2023-2024學年高一數(shù)學下學期期末考試模擬07（教師版）

2023-2024學年高一數(shù)學下學期期末考試模擬07一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理解三角形.【詳解】中，由正弦定理，得.故選：A.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逆用差角的余弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值計算作答.【詳解】.故選：B3.已知向量，若與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)與垂直，由求解.【詳解】解：，與垂直，，.故選：A.4.在中，角的對邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求出答案.【詳解】由余弦定理得，因為，所以.故選：C.5.若，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導公式及二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】.故選：A.6.在中，角的對邊分別為，若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式及正弦定理將角化邊即可判斷.【詳解】因為，又，即，由正弦定理可得，即，所以為直角三角形且為直角.故選：B7.若向量，的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再求出、，最后根據(jù)夾角公式計算可得.【詳解】∵兩個向量，的夾角是，是單位向量，，∴．∵，∴，∴．設向量與的夾角為，則，∵，∴．故選：A．8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合余弦定理及基本不等式，利用三角形面積公式求解即可.【詳解】由余弦定理：，因為，當且僅當時，等號成立，所以，故面積.即面積的最大值為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，角的對邊分別為，則下列對的個數(shù)的判斷正確的是（）A.當時，有兩解B.當時，有一解C.當時，無解D.當時，有兩解【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理對四個選項一一判斷，得到答案.【詳解】對于A，由正弦定理得，即，所以，又因為，所以或，有兩解，故A正確；對于B，由正弦定理得，無解，故B錯誤；對于C，由正弦定理得，無解，故C正確；對于D，由正弦定理得，又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯誤.故選：AC.10.如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則這些函數(shù)為“互為生成函數(shù)”.下列函數(shù)中，與構(gòu)成“互為生成函數(shù)”的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】，由，則將的圖象向左平移個單位長度后，即可與的圖象重合；由，則圖象無法經(jīng)過平移與的圖象重合；由，則將的圖象向左平移個單位長度后，再向下平移1個單位長度后，即可與的圖象重合；由，則的圖象無法經(jīng)過平移與的圖象重合.故A，C中的函數(shù)與“互為生成函數(shù)”.故選：AC11.在中，角的對邊分別為，已知的周長為，則（）A.若，則是等邊三角形B.存在非等邊滿足C.內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為D.可以完全覆蓋的最小圓的半徑為【答案】ACD【解析】【分析】由余弦定理與正弦定理及三角形的面積公式逐項求解即可.【詳解】因為的周長為3，且，可得，由余弦定理得．對于A，因為，所以，即，則，所以為等邊三角形，故A正確；對于B，假設，則，即，則，此時為等邊三角形，故B錯誤；對于C，由，可得，當且僅當時等號成立，解得或（舍去），所以的面積的內(nèi)切圓半徑為，所以內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，故C正確；對于D，設外接圓的半徑為，因為，當且僅當時等號成立，所以，解得或（舍去），由，可得，因為，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.終邊在直線上的角的集合是_______．（用弧度制表示）【答案】【解析】【分析】把直線分成兩條射線，來考慮終邊落到這兩條射線上的角的集合，然后取兩部分的并集.【詳解】當角的終邊落到上，則①當角的終邊落到上，則②①與②的并集得：故答案為：13.在中，已知向量與滿足，且，則角__________.【答案】##【解析】【分析】依題意可得，設角的平分線交于，即可得到，從而得到為等腰直角三角形，即可得解.【詳解】設角的平分線交于，因為，故，即，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，設，（如圖所示），，因為，故四邊形為正方形，所以為角的平分線，故在上.因為，故，故.綜上，等腰直角三角形且，所以.故答案為：14.如圖，在等腰中，點是邊的中點，且，當面積最大時，__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【詳解】在中，設，由余弦定理得，在中，，整理得到，，，故當時，有最大值，此時，即故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知為鈍角，，為第一象限角，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由平方關系求得、，再應用差角正弦公式求值即可；（2）先求出，再應用二倍角正切公式求值即可.小問1詳解】因為為鈍角，，所以，因為為第一象限角，，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以.16.在中，角的對邊分別為，已知．（1）求和的值；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關系求出，結(jié)合正、余弦定理計算即可求解；（2）由（1），結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解.【小問1詳解】在中，由，可得．又由及，可得．由余弦定理得，得，由，解得．所以．【小問2詳解】由（1）知，，所以的面積．17.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.（1）求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，當時，求方程的所有根的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用恒等變換化簡后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法,求得的函數(shù)表達式，解方程求得的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求出即可.【小問1詳解】由題意可得：因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，又，所以，故.令，得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，又，則，則.令，當時，，畫出的圖象如圖所示：的兩個根對應的點關于直線對稱，即，則在上有兩個不同的根，所以，所以方程在內(nèi)所有根的和為.18.如圖、某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西方向且與該港口相距的A處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇.（假設水面平靜）（1）要使相遇時小艇的航行距離最短，小艇的航行速度應為多少？（2）假設小艇的速度最快只能達到，要使小艇最快與輪船相遇，應向哪個方向航行？【答案】（1）（2）航行方向為北偏東【解析】【分析】（1）利用余弦定理和二次函數(shù)的最值求解；（2）要用時最小，則首先速度最高，然后是距離最短，則由（1）利用余弦定理得到方程解得對應的時間，再解得相應角，即可求解.【小問1詳解】

如圖設小艇的速度為，時間為相遇，相遇點為C，則由余弦定理得：，即,當時，取得最小值，此時速度，此時小艇的航行方向為正北方向，航行速度為.【小問2詳解】要用時最小，則首先速度最高，即為，則由（1）可得：，即，解得，此時相遇點為B，此時，在中，，則，故可設計航行方案如下:航行方向為北偏東，航行速度為，小艇能以最短時間與輪船相遇.19.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，即可求出角；（2）法一：根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)三角恒等變換化簡可得，再根據(jù)的范圍求解即可；法二：過點作，垂足為，根據(jù)直角三角形性質(zhì)結(jié)合圖形