2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型解讀與提分精練（全國(guó)）（原卷版）

專題07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各

大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全

等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

...................................................................................................................................................2

模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型..........................................................................................................2

模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型..................................................5

...................................................................................................................................................9

模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型

角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造

等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后

還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。

角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對(duì)頂角相等構(gòu)造等腰。

1）角平分線加平行線必出等腰三角形．

圖1圖2圖3

條件：如圖1，OO’平分∠MON，過(guò)OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：OPQ是等腰三角形。

證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，△

∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。

條件：如圖2，ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：BDE是等腰三角形。

證明：∵DE∥△BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠△DBE=∠DBC，

∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。

條件：如圖3，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線與AB，AC分別相

交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：BOM、CON都是等腰三角形。

證明：由題意得：MN△∥BC，△∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，

∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：CON也是等腰三角形。

△

2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．

→

圖4

條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。

證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，

∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，

∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。

例1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半

1

徑作弧，分別交BA，BC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在ABC

2

內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線BO，交AD于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD3，DE2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

BE5

A．ABECBEB．BC5C．DEDFD．

EF3

例2．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，BC7，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)

點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若△AEF的周長(zhǎng)為14，則VABC的周長(zhǎng)是（）

A．14B．19C．21D．23

例3．（2023·廣東·八年級(jí)期末）如圖，ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，

CF平分∠BCD交AD于F點(diǎn)，則EF的?長(zhǎng)為cm．

例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，

AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成△立的是（）

A．EC＝EFB．FE＝FCC．CE＝CFD．CE＝CF＝EF

例5.（2023.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，ABC的平

分線BE交AD于F，交AC于E，若AE3，DF2，則AD_____________．

例6．（2023九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖1，在VABC中，ABC和ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作

EF∥BC，交AB于E，交AC于F．

(1)當(dāng)BE=5，CF=3，則EF___________；(2)當(dāng)BECF時(shí)，若CO是ACB的外角平分線，如圖2，它

仍然和ABC的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF

之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型

角平分線第二定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒(méi)有講，但它在實(shí)戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時(shí)

候能起到事半功倍的良好效果。

1）內(nèi)角平分線定理

條件：如圖，在ABC中，若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論：BC:ABCD:AD

證明：作DF△BC，作DHAB垂足分別為F，H.

1

DFBC

SVBCDBC

∵BD是∠ABC的平分線，∴DF=DH，則=2=

S1

VBADDHABAB

2

1

BECD

SVBCDCDBCCD

（2）作BECA垂足為E，則=2=∴=

S1

VBADBEDAADABAD

2

2）外角平分線定理

圖2圖3

條件：如圖2，在ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：AB:ACBD:CD．

證明：如圖2，過(guò)△C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于E，

BDBAABBD

∵CE∥AD，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴．

CDEAACCD

3）奔馳模型

條件：如圖3，ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將ABC分

為三個(gè)三角形。結(jié)論：SABO:SBCO:SCAO=c：a：b。

證明：過(guò)點(diǎn)O作ODBC于點(diǎn)D，作OEAC于點(diǎn)E，作OFAB于點(diǎn)F．

由題意知：OA，OB，OC是ABC的三條角平分線，ODBC，OEAC于，OFABODOEOF，

ABC的三邊AB、BC、AC長(zhǎng)分別為a，b，c，

111

S:S:S(cOF):(aOD):(bOE)c:a:b．

ABOBCOCAO222

例1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在ABC中，C90,B30，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)

1

為半徑畫弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交

2

于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．若ACD的面積為8，則△ABD的面積是（）

A．8B．16C．12D．24

例2．（2023·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是10、15、20．其三

條角平分線交于點(diǎn)O，將ABC分為三個(gè)三角形，SABO:SBCO:SCAO等于（）

A．1:1:2B．1:2:3C．2:3:4D．1:2:4

例3．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）已知VABC，AD是一條角平分線．

ABBD

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若AD是BAC的角平分線．可得到結(jié)論：．

ACDC

小紅的解法如下：過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G，

∵AD是BAC的角平分線，且DEAB，DFAC，∴______________．

11

ABDEBDAG

S△SBD

∴ABD2_____________．又∵△ABD2，∴_____________．

S1S1CD

△ADCACDF△ADCCDAG

22

ABBD

【類比探究】如圖②，若AD是BAC的外角平分線，AD與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．求證：．

ACDC

例4．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·期末）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分

ABBD

線的一個(gè)論證．如圖1，已知AD是VABC的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)

ACCD

ABBD

C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明．

ACCD

ABBD

(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明；

ACCD

(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，BAC90，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將ACD沿AD所在直

線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．

①若AC1，AB3，求DE的長(zhǎng)；②若BCk，AED，求DE的長(zhǎng)（用含k與的代數(shù)式表示）．

例5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題初探】

ABBD

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問(wèn)題：“如圖1，在VABC中，AD是VABC的角平分線，求證：”，

ACDC

有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路：

①如圖2，小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，運(yùn)用等

腰三角形和相似等知識(shí)解決問(wèn)題．

②如圖3，小強(qiáng)同學(xué)從“AD是VABC的角平分線”給出了另一種解題思路：在AC上截取AFAB，連接DF，

過(guò)點(diǎn)C作DF的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，也是利用相似等知識(shí)解決問(wèn)題．

