新教材 人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè) 第一章 空間向量與立體幾何 學(xué)案

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運(yùn)算.......................................................-1-

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算.............................................-1-

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算............................................-15-

1.2空間向量基本定理......................................................-28-

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示............................................-37-

1.3.1空間直角坐標(biāo)系..................................................-37-

1.3.2空間運(yùn)算的坐標(biāo)表示..............................................-46-

1.4空間向量的應(yīng)用........................................................-58-

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系.............................-58-

第1課時(shí)空間向量與平行關(guān)系......................................-58-

第2課時(shí)空間向量與垂直關(guān)系......................................-68-

1.4.2用空量研究距離、夾角問(wèn)題........................................-79-

章末總結(jié)...................................................................-97-

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)

1.理解空間向量的概念.（難點(diǎn)）

生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.（重點(diǎn)）

2.借助向量的線性運(yùn)算、共線向量及共面

3.掌握共線向量定理、共面向量定理

向量的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的直觀想象和邏

及推論的應(yīng)用.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

輯推理的核心素養(yǎng).

情覺(jué)蟀受學(xué)情景導(dǎo)學(xué)。探新知_預(yù)3素喬感史

畬情境引入?助學(xué)助教

國(guó)慶期間，某游客從上海世博園（。）游覽結(jié)束后乘車到外灘（A）觀賞黃浦江，然

后抵達(dá)東方明珠（3）游玩，如圖1,游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念

來(lái)表示這個(gè)過(guò)程？

AA

圖1圖2

如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2,那么他實(shí)

際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？

匚新知初探二|

1.空間向量

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長(zhǎng)度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示;

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是3,

也可記作：踵，其模記為回或國(guó).

2.幾類常見(jiàn)的空間向量

名稱方向模記法

零向量任意00

單位向量任意1

a的相反向量：—a

相反向量相反相等

端的相反向量：M

相等向量相同相等a=b

3.空間向量的線性運(yùn)算

⑴向量的加法、減法

c

空間向量的加法OB=6A+OC=a+b

運(yùn)算減法

CA=OA—QC=a—b0aA

①交換目支：a+b=b+a

加法運(yùn)算律

②結(jié)合制吉：(a+A)+c=a+(A+c)

⑵空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

①定義：實(shí)數(shù)九與空間向量a的乘積也仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)

算.

當(dāng)X>0時(shí)，當(dāng)與向量a方向相同;

當(dāng)九<0時(shí)，一與向量a方向相反;

當(dāng)九=0時(shí)，Xa=0；而的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的囚倍.

②運(yùn)算律

a.結(jié)合律：k(/id)=u(kd)=Cku)a.

b.分配律：(九+〃)a=Xa+〃a,Ma+b)=ka+入b.

思考：向量運(yùn)算的結(jié)果與向量起點(diǎn)的選擇有關(guān)系嗎？

［提示］沒(méi)有關(guān)系.

4.共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些

向量叫做共線向量或平行向量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量a,與向量a生后的非零向量稱為直線/

的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a,都有0〃a.

(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,〃SW0),的充要條件是存

在實(shí)數(shù)X使a=Xb.

(4)如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對(duì)于直線/上任意

一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)九，使得5>=而.

5.共面向量

(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a,〃不共線，則向量p與向量a,〃共面的充

要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使〃=xa+yb.

(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使力=

述土蛀或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,有辦=屈+%獲+證.

思考：(1)空間中任意兩個(gè)向量一定是共面向量嗎？

—>1—>■11—*■

(2)若空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,滿足。尸

則點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C是否共面？

［提示］(1)空間中任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面

的兩個(gè)向量，因此一定是共面向量.

—>1—>1—>1—>—>—>1—>—>1—>—>

(2)由。尸=］O4+§03+1。。得。P—0A=0A)+2(0C-0A)

—>1—>1—

即人尸=養(yǎng)3+養(yǎng)C,因此點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面.

naM試身手g

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)空間向量a,b,c,若a〃方，b//c,貝Ua〃c.()

⑵相等向量一定是共線向量.()

⑶三個(gè)空間向量一定是共面向量.()

(4)零向量沒(méi)有方向.()

［提示］(1)X若8=0時(shí)，。與c不一定平行.

(2)V相等向量一定共線，但共線不一定相等.

⑶X空間兩個(gè)向量一定是共面向量，但三個(gè)空間向量可能是共面的，也可

以是不共面的.

