2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題46 重要幾何模型之五類中點模型解讀與提分精練（全國）（原卷版）

專題46重要幾何模型之五類中點模型中點模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點問題，有時甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點模型；⑤中位線模型。本專題就中點模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.垂直平分線模型 2模型2.等腰三角形的“三線合一”模型 5模型3.“平行線+中點+對頂角”構(gòu)造全等或相似模型 7模型4.直角三角形斜邊中線模型 11模型5.中位線模型 15 21模型1.垂直平分線模型定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。條件：如圖，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D為BC中點，結(jié)論：BE=EC。證明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D為BC中點，∴BD=CD，∵DE=DE，∴，∴BE=CE.模型運用條件：當(dāng)遇到三角形一邊垂線過這邊中點時，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)。例1．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連接，則的周長為（

）A．7 B．8 C．10 D．12例2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在中，垂直平分交于點，若的周長為，則（

）A． B． C． D．例3．（2024上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段，的垂直平分線交于點，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例4．（2024·廣西·中考真題）如圖，在中，，．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）；(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求的長．模型2.等腰三角形的“三線合一”模型定理：等腰三角形底邊上的中線、高線、頂角的角平分線“三線合一”。條件：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，結(jié)論：①AD為BC邊上的中線（即BD=CD）；②AD為∠BAC的角平分線（即∠BAD=∠CAD）；③AD為BC邊上的高線（即AD⊥BC）。證明：我們不妨以①為結(jié)論證明，其他情況證明也是類似的證明全等即可。由題意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC。注意：其中三個結(jié)論已知其一便可證明其他兩個結(jié)論。模型運用條件：等腰三角形中有底邊上的中點時，常作底邊的中線。例1．（2024·河南·校考三模）如圖，在中，分別以點A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線交于點D，交于點E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是(

)

A． B． C． D．例2．（2024·陜西西安·二模）如圖，在中，點在邊上，，點、點分別是的中點，，，則的長為.例3．（24-25九年級上·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，，．在同一條直線上，，則CD的長為（）A． B． C． D．模型3.“平行線+中點+對頂角”構(gòu)造全等或相似模型我們把這種情況叫做平行線間夾中點.處理這種情況的一般方法是：延長過中點的線段和平行線相交，即“延長中線交平行”構(gòu)造全等；當(dāng)然有時候也需要自己構(gòu)造平行線的輔助線求解。條件：如圖，AB//CD，點E是BC的中點，可延長DE交AB于點F。結(jié)論：。證明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∴（AAS）。模型運用條件：構(gòu)造8字型全等（平行線夾中點）。例1．（2023·山東濟(jì)南·校聯(lián)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊的中點，EP⊥CD于點P，∠BAD=110°，則∠FPC的度數(shù)是（）A．35° B．45° C．50° D．55°例2．（2023下·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）在中，，于點，點為的中點，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例3．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在矩形中，E為的中點，F(xiàn)在上，平分．若，，則線段的長為．例4．（2023·天津·中考真題）如圖，的頂點C在等邊的邊上，點E在的延長線上，G為的中點，連接．若，，則的長為．例5．（24-25九年級上·重慶·期中）矩形和矩形按照如圖所示位置擺放，其中點B，C，G共線，點E，D，C共線，連接，點H是的中點，連接，若，，則的長（

）A．1 B． C． D．模型4.直角三角形斜邊中線模型直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。1）直角三角形斜邊中線模型（單中線模型）條件：如圖，若AD為斜邊上的中線；結(jié)論：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．證明：取AC的中點E，連接DE，∵AD是斜邊BC的中線，∴BD=CD=，∵E是AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴；∴，為等腰三角形；∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：．2）直角三角形斜邊中線模型（雙中線模型）條件：如圖，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為BC邊的中點，（直角在BC的同側(cè)和異側(cè)兩類）結(jié)論：（1）；（2）．證明：∵，M為BC邊的中點，∴，，∴∴，∵，∴，同理：∴，∴．（同側(cè)和異側(cè)證明一致）模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）例1．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，D是的中點，，，則的長是（

