黑龍江省牡丹江市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

黑龍江省牡丹江市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考生注意1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算判斷A，B，C，應(yīng)用乘法求導(dǎo)運(yùn)算判斷D.【詳解】因?yàn)樗訟選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋訡選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以D選項(xiàng)正確.故選：D.2.已知函數(shù)在上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)無(wú)極值的條件，利用判別式解得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)極值,所以在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.3.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A.18 B.9 C.6 D.3【正確答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】.故選：A.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又，易知函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，使.故選：C.5.如果在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性得出導(dǎo)函數(shù)恒為正或者恒為負(fù)求參即可.【詳解】由已知，因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù),所以恒成立或恒成立，所以恒成立或恒成立，所以或,所以或.故選：A.6.設(shè)，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得不等式，可得．【詳解】設(shè)，（），則.令得，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，即，所以．故選：B7.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求，取，可求，再求，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選：A8.已知，設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意同構(gòu)可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性可得，參變分析可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.【詳解】由題意可知：，整理可得，設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，由題意可知：，則對(duì)任意內(nèi)恒成立，可得對(duì)任意內(nèi)恒成立，設(shè)函數(shù)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的最小值為，可得，所以的取值范圍為.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意同構(gòu)可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性可得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有最大值B.當(dāng)時(shí)，的圖象在點(diǎn)處的切線方程是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是【正確答案】BD【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；B選項(xiàng)，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程；C選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到函數(shù)單調(diào)性；D選項(xiàng)，，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，結(jié)合函數(shù)圖象，得到的取值范圍是.【詳解】因?yàn)椋x項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有最小值，無(wú)最大值，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，方程，即，令，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，且，如圖，的范圍是，故D正確.故選：BD10.已知，且在點(diǎn)處的切線與直線平行，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.在上單調(diào)遞增C.有且僅有一個(gè)極值點(diǎn) D.對(duì)任意，都有【正確答案】CD【分析】由及可求得的值可判斷A；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及極值，可判斷B、C；再求得最小值，可判斷D．【詳解】，在點(diǎn)處的切線與直線平行，，，A錯(cuò)誤；由，解得：；由，解得：；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此有且有一個(gè)極值點(diǎn)，B錯(cuò)誤，C正確；，則對(duì)任意，都有，D正確.故選：CD11.函數(shù)，其中是常數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，是增函數(shù) B.若是的極大值點(diǎn)，則C.若，且有2個(gè)零點(diǎn)，則 D.當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)【正確答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值即可判斷AB；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和零點(diǎn)的概念計(jì)算即可判斷CD.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故A正確．因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得．當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意，故B正確．令得或，因?yàn)?，所以，所以?dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且.又當(dāng)時(shí)，，所以若有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故C正確．當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且，又當(dāng)時(shí)，，所以有1個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在上的最小值為_(kāi)_____．【正確答案】##【分析】通過(guò)求導(dǎo)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可以判斷，函數(shù)在或時(shí)，取得最小值，通過(guò)求值比較大小，即可求得其最小值.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值，又，，所以函數(shù)在上的最小值為，當(dāng)時(shí)取得.故答案為.13.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為_(kāi)_____．【正確答案】##【分析】在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.【詳解】由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a最小值為.故答案為.14.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是___________.【正確答案】【分析】令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，由為偶函數(shù)，可得為奇函數(shù)，分兩種情況：，分析不等式的解集，即可得出答案.【詳解】令，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，若，則等價(jià)于，所以，若，則等價(jià)于，所以.綜上所述，不等式的解集是.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性解題，考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（1）；（2）（3）【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用求導(dǎo)法則求導(dǎo)即得；（2）利用分式函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即得；（3）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以；【小?wèn)3詳解】因?yàn)?，所?16.已知函數(shù)在處有極值-1.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【正確答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）由題意，解出的值再檢驗(yàn)即可；（2）直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符合與單調(diào)性的關(guān)系即可得解.【小問(wèn)1詳解】已知函數(shù)，則，由題意，解得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有極小值，滿足題意，綜上所述，符合題意；【小問(wèn)2詳解】由題意，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.17.已知函數(shù)．（1）過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，求該切線的方程；（2）設(shè)，求在的最值．【正確答案】（1）（2）最小值為，最大值【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)斜率可求解，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由得，所以所求切線的斜率為，即，所以，即，故切點(diǎn)，所以所求切線的斜率為，切線方程為，即，故所求切線的方程為．【小問(wèn)2詳解】由條件知，．所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)性為：?jiǎn)握{(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以．又，所以最大值為：所以在的最小值為，最大值為：18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若在區(qū)間上存在極值，且此極值小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【分析】（1）先確定切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，依據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程.（2）求導(dǎo)，對(duì)的不同取值進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.要注意：函數(shù)的定義域.（3）利用（2）的結(jié)論，可求問(wèn)題（3）.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，.又，所以.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為1，所以切線方程為即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得，在區(qū)間，，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在取得極小值，所以，解得，所以．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：．【正確答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，可求函數(shù)的增區(qū)間.（2）（ⅰ）求導(dǎo)，結(jié)合換元法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)有兩個(gè)不等正根可求參數(shù)的取值范圍.（ⅱ）利用