(4)X零向量有方向，它的方向是任意的.

2.如圖所示，在四棱柱ABCD-ALBCLDI所有的棱中，可作為直線ALBI的方

向向量的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

D[共四條A3,AiBi,CD,CiDi.]

3.點(diǎn)C在線段A3上，且履3|=5,13cl=3,贏二應(yīng),則九=.

5—>

—W[因?yàn)镃在線段A5上，所以A3與3c方向相反，又因|A3|=5,|3C|=3,

故X=—|.]

—33

4.在三棱錐A-3CD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則AB+尹C-］

DE—AD化簡(jiǎn)的結(jié)果為

~A1-A->3->->—>

0[延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)R,連接AR,則有A3+￥C=A￡-^DE+AD=AD

~A~-A]~A3~->

+DF=AF,故AB+pC—/I）石一AD=O.]

疑難問(wèn)題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

空間向量的有關(guān)概念

【例1】(1)給出下列命題：

①若=則。=8或。=一岳

②若向量a是向量力的相反向量，則⑷=|外

③在正方體ABCD-ALBCLDI中，AC=A7CI；

④若空間向量加，n,p滿足7〃=",n=p,則7〃=p.

其中正確命題的序號(hào)是.

D'C'

1B'/

(2)如圖所示，在平行六面體A5CD-AEC。中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量看，

相等的向量有;與向量43'相反的向量有.(要求寫出所有適合

條件的向量)

(1)②③④(2)靛，，CC',DD'RA',BA,CD,CD'[(1)對(duì)于①，向量a與

萬(wàn)的方向不一■定相同或相反，故①錯(cuò)；

對(duì)于②，根據(jù)相反向量的定義知|a|=|Z>|,故②正確；

對(duì)于③，根據(jù)相等向量的定義知，AC=AiCi,故③正確;

對(duì)于④，根據(jù)相等向量的定義知正確.

⑵根據(jù)相等向量的定義知，與向量看，相等的向量有屆，，CC',而〔與向量不辦

相反的向量有反），BA,CD,CD'.］

廠........規(guī)?法.............................

解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)

（1）關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.

（2）注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這

一點(diǎn)說(shuō)明了共線向量不具備傳遞性.

②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.

③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不

僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；

②平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；

③若aWb,則⑷為臼；

④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.

A.0B.1C.2D.3

B［根據(jù)向量的定義，知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，①正

確；平行且模相等的兩個(gè)向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正確；

當(dāng)a=—8時(shí)，也有⑷=回，③不正確；只要模相等、方向相同，兩個(gè)向量就是相

等向量，與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無(wú)關(guān)，④不正確.綜上可知只有①正確，故選B.］

31型27空間向量的線性運(yùn)算

【例2】（1）如圖所示，在正方體ABCD-AbBCiDi中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果

為向量ACi的有（）

①(獲+初+兀；

②(AAi+Ai￡h)+DiCi；

?(AB+BBO+BTCI；

@(AAI+A］BI)+B7CI.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)已知正四棱錐尸-ABCD,。是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下

列各式中x,y,z的值.

①歷=M+擊+zR；

?PA=xPO+yPQ+PD.

［思路探究］(1)合理根據(jù)向量的三角形和平行四邊形法則，以及在平行六面體

中，體對(duì)角線向量等于從同一起點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量的和.如42=獲+第)+卷1.

(2)根據(jù)數(shù)乘向量及三角形或平行四邊形法則求解.

(1)D［對(duì)于①，(獲+靛)+左1=/+公1=/1；

對(duì)于②，(看1+4五)。+。七=451+加七1=/1；

對(duì)于③，(獲i)+或1=獲1+或產(chǎn)元1；

對(duì)于④，(看1+4而0+比1=靠1+慶1=/11

—A—A-A—?1—A—A

(2)［解］①如圖，OQ=PQ~PO=PQ-2(B4+PC)

―1—1―

=PQ-^PC~^PA,

.1

..y=z=—2.

②為AC的中點(diǎn)，。為CD的中點(diǎn)，

：.PA+PC=2P0,K：+PD=2PQ,

：.PA=2P0-PC,PC=2PQ~PD,

：.PA=2PO-2PQ+RD,：.x=2,y=~2.

「........規(guī)法.............................

1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧

(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,

靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，

務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)

果.

2.利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平

行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.