）A．3 B．6 C． D．例2．（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，，D是的中點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例3．（2024·山東青島·中考真題）如圖，菱形中，，面積為60，對角線AC與BD相交于點O，過點A作，交邊于點E，連接，則．例4．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，連接．是的中點，連接．若，則的面積為．

例5．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，是的弦，點C是優(yōu)弧上的動點（C不與A、B重合），，垂足為H，點M是的中點．若的半徑是3，則長的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例6．（24-25八年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，、分別是邊、上的高線，取為中點，連接點，，得到，是中點．(1)求證：；(2)如果，，求．模型5.中位線模型三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一。梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。圖1圖21）三角形的中位線模型：條件：如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，結(jié)論：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。證明：如圖1，過點C作交延長于點F，∴，∵是的中位線，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。2）梯形的中位線模型：條件：如圖2，在梯形中，，、分別是兩腰、的中點，結(jié)論：（1），；（2）梯形的面積＝×2×中位線的長×高＝中位線的長×高。證明：連接并延長，交延長線于點，，．是的中點，．，．，．點是的中點，又點是的中點，是的中位線，，．．，，．，．∵梯形的面積=，∴梯形的面積==中位線的長×高。（為梯形的高）模型運用條件：構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個中點時）。例1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點分別是的中點．若，則該工件內(nèi)槽寬的長為．

例2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，的對角線相交于點，點是的中點，．若的周長為12，則的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8例3．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形；第二次，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例4．（2024·北京西城·?？家荒＃┤鐖D，在中，D，E分別為的中點，點F在線段上，且．若，則的長為．例5．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在中，于點D，P是半徑為2的上的一個動點，連接，若E是的中點，連接，若在P運動過程中的最大值為，則的值為．例6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；（4）延長，交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務(wù)1】請你對結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級上·北京海淀·開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形中，，E為上一動點，M，N分別為，的中點，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．不確定3．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）如圖，為的弦，，且，若點M、N分別是、的中點，則長的最大值是（）

A．4 B．5 C． D．4．（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，點E為的中點，點D在上，且，相交于點F，若，則等于（）

A． B． C． D．5．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點，連接．若，則菱形的邊長為（

）

A．6 B．8 C．10 D．126．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，若，，點E為的中點，過點E作于點F，則的長為（

）A．2 B． C． D．7．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，中，，，，點在的延長線上，點在邊上，且．若，則的邊長為（

）A．2.5 B．3.5 C．2 D．8．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在中，，邊BC在x軸上，且點，點，則的面積為（

）

A．5 B．8 C．10 D．209．（2024·陜西西安·一模）如圖，中，平分，，于，，則的長為（

）A．8 B．10 C． D．10．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，D是邊上任意一點，過點D作于E，于F，則（

）A．3 B．4 C．4.8 D．不能確定11．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，為的中點，于點，則等于（

）A． B． C． D．12．（2024上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．的垂直平分線交于點D，交于點E．的垂直平分線交于點G，交于點F．則的長為（

）A． B． C． D．13．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，分別為，，的中點．若的長為10，則的長為．14．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點D，交于點，點F是的中點，連接、，若，則的周長為．15．（2024·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在中，，點分別是的中點，點是上的一個動點，連結(jié)，作交于點，連結(jié)．點從點向點運動的過程中，的最小值為．

16．（24-25八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，等邊中，點是延長線上一點，點是上一點，且．若，，則的長為．17.（24-25九年級上·四川·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，分別為邊，的中點，與、分別交于點、．已知，，則的長為．18．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在平行四邊形中，為邊的中點，且交射線于點，若，則的長度為19．（2024·廣東云浮·一模）如圖，在中，，，過點B作于點D，則．

20．（24-25八年級上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）如圖，在中，，平分，點E為邊的中點，過點與作，交于F，交的延長線于G，若，，則的面積為．

21．（