（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過(guò)程．

【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對(duì)

應(yīng)邊的比．為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問(wèn)題進(jìn)行了改編，提出下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答．

ABBD

（2）如圖4，若△ACB的外角CAE平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．

ACDC

4

【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形ABCD中，AD，CB4，AB2，ABC90，AD∥BC，BE平

3

分ABC，求BE的長(zhǎng)．

1．（2024·湖南懷化·一模）如圖，以直角VABC的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直

1

角邊AB于點(diǎn)D，交斜邊AC于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，

2

SABG

作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若AB3，BC4，用SABC表示VABC的面積（其它同理），則＝（）

SACG

1334

A．B．C．D．

2455

2．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，VABC中，ABC與ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作

DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①VBDF和△CEF都是等腰三角形；②DEBDCE；

③VADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BFCE；⑤若A80，則BFC130．其中正確的有（）

A．①②③⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．②③④⑤

3．（2023春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ABC中，ABC90，點(diǎn)I為ABC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

過(guò)I點(diǎn)作AC的垂線，垂足為H，若BC3，AB4，AC5，那么IH的值為（）

35

A．1B．C．2D．

22

4．（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AE,BD是ABC的角平分線，AE,BD相交于點(diǎn)O,OFAB

于F，C60，下列四個(gè)結(jié)論：①AOB120；②ADBEAB；③若ABC的周長(zhǎng)為m,OFn，則

SABCmn；④若OE:OA1:3，則OD:OB2:3．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．

A．1B．2C．3D．4

5．（2024·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足為D，AF平分CAB，

交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC3，AB5，則CE的長(zhǎng)為（）

358

A．B．3C．D．

235

6．（23-24山西八年級(jí)期中）如圖在YABCD中，ABC的角平分線BE交AD于E，若CD3，ED2，

則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A．15B．16C．17D．18

7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，DE是VABC的中位線，ACB的角平分線交DE于點(diǎn)F，AC12，BC18，

則DF的長(zhǎng)為（）

A．9B．6C．3D．2

AC8

8．（24-25九年級(jí)上·廣東·課后作業(yè)）如圖，在VABC中，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D．若AB4，，

CD5

則BD．

9.（23-24八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，在等腰ABC中，AB=BC=a，CE=b，∠BAC和∠ABC的平分線

分別為AD，BE相交于點(diǎn)O，AD交BC于點(diǎn)D，B△E交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于F，若OF=c，則

ABC的面積為．

△

10．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，B60，C50，點(diǎn)D為ABC的

S△AE

邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E、G分別在邊AB、AC上，連接AD、DE、DG，若ADE，則ADC的度數(shù)為

S△ADGAG

．

11．（2024·天津·八年級(jí)校考期中）如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，延長(zhǎng)AD至E，使ADDE，

若AB3AC，△BDE的面積為9，則ABC的面積是．

12．（2023·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AD∥BC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，AE平分BAD，BE平

分ABC，延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①ABE≌AFE；②E為CD的中點(diǎn)；③若AD3，BC7，

1

則AF=10；④若四邊形ABCD的面積為27，且AEBE，則BF的長(zhǎng)為18，其中正確的結(jié)論有．

3

13．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平

：：

分線將ABC分成三個(gè)三角形，則SABOSBCOSCAO等于．

ABBD

14．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·自主招生）（1）若AD為BAC的角平分線，求證：；

ACCD

AP2BP

（2）已知，ABCADC90，BAC30，DAC45，求證：．

CPDP

15．（22-23八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，CD是ACB

的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），連結(jié)DE，DF．

(1)若分別記△BCD，ACD的面積為S△BCD,S△ACD，求S△BCD:S△ACD的值．

(2)設(shè)AEx，BFy，①若S△ADES△BDFS四邊形DECF，求xy的值．

20

②若S△S△，xy2，請(qǐng)判斷VBDF的形狀，并說(shuō)明理由．

ADEBDF9

ABBD

16．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖①，是VABC的角平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．經(jīng)過(guò)

ACDC

討論得到如下3種證明思路：??

思路1：過(guò)點(diǎn)D向BAC兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；

思路2：過(guò)點(diǎn)C作的平行線，與的延長(zhǎng)線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；

思路3：過(guò)點(diǎn)C作?D?A的平行線，與?B?A的延長(zhǎng)線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．

(1)請(qǐng)參考以上3種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；

(2)在圖①中，是VABC的角平分線．若AB6，AC4，BC7，則的長(zhǎng)度為_______；

????BE3BF

(3)如圖②，在VABC中，BAC60，VABC的角平分線、相交于點(diǎn)F，若，則的值為_______．

BC5CF

????

17．（22-23九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）[感知]如圖①所示，在等腰VABC中，ABAC，AD平分BAC，

ACCD

易得（不需要證明）

ABDB

(1)[探究]如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰VABC改為任意VABC，AD平分BAC，他通過(guò)觀察、測(cè)量，

ACCD

猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進(jìn)行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：

ABDB

方法1：過(guò)點(diǎn)D分別作DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，利用△ABD與ACD的面積比證明結(jié)論．

方法2：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用CAD與BED相似證明結(jié)論．

請(qǐng)你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．

(2)[應(yīng)用]如圖③所示，在Rt△ABC中，ACB90，AB13，AC5，AD平分BAC．若點(diǎn)E