(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)G分別是3C,CD的中點(diǎn),

則該一獲等于()

3-A->->—>

A.^DBB.3MGC.3GMD.2MG

B[MG-AB-]-AD=MG-(AB-AD)=MG-DB

=MG+BD=MG+2MG=3MG.]

y型3共線問(wèn)題

【例3】(1)設(shè)ei,e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知A3=ei+&2,BC=5ei

+4e2,DC=-ei-2e2,且A,B,。三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)左=.

(2)如圖所示，已知四邊形A3CD,ABER都是平行四邊形且不共面，M,N分

別是AC,3歹的中點(diǎn)，判斷|與加是否共線.

［思路探究］(1)根據(jù)向量共線的充要條件求解.

(2)根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，把加表示成九a的形式，再根據(jù)向量共線的

充要條件求解.

(1)1［g=獲+/+d)=(ei+既2)+(5ei+4e2)+?+2e2)=7e1+(左+6)e2.

設(shè)AD=XAB,則7ei+(k+6)e2=Mei+&2),

丸=7

所以Lj，解得—L］

［法=左+6

(2)［解］法一：因?yàn)橄希琋分別是AC,3R的中點(diǎn)，且四邊形ABCD,四邊形

—?-A—?—A1AA1A

ABEF都是平行四邊形，所以MN=MA+Ab+RN=2C4+AR+/FB.

—A—?—?—A—?］—A—A—A］—?

又因?yàn)镸N=MC+CE+EB+BN=~2CA+CE—AF—^FB,以上兩式相加得

CE=2MN,

所以a〃加，即a與加共線.

法二：因?yàn)樗倪呅蜛BER為平行四邊形，所以連接AE時(shí)，AE必過(guò)點(diǎn)、N.

：.CE=AE-AC=2A7V-2AAf

=2(AN-AM)=2MN.

所以&〃立N,即日與蘇共線.

Z-.........................規(guī)律方法.........\

證明空間三點(diǎn)共線的三種思路

對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,3可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線.

⑴存在實(shí)數(shù)九使6=7麗成立.

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)。，有晶二豆+凝QGR).

⑶對(duì)空間任一點(diǎn)0,有晶=尤豆+y而(x+y=l).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3汝口圖，在正方體ABCD-ALBCIDI中，E在AiDi上，且公司=2訪i,R在對(duì)角

-2-

線4C上，且AiR=］RC.

求證：E,F,3三點(diǎn)共線.

［證明］設(shè)AB=a,AD=b,AAi=c,

~-?—?2-

因?yàn)锳iE=2EDi,AiF=^FC,

——>2—*■—>2——*■

所以Ai￡=?4i￡h,AiF=^AiC,

一2一2

所以

-2->,~2-~>,~?222---?2

AiF=-^(AC—AAi)=^AB+AD—AAi)=-^a-\-^b—^c,所以EF=AiR—AiE=ga

422(

卞-于R

——?―>―>22

又EB=EAI+AIA+AB=~~^b—c~\~a=a—~^b—c,

一2一

所以EF=gEB,所以E,F,5三點(diǎn)共線.

誄型”向量共面問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.什么樣的向量算是共面向量？

［提示］能夠平移到同一個(gè)平面內(nèi)的向量稱為共面向量.

2.能說(shuō)明P,A,B,C四點(diǎn)共面的結(jié)論有哪些？

［提示］(1)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得嬴=盛+贏.

(2)空間一點(diǎn)P在平面A3C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得小=

xOA+yOB+zOC(^^x+y+z=l).

(3)四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的方向向量與另外兩點(diǎn)的方向向量共線，如蕩〃辰:.

3.已知向量a,b,c不共面，且p=3a+2〃+c,m=a-b-￥c,n=a-\-b-c,

試判斷p,m,〃是否共面.

［提示］p=xm-\-yn,即3a+2Z>+c=x(a—/>+c)+

y(a+8-c)=(x+y)a+(—x+y)Z>+(x—y)c.

fx+y=3,

因?yàn)閍,b,c不共面，所以，一x+y=2,

lx—y=l,

而此方程組無(wú)解，所以p不能用nz,〃表示，

即p,m,n不共面.

【例4】已知A,B,C三點(diǎn)不共線，。為平面A3C外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足原

111—*■

=2OA+^OB+^OC.

(1)判斷版4,MB,設(shè)三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi).

［思路探究］(1)根據(jù)向量共面的充要條件，即判斷是否而=xi而+y應(yīng)Z；(2)

根據(jù)(1)的結(jié)論，也可以利用。Af=xOA+yOB+zOC中x+y+z是否等于1.

