(x118.(本小題17分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為直角梯形，AB/?/CD，AB>CD，∠ABC=90°.過點(diǎn)C1作

(1)在四邊形ABCD內(nèi)，過點(diǎn)O作OE⊥AD，垂足為E．(ⅰ)求證：平面OEC1(ⅱ)判斷O，E，D1，C(2)在棱BC上是否存在一點(diǎn)N，使得AC1/?/平面OMN?若存在，給出證明(本小題17分)

已知函數(shù)fx=x2+xx?2a，其中a為實(shí)數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)a=?1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(Ⅱ)若f(x)在?1,1上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2答案1.【正確答案】D

解：A={x|3<2x}={x|x>32}，B={y|y=3x+1}={y|y>1}，

則A∩B=(32,+∞)，故A錯(cuò)誤；2.【正確答案】A

解：

m⊥β，m?α，所以α⊥β，所以m⊥β是α⊥β的充分條件;

α⊥β，m?α，n?β，m⊥n，只有m垂直于兩個(gè)平面的交線時(shí)，則m⊥β，所以m⊥β是α⊥β的不必要條件．

所以m⊥β是α⊥β的充分不必要條件．

故選：A．3.【正確答案】C

解：由不等式ax2+2bx+4<0的解集為m?,?4m，

可知方程ax2+2bx+4=0的兩個(gè)根為m,4m．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到m+4m=?2ba,m·4m=4a，

則可知a=1，則可得m+4m=?2b，

即b=?12m+4m．

所以b4a+4b4.【正確答案】C

解：依題意，可令T0=85，T=55，Ta=25，t=10，代入式子得：

55?25=(85?25)(12)10?，解得?=10，

又把T=45代入式子得45?25=(85?25)(15.【正確答案】D

解：3?tan20°sin206.【正確答案】A

解：因?yàn)閍=(cosπ3,sin2π3)=(12,32)，b=(1,x)，

又2a?3b=(?2,3?3x)，

所以|2a?3b|=4+(3?3x)2≥2>1，故A正確；

a+b=(32,32+x)，若(a7.【正確答案】D

解：∵i4=1，1+i1?i=(1+i)2(1?i)(1+i)=i．

∴z=1505+i解：依題意，函數(shù)g(x)=loga(a2x+t)(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，

設(shè)存在[m,n]，使得g(x)在[m,n]上的值域?yàn)閇m,n]，

∴l(xiāng)oga(a2m+t)=mloga(a2n+t)=n,

即a2m+t=ama2n+t=9.【正確答案】ABD

解：由題可知f(x)=12sinωx+3(cosωx+1)2?32=sin(ωx+π3)，最小正周期為π

∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+π3)，

令2x+π3=kπ，k∈Z，∴x=kπ2?π6，k∈Z，

∴點(diǎn)(?π6,0)是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確;

令2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π210.【正確答案】AC

解：選項(xiàng)A，若復(fù)數(shù)z=(1?i)(2?i)=1?3i，則|z|=10，故A正確；

選項(xiàng)B，若z1=2?i，z2=1?3i，

則復(fù)數(shù)z=iz1+z25=i2?i+1+3i5=?1+2i5+1+3i5=i，

虛部是1，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，若|z?1|=2，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓心為(1,0)，半徑為2的圓上，

則|z?1?3i|表示圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(1,3)的距離，

∵點(diǎn)(1,0)到(1,3)的距離為311.【正確答案】ABD

解：對(duì)于A，如圖(1)，連接AD1，A1D，A1C，由正方體的性質(zhì)可得AD1⊥A1D，AD1⊥DC，又

A1D∩DC=D，A1D，DC?平面A1DC，故AD1⊥平面A1DC.當(dāng)點(diǎn)M∈A1D時(shí)，有CM⊥AD1，故存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M，滿足CM⊥AD1，故A正確．

對(duì)于B，由題知VB?C1MD=VM?C1BD，如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A1重合時(shí)，點(diǎn)M到平面C1BD的距離最大，則三棱錐B?C1MD體積的最大值為VA1?C1BD=13?4×13×12×1×1×1=13，故B正確．

對(duì)于C，如圖(3)，連接A1M，∵CD/?/A1B1，∴∠A1B1M為異面直線B1M與CD所成的角．

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，A1M=x(x>0)，則B1M2=x2+1，點(diǎn)A，到線段AD1的距離為22，

∴22≤x≤1.

