浙江省衢溫“51”聯(lián)盟2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省衢溫“51”聯(lián)盟2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C．2 D．3．如圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則其原圖形的周長(zhǎng)為（

）A．8 B． C．4 D．4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A． B． C． D．6．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意的，滿足，記，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)滿足為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．11．設(shè)為正實(shí)數(shù)，定義在上的函數(shù)滿足，且對(duì)任意的，都有成立，則（

）A．或 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．為奇函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知的角A、B、C對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，，，則13．已知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的圓上，且，則的最大值是．14．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)y=fx的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖像，求函數(shù)在上的值域．16．在中，角所對(duì)邊分別是，且．(1)求；(2)若，求的值及邊上的高．17．已知．(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值；(3)求的最小值．18．已知圓錐的底面半徑，高．(1)求圓錐側(cè)面展開圖圓心角（用弧度表示）；(2)球在圓錐內(nèi)，圓錐在球內(nèi)，（?。┣笄虻谋砻娣e的最大值；（ⅱ）求球與球體積之比的最小值．19．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù)．于是根據(jù)定義若為區(qū)間上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意的，有；若為區(qū)間上的上凸函數(shù)，則對(duì)任意的，有．(1)已知函數(shù)，求證：（ⅰ）；（ⅱ）函數(shù)為下凸函數(shù)；參考公式：(2)已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)，求的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系利用數(shù)軸即可得解.【詳解】如圖，若，則.故選C.2．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】復(fù)數(shù)，則的虛部是2.故選C.3．【答案】A【詳解】將直觀圖復(fù)原為原圖，如圖：則,故，所以原圖形的周長(zhǎng)為，故選：A4．【答案】A【詳解】充分性，因?yàn)榭傻玫交?，若或時(shí)，可得，所以是的充分條件；必要性，若，當(dāng)時(shí)，滿足，但，故不是的必要條件，故選：A5．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過12,0當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過12,0所以滿足條件的圖象為D.故選：D.6．【答案】A【詳解】因?yàn)?所以,所以,又因?yàn)?所以,則在上的投影向量為.故選：A.7．【答案】B【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，滿足，所以在是增函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，所以f-x=f又，所以，所以，所以.故選：B8．【答案】C【分析】結(jié)合圖象按，，分類討論，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)去判斷方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，的對(duì)稱軸為，則實(shí)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，即，函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，且2個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，可得，或，當(dāng)時(shí)，，可得，，，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程有5個(gè)根，且5個(gè)根的和為5，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，分別為，即，或，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)無交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，所以4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4，則方程有4個(gè)根，且4個(gè)根之和為4，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.【方法總結(jié)】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)圖象法：作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).9．【答案】BCD【詳解】設(shè)，則，由或，于是或.A：顯然，因此本選項(xiàng)不成立；B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以本選項(xiàng)成立；C：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以本選項(xiàng)正確；D：當(dāng)時(shí)，，顯然，同理當(dāng)時(shí)，，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD10．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以，所以，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，令則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】ABD【分析】采用賦值法可判斷選項(xiàng)A，B，C；根據(jù)函數(shù)周期性可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的，都有成立，令，代入可得，因?yàn)?，?lián)立可得或，故A正確；令，代入可得，當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，有，再令，代入可得，得，所以，即關(guān)于直線對(duì)稱，綜上所述，關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；令，代入可得，又因?yàn)椋?，根?jù)B選項(xiàng)，，所以，故為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由上面可得，，所以，故D正確.故選ABD.12．【答案】/【詳解】由余弦定理可得，，又，.故答案為：.13．【答案】32/【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的圓上，所以，顯然是等邊三角形，內(nèi)角都為，，顯然當(dāng)同向時(shí)，有最大值，故答案為：14．【答案】【詳解】將正方體的側(cè)面與展開到同一平面在同一平面內(nèi)可知的最小值就是點(diǎn)到的距離，正方體中，為棱的中點(diǎn)，所以，，是正方形，所以故答案為：15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，令，則，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得,再將所得的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12,所以，，則，則.16．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）法一：,,,因?yàn)?，所?法二：,,,,在中，所以,因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋瑒t,由于，則,則,所以,．則,因?yàn)?,.17．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由于，所以，故（2）（3）法一：記，則根據(jù)余弦定理得，則，即則，所以最小值為法二：當(dāng)時(shí)，取得最小值18．【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ?7【詳解】（1）記圓錐的母線長(zhǎng)為則則（2）（?。┊?dāng)球的表面積最大時(shí)，此時(shí)球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球

記球的最大半徑為，如圖畫出截面圖，則所以．所以球的表面積的最大值為（ⅱ）球與球體積之比最小，即球體積最小，球體積最大

如圖所示，以為直徑的球可以包含圓錐，且此時(shí)為能包含圓錐的最小球，記球的最小半徑為，則法一：則球的最小體積為由（?。?/p>