［解］(1)'：0A+0B+0C=30M,

AOA-6M=((5M-OB)+(OM-OC),

：.MA=BM-\-CM=-MB~MC,

向量M4,MB,共面.

(2)由(1)知向量而，MB,周共面，而它們有共同的起點(diǎn)且A,B,C三

點(diǎn)不共線，：.M,A,B,C共面，即M在平面ABC內(nèi).

［母題探究］

~異1-*-1->1—>—>—?

1.［變條件］若把本例中條件“。/=弓。4+］。3+］。?！备臑椤啊?+2。3=

6OP-3OC"，點(diǎn)P是否與點(diǎn)A、B、C共面.

［解］'：3OP-3OC=OA+2OB-3OP=(OA-OP)+(.2OB-2OP),

：.3&=PA+2PB,即育=—2麗—3日

根據(jù)共面向量定理的推論知：點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,C共面.

2.［變條件］若把本例條件變成“小+次=4反一而"，點(diǎn)P是否與點(diǎn)A、3、

C共面.

［解］設(shè)方>二豆+1獲yGR),貝I

(>A^xAB+yAC+OC=4rOA-^B,

：.0A+x(0B-0A)+y(0C-0A)+0C=40A-0B,

.*.(l-x-y-4)OA+(l+x)OB+(l+.v)OC=0,

由題意知豆，OB,女均為非零向量，所以x,y滿足：

1—%—y—4=0,

l+x=0,顯然此方程組無(wú)解，故點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,。不共面.

{l+.y=0,

3.［變解法］上面兩個(gè)母題探究，還可以用什么方法判斷？

—>■11—>1

［解］(1)由題意知，。尸=&。4+不93+5。。.

*.'^+1+^=1,.,.點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B、C共面.

(2)'：OP=4OA-C^-OC,而4—1—1=2WL

.?.點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不共面.

1.....??規(guī)律<方法........--'

解決向量共面的策略

⑴若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有崩=x蕊十證或不=xd+y而+z5Z(x

+y+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).

(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活

進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示.

―迷堂史必查案課堂小結(jié)。提素養(yǎng)堊基直息電除一…

匚必備素養(yǎng)二J

1.一些特殊向量的特性

(1)零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的.

(2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.

(3)兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不

僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?

2.5>=d+x獲+/稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.由此可知空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

3.證明(或判斷M，B,C三點(diǎn)共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)九，使獲=局(或獲

=/2)即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)。，有元=/d+(l—/)辦”來(lái)證明A,B,

C三點(diǎn)共線.

4.空間一點(diǎn)尸位于平面的43內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使蕨=

xMA+yMB,滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在平面內(nèi)；反之，平面內(nèi)的任一點(diǎn)

都滿足這個(gè)關(guān)系式.這個(gè)充要條件常用于證明四點(diǎn)共面.

5.直線的方向向量是指與直線平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量

有無(wú)窮多個(gè)，它們的方向相同或相反.

6.向量p與向量a,b共面的充要條件是在a與8不共線的前提下才成立的，

若a與8共線，則不成立.

以致用m

1.下列條件中使〃與A,B,C一定共面的是（）

A.0M=20A-0B~0C

111

B.OM=~^OA+^OB+-jOC

C.MA+MB+MC=O

D.OM+OA+OB+OC=（i

C［由總+癡+證=0得而=一癡一流，故M,A,B,C共面.］

2.已知正方體ABCQ-45C1。，若點(diǎn)口是側(cè)面CQi的中心，且方』晶

—nAAi,則m,n的值分別為（）

1111

-

^------

A.z2B.T2

C.一了

—>—>-A—>1—A-A-?1—A1—A1

A［由于Ab=A￡>+DF=A￡)+5(￡)C+O￡)i)=A￡)+5AB+5AAi,所以機(jī)=不，n

=一；,故答案為A.］

3.

［原式=刁。+8一5?+可。一不力+可。―3。+68-3c=5+三-3\a

(1-1+6%+一|+與-3.

4.給出下列四個(gè)命題：

①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；

②若a,〃滿足|a|＞|回且a,Z＞同向，則a＞岳

③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；

④對(duì)于任何向量a,b,必有|a+b|W|a|+|b|.

