山東省濟南市西城實驗中學2024−2025學年高一下學期4月階段性學情檢測數學試題（含解析）

山東省濟南市西城實驗中學2024?2025學年高一下學期4月階段性學情檢測數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，，若，則（）A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或22．若（為虛數單位）是關于方程的一個根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．在中，，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（

）A． B． C．3 D．75．在平行四邊形中，是對角線上靠近點的三等分點，點在上，若，則（）

A． B． C． D．6．某圓錐高為1，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A．2 B． C． D．17．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于（）

A． B．C．－1 D．－18．已知A，B，C，D在球O的表面上，為等邊三角形且邊長為3，平面ABC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱B．棱錐的側面一定都是三角形C．棱臺各側棱所在直線必交于一點D．有兩個面為矩形且相互平行，其余四個面均為等腰梯形的幾何體一定是四棱臺10．已知復數，滿足，（為虛數單位），則下列結論正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為411．在中，是的內切圓圓心，內切圓的半徑為，則（

）A．B．C．的外接圓半徑為D．三、填空題（本大題共3小題）12．在棱長為2的正方體中，為的中點，則三棱錐的體積是.13．已知向量與夾角為銳角，且，任意，的最小值為，若向量滿足，則的取值范圍為．14．復平面上兩個點，分別對應兩個復數，，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點，連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量和，則,,求：（1）的值；（2）的值；（3）與的夾角θ的余弦值．16．已知復數，且為純虛數（是的共軛復數）.（1）設復數，求；（2）復數在復平面內對應的點在第一象限，求實數的取值范圍.17．如圖矩形是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中，．（1）畫出平面四邊形OABC的平面圖并標出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；（2）若該四邊形OABC以OA為旋轉軸，旋轉一周，求旋轉形成的幾何體的體積及表面積．18．在平面直角坐標系中，對于非零向量，，定義這兩個向量的“相離度”為，容易知道，平行的充要條件為.（1）已知，，求；（2）在中，，，角A的平分線與交于點D，且，若，求.19．古希臘數學家托勒密對凸四邊形（凸四邊形是指沒有角度大于180°的四邊形）進行研究，終于有重大發(fā)現：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立.且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大.根據上述材料，解決以下問題，如圖，在凸四邊形中，

（1）若，，，（圖1），求線段長度的最大值；（2）若，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時角的大小，并求出四邊形面積的最大值；（3）在滿足（2）條件下，若點是外接圓上異于的點，求的最大值.

參考答案1．【答案】C【詳解】若，則，解得或.故選C.2．【答案】D【詳解】因為是關于方程的一個根，所以，整理得，所以，解得，故選D3．【答案】B【詳解】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選B.4．【答案】B【詳解】因向量在向量上的投影向量是，則，故，于是.故選B.5．【答案】C【詳解】由題可知，點在上，，又，，解得.故選C．6．【答案】A【詳解】如圖:截面為，設為中點，設，則，則截面面積，則當時，截面面積取得最大值為2.故選A.7．【答案】C【詳解】在ABC中，由正弦定理得，∴．在ADC中，，∴.故選C8．【答案】C【詳解】球心在平面的投影為的中心，設為，連接，是中點，連接，如圖所示：，，則，四邊形為矩形，，，故，.故選C9．【答案】BC【詳解】解：對A，如圖所示：將兩個平行六面體合在一起，但不是棱柱，故A錯誤；對B，根據棱錐的定義可知：棱錐的側面一定都是三角形，故B正確；對C，根據棱臺的定義可知：棱臺各側棱所在直線必交于一點，故C正確；對D，如圖所示：該幾何體的上下底面是兩個全等的矩形，兩矩形平行，且上面矩形的長與下面矩形的寬對應平行，則四個側面均為等腰梯形，但四條側棱并不交于同一點，故不是四棱臺，故D錯誤.故選：BC.10．【答案】ABC【詳解】由可知，表示的復數所對應的點都落在兩點連線的中垂線上，即如圖直線m上，m與y軸交點為，

由可知，對應的點都在以點為圓心，半徑為2的圓上，如圖，則的最小值為，的最大值為，而，故，故A正確；由于，故，故B正確；對應的點在直線上，如圖，和直線m關于x軸對稱，過點A作n的垂線，交圓于D,交n于E點，則的最小值即為的長，為，故C正確；設中對應的圓與x軸切于B點，過B作m的垂線，垂足為C,則的最小值即為BC的長，即為，故D錯誤，故選ABC.11．【答案】BCD【詳解】因為內心是三角形內角平分線的交點，所以在中，，故A錯誤；由余弦定理可得，因為的面積，所以，故B正確；設的外接圓半徑為，則，故，故C正確；對于D：方法一：因為在的平分線上，所以可設，則，同理可設，則，得，又、不共線，根據平面向量基本定理得，解得，即，故D正確；方法二：利用內心的性質結論，有，即，所以，即，故D正確.故選BCD12．【答案】【詳解】∵是中點，∴．

13．【答案】【詳解】設向量與的夾角為，，則，，所以當時，取得最小值為，即，所以.如圖所示，設，三角形是等邊三角形，設是的中點，則，由于，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓的半徑為，根據圓的幾何性質可知，即的取值范圍為.14．【答案】8【詳解】令，，且，由，則，即，故①，由兩點，連線的中點對應的復數為，則，即②，聯(lián)立①②，可得，且，即，，由，即，故為直角三角形，又，，故的面積為.15．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）∵,,.∴；（2）∵,∴

；（3）∵,∴16．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）解：因為，則，所以為純虛數，所以，解得.所以，因此.（2）解：因為，則，因為復數在復平面內對應的點位于第一象限，則，解得.因此實數的取值范圍是.17．【答案】（1）平面圖見解析，面積為；（2）體積為，表面積為.【詳解】（1）平面四邊形的平面圖如下圖所示：由直觀圖可知菱形的高為：，所以面積為；（2）旋轉而成的幾何體如下圖所示：該幾何體可以看成圓柱挖去一個同底的圓錐再加上一個同底的圓錐，由（1）可知圓柱的底面圓半徑為，母線長為，所以體積；所以表面積.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，，所以.（2）因為角A的平分線與交于點D，則，即，則，可得，即，可得，又因為，可知點P為的重心，則，可得，，則，，，可得，又因為，所以.19．【答案】（1）（2）時，四邊形面積取得最大值，且最大值為．（3）【詳解】（1）由，，，，可得，由題意可得，即，即