若∠A1B112.【正確答案】?∞,?5

解：由題意得a+λb=2+λ,1?λ，

設(shè)a→則cosθ=a·a+λb解得λ<?5，又當(dāng)λ=0時(shí)，a=2,1與a+λb=2+λ,1?λ同向共線，故λ≠0．故答案為?∞,?5．13.【正確答案】(0,1]

解：畫出f(x)的圖象，如圖：

由圖象可知要使方程f(x)?a=0有兩個(gè)實(shí)根，

即函數(shù)y=f(x)與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以由圖象可知0<a≤1．

故答案為(0,1]．14.【正確答案】2

解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ax2+x+2b的值域?yàn)閇0,+∞),

則有a>0且1=4a×(2b)=8ab，即8ab=1，

a2+4b2a?2b=(a?2b)2+4aba?2b=(a?2b)+12(a?2b)，

又由15.【正確答案】解：f(x)=2==2sin(2ωx+π因?yàn)門=2π2ω=π，所以ω=1因?yàn)?≤x≤π2，

所以π6≤2x+π6≤7π6，所以?①由acos?B+bcos?A=2ccos?C及正弦定理可得：

sin?Acos?B+sin?Bcos?A=2sin?Ccos?C，

即sin(A+B)=2sin?Ccos?C，

即sinC=2sinCcosC，且sinC≠0，

所以cosC=12，C為三角形內(nèi)角，所以C=π3，

②由2asinAcosB+bsin2A=3a及正弦定理得2sin2AcosB+2sinBsinAcosA=3sinA，

因?yàn)閟in?A≠0，

所以sinAcosB+sinBcosA=32，

所以sin(A+B)=32，所以sinC=32，

因?yàn)镃因?yàn)閏=3，C=π3，

所以A+B=2a?b=2=23=23sin(A?π3)，

因?yàn)?ABC為銳角三角形，且B=23π?A，

所以0<A<π2,0<B=2所以a?b的取值范圍為(?16.【正確答案】解：(1)由正方形可得BC?DC=0

(2)因?yàn)橹本€l過中心O且與兩邊AB、CD分別交于交于點(diǎn)M、N．

所以O(shè)為M、N中點(diǎn)，

所以QM?QN=(QO+OM)?(所以|QO|=1,1?|OM|?即QM?QN的取值范圍為(3)令OT=2OP，由OT=2OP=λOB+1?λOC知點(diǎn)T在BC上，又因?yàn)镺為M、N因?yàn)??|OM|?2，即PM?PN的最小值為17.【正確答案】解：(1)f(x)=sin2(x+π8)+2sin(x+π4)cos(x+π4)?12

=1?cos(2x+π4)2+22sin(2x+π2)?12

=12?24cos2x+24sin2x+22cos2x?12

=24sin2x+24cos2x

=12sin(2x+π4)

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)?π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ18.【正確答案】解：(1)證明：(ⅰ)如圖，

因?yàn)镃1O⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以C1O⊥AD，

又因?yàn)镺E⊥AD，OE∩OC1=O，OE、OC1?平面OEC1，所以AD⊥平面OEC1，

而AD?平面ADD1A1，

因此平面OEC1⊥平面ADD1A1．

(ⅱ)O，E，D1，C1不共面.證明如下：

假設(shè)O，E，D1，C1共面于平面α，

在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，因?yàn)锳B/?/CD，所以平面ABCD//平面A1B1C1D1，

因?yàn)槠矫鍭BCD∩α=OE，平面A1B1C1D1∩α=C1D1，所以O(shè)E//C1D1，

因?yàn)镃D//C1D1，所以O(shè)E//CD，而OE⊥AD，因此CD⊥AD，而AB/?/CD，所以AB⊥AD，

又因?yàn)椤螦BC=90°，所以四邊形ABCD為矩形，這與四邊形ABCD為直角梯形相矛盾，

因此假設(shè)不成立，所以O(shè)，E，D1，C1不共面．

(2)當(dāng)N為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，使得AC1/?/平面OMN.證明如下：

如圖：

延長(zhǎng)CO交AB于P．

因?yàn)镺B=OC，所以∠OCB=∠CBO，而∠ABC=90°，

因此由∠OCB+∠CPB=∠CBO+∠OBP=90°得∠CPB=∠OBP，

所以O(shè)P=OB，即點(diǎn)O是線段CP的中點(diǎn)，

取棱BC的中點(diǎn)為N，連接ON，則ON//AB，

19.【正確答案】解：函數(shù)f(x)=x2+x|x?2a|=2x2?2ax,x≥2a2ax,x<2a，

(Ⅰ)當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=x2+x|x+2|=?2x,x<?22x2+2x,x≥?2,

所以函數(shù)的最小值為?12．

(Ⅱ)若a>0，則f(x)在R上為增函數(shù)，符合題意；

若a=0，不合題意；

若a<0，則a2≤?1，從而a≤?2，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤?2或a>0．

(Ⅲ