其中正確命題的序號(hào)為

④［對(duì)于①，長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；對(duì)于②,

向量是不能比較大小的，故不正確；對(duì)于③，不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以

相等，故③錯(cuò)；只有④正確,］

5.設(shè)兩非零向量Cl,C2不共線，且&1+?2與C1+&2共線，求左的值.

［解］?.,兩非零向量ei,C2不共線，且Zei+c2與d+&2共線，，氏i+e2=/（ei

+kei）,則（左一f）e\+（1—tk）ei=0.

???非零向量ei,C2不共線，***k—%=0,1—kt=0,解得左=±1.

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，培養(yǎng)

1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.

學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、

2.借助投影向量概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生直

運(yùn)算律及計(jì)算方法.（重點(diǎn)）

觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.掌握投影向量的概念.（重點(diǎn)）

3.借助利用空間向量數(shù)量積證明垂直關(guān)

4.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)

系、求夾角和距離運(yùn)算，提升學(xué)生的邏

題.（難點(diǎn)）

輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

情景趣味導(dǎo)學(xué)情景導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境引入，助學(xué)助教

已知兩個(gè)非零向量a與仇在空間任取一點(diǎn)。，作d=a,OB=b,則NA03

=6叫做向量a與力的夾角.

如果a與萬(wàn)的夾角為90。，則稱a與〃垂直，記作a,4

已知兩個(gè)非零向量a與從它們的夾角為。，把a(bǔ)0=|a||〃|cos。叫做a與8的

數(shù)量積（或內(nèi)積）

類比探究一下：兩個(gè)空間向量的夾角以及它們的數(shù)量積能否像平面向量那樣

來(lái)定義呢？

,新知初探b

1.空間向量的夾角

⑴夾角的定義

已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)。，作d=a,OB=b,則NA03

叫做向量a,的夾角，記作〈a,>〉.

(2)夾角的范圍

空間任意兩個(gè)向量的夾角。的取值范圍是［0,兀］.特別地，當(dāng)。=0時(shí)，兩向

量同向共線；當(dāng)。=工時(shí)，兩向量反向共線，所以若a〃萬(wàn)，則〈a,b)=0或兀；

當(dāng)〈a,b)=鄂寸，兩向量垂直,記作a_L方.

2.空間向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|囹cos〈a,b)叫做a,b的數(shù)量積，

記作.即a-/>=|a||/>|cos〈a,/>〉.

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為Q.

(2)常用結(jié)論(a,8為非零向量)

①a_L/>0a0=O.

@a-a=|a||a|cos〈a,a〉=\g^_.

.a-b

③cos(a,b)二遍.

(3)數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律b）=江（2辦）

交換律ab=ba

分配律（。+c）=ab+ac

思考：(1)若。功=0,則一定有嗎？

(2)若a，>0,則(a,b)一定是銳角嗎？

［提示］(1)若。。=0,則不一定有a_L仇也可能a=0或8=0.

⑵當(dāng)〈a,b)=0時(shí)，也有a1>0,故當(dāng)aJ>0時(shí)，<a?b>不一定是銳角.

3.投影向量

(1)投影向量

在空間，向量a向向量8投影，可以先將它們平移到同一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而利

用平面上向量的投影，得到與向量8共線的向量c,c=|a|cos〈a,的條則向量

-----------回

c稱為向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是同cos

(2)向量a在平面B上的投影向量

向量a向平面B投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面B的垂線，

垂足分別為4,夕,得到向量不弱,則向量后，稱為向量a在平面B上的投影向量.這

時(shí)，向量a,靜，的夾角就是向量只所在直線與平面6所成的角.

［提醒］(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；

(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律、作商和乘法的結(jié)合律，即ab=ac^b

=c,ab=k^b=~,(aZ>c=a-S?c)都不成立.

E初試身至G

1.思考辨析(正確的打“?”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)對(duì)于非零向量a,b,〈a,b)與〈a,—b)相等.()

(2)對(duì)于任意向量a,b,c,者B有(a?方)c=a(萬(wàn)c).()

(3)^ab=bc,且〃關(guān)0,則a=c.()

(4)(3a+2方>(3a—2萬(wàn))=91al2—4|。|2.()

［提示］(1)X(2)X(3)X(4)V

2.(教材P8練習(xí)Ti改編)在正三棱柱ABC-AiBiCi中，若AB=BBi,則ABi與

BCi所成角的余弦值為()

3131

A.gB.C.D.g

B［令底面邊長(zhǎng)為1,則高也為\,AB\=AB+BB\,BCx=BC+CCi,：.ABi-BCi

—>—>—>—>—>—>—>—>1

=(AB+5BI)-(BC+CCI)=ABBC+BBICCI=1XIXCOS1200+1*12=3^

X|A5I|=|BCJ|=V2.

1

2i

??cosBCi).故選B.]

3.已知a=3p—2q,b=p+q,p和夕是相互垂直的單位向量，貝!Ja協(xié)=()

A.1B.2C.3D.4

A[由題意知,p?q=0,p2=q2=l.

所以ab=(3p—2qy(p+q)=3p2+pq—2q2=3—2=l.]

7T7T

4.設(shè)a_L),〈a,c)=.{b,c〉=4,且⑷=1,\b\=2,|c|=3,則向量a+

b+c的模是.

，17+6小[因?yàn)閨a+8+cF=(a+8+c)2

=\a^+\b^+\c^+2(a-b+a-c+b-c)

=l+4+9+2^0+lX3x1+2X3X^=17+673,

所以|a+《+c尸寸17+6小.]

疑難問(wèn)題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

Y型]空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

【例1】⑴如圖，三棱錐A-3CD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=9Q°,ZBAC

=60°,則獲?歷等于（）

A.-2B.2C.-2小D.2小

(2)在四面體。43c中，棱。4,OB,0c兩兩垂直，且。4=1,0B=2,0C

=3,G為△ABC的重心，求元.(屆+防+次)的值.

(1)A['：CD=AD-AC,：.ABCD=AB(Ab-A<J)=ABAb-^AC=Q-

2X2Xcos60°=-2.]

—>—>—>—>1—>―>

(2)［解］OG=Q4+AG=Q4+w(AB+AC)

—>1—>—>-?—>

=OA+^［(OB-OA)+(OC-OA)］

111―*'

=^OB+^OC-\-^OA.

―?—>—>—>(1—>1->1->\―?—>—>

OG(OA+OB+OC)=\^0B+^0C+^0A\-(04+0B+0Q

1—>1—>1—>

+,。。2+利/

=|X22+|-X32+|Xl2=y-.

廠......規(guī)法..............................

在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.

(4)代入公式a協(xié)=|a||A|cos{a,b}求解.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.在長(zhǎng)方體ABCD-ALBICLDI中，AB=AAi=2,AD=4,E為側(cè)面AALBLB的

中心，R為AiDi的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積：

(l)BCEDi；(2)BFABi.

［解］如圖，設(shè)AB=a,AD=b,AAi=c,則|a|=|c|=2,|例=4,a-b=b-c=c-a

=0.

_~>-?-?—>I

(l)BCEDi=BC\EAi+AiDi)=b^c-a)+b=\b^=42=16.

------?->,->-->-->,I

(2)BF-ABi=(BAi+AiF)-(A5+AAi)=c-a+26-(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.

利用數(shù)量積證明空間垂

直關(guān)系

【例2】已知空間四邊形。43c中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,1.OA=OB

=0C,M,N分別是。4,3c的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG,3c

［思路探究］首先把向量元和靛均用晶、而、又表示出來(lái)，通過(guò)證明元?靛

=0來(lái)證得OG,3c

［證明］連接ON,設(shè)NA05=NB0C=NA0C=。,

又設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,

則⑷=|b|=|c|.

1->

又0G=］(OM+ON)

=-^OA+^(OB+OC)

1->

=W(a+8+c),BC=c-b.

1

：.OGBC=^a-\-b-\-cy(c-b)

=^(ac-ab+bc—b2+c2—bc)

=^(|a|2-cos|a|2-cos|a|2+|a|2)=0.

：.OGLBC,即。G,3c.

用向量法證明垂直關(guān)系的步驟

(1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

(2)用已知向量表示所證向量；

⑶結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0；

(4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.如圖，四棱錐P-A3CD中，底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=6Q°,AB=

2AD,底面A3CD證明：PALBD.

［證明］由底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=6Q°,A3=2AD知，DA±BD,

則訪向=0.

由「。，底面A3CD知，PD±BD,則萬(wàn)泰麗=0.

又6=麗+亦，.?.法?麗=(而+亦)ib=詼ib+5Xib=o,PALBD.

夾角問(wèn)題

【例3】⑴已知a+b+c=0,|a|=2,\b\=3,\c\=4,則向量a與8之間的

夾角〈a,b＞為()

A.30°B.45°

C.60°D.以上都不對(duì)

(2)如圖，在空間四邊形。43c中，。4=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC

=45°,ZOAB=60°,求異面直線。4與3C的夾角的余弦值.

［思路探究］⑴根據(jù)題意，構(gòu)造△A5C,使蕊=c,AC=b,BC=a,根據(jù)AABC

三邊之長(zhǎng)，利用余弦定理求出向量a與8之間的夾角即可.

(2)求異面直線。4與3C所成的角，首先來(lái)求其與說(shuō)的夾角，但要注意異面

直線所成角的范圍是(0,f］,而向量夾角的取值范圍為［0,兀］，注意角度的轉(zhuǎn)化.

(1)D['：a+b+c=Q,\a\=2,\b\=3,|c|=4,

以這三個(gè)向量首尾相連組成△ABC;

令蕊=c,AC=b,BC=a,則△ABC三邊之長(zhǎng)分別為BC=2,CA=3,AB=4;

后「2+―4o222+32—421

由余弦定理，得：cosZBCA=2BCCA=2X2X3=一不

又向量病和之是首尾相連，

??.這兩個(gè)向量的夾角是180。一/3。4,

cos(a,b)=；,

即向量a與之間的夾南(a,b)不是特殊南.］

(2)［解］'：BC=AC-AB,：.OABC=OA^~OAAB=\OA\\AC\COS<6A,AC>

-\OA\-\AB\-

cos<0A,AB)=8X4Xcos1350-8X6Xcos120°

=24-16^2.

Acos〈而靛〉=應(yīng)姓=%呼=三段一?.異面直線OA與BC的

而畫8X55

夾角的余弦值為3

廠....規(guī)WcJ5法.........................

利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路

(1)求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾

角的定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍；②先求al,再利用公式cos(a,b)

=尚需求出c°s〈a，b)的值，最后確定〈a,b)的值.

(2)求兩條異面直線所成的角，步驟如下：

①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)；

②將異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題；

③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大??；

④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時(shí)

應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，從而求出異面直線所成的角的大小.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.如圖，在正方體ABCD-ALBCLDI中，求靛1與元夾角的大小.

［解］不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則說(shuō)1?元

=(BC+CCi)(AB+BC)

=(AD+AAi)-(AB+AD)

=AD-AB+M)1+AAiAB+AAx-Ab

=0+AD2+0+0=AD2=l,

又：I說(shuō)1尸啦，I危尸表，

~~>,~>■~?TT

(BCi,AC)G［0,Tt\,：.〈BCi,AC)=y

~a-7L

即3cl與AC夾角的大小為？

距離問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.用數(shù)量積解決的距離問(wèn)題一般有哪幾種？

［提示］線段長(zhǎng)度即點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距.

2.求模的大小常用哪些公式？

［提示］由公式|a|=gX可以推廣為［a土加=7(a土廳=7a2±2a-b+心.

3.如圖，已知線段A3,平面a,BCUa,CDLBC,平面a,JLZDCF=

30°,。與A在平面a的同側(cè)，若AB=BC=CD=2,試求A,。兩點(diǎn)間的距離.

［提示］獲+/+，|ib|2=(獲+靛+d))2=|蕊F+|說(shuō)F+|無(wú)F

+2AB-BC+2AB-CD+2BCCD=12+2(2-2-cos90°+2-2-cos1200+2-2-cos90°)=

8,

A\AD\=2y［2,即A,D兩點(diǎn)間的距離為2dl

【例4】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,

沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使A3與CD成60。角，求此時(shí)B,D間的距

離.

2

［思路探究］訪=應(yīng)+元+己—>||ib||

注意對(duì)〈函，CD)的討論，再求出3,。間距離.

［解］VZACD=9Q°,：.ACCD=Q,同理可得lb函=0.*.'AB與CD成60。

角，I.<BA,CD>=60°或〈函，CD)=120°.又壽=茂+元+無(wú)，A\BD\2=\BA

|2+|AC|2+|CD|2+2BA-AC+2i4-cb+2AC-cb=3+2XlXlXcos(BA,CD>.

.?.當(dāng)〈茂，CD)=60。時(shí)，|礪產(chǎn)=4,此時(shí)3,。間的距離為2;當(dāng)〈函，CD)

=120。時(shí)，訪2=2,此時(shí)3,。間的距離為夷.

廠......規(guī)法............................