湖北省公安縣第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

公安三中2024級(jí)高一下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．在中，，，若點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．3．已知一個(gè)扇形的圓心角為，且面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）．A． B．C． D．5．已知平面向量滿足，，且，則（

）A． B． C．2 D．16．把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A．B．C． D．7．設(shè)，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)距離水面1米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)距離水面的高度（米）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)解析式為二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分。）9．計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（

）A． B．C． D．10．是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量是11．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．已知，則13．若平面向量，，兩兩的夾角為，且，，則．14．已知函數(shù)（）的最小正周期，若函數(shù)在上單調(diào)，且關(guān)于直線對(duì)稱，則符合要求的的所有值的和是.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）15．（13分）設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值，并指出與反向共線時(shí)k的取值16．（15分）已知平面向量，的夾角為，且，，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．17．（15分）已知角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)．(1)求；(2)求的值；(3)若角是三角形內(nèi)角，且，求的值．18．（17分）已知函數(shù)的最大值為．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，該公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的準(zhǔn)確性．運(yùn)用上述思想，計(jì)算的值：結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后位，參考數(shù)據(jù)：，19．（17分）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù),若對(duì)任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍；(3)若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．《公安三中2024級(jí)高一下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案BACDCADBACBCD題號(hào)11答案AB1．B【分析】由題可得，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得.【詳解】，，.故選：B.2．A【分析】運(yùn)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且與夾角的余弦值為，所以.故選：A.3．C【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式可直接求解.【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角為，面積為S，由題意得，解得，故選：C.4．D【分析】由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0，然后解三角不等式可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：D.5．C【分析】根據(jù)向量垂直得到向量的數(shù)量積，再將模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為數(shù)量積即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋?，，又，所?故選：C.6．A【分析】根據(jù)圖象的平移變化求解析式即可.【詳解】向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，然后所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到，所以.故選：A.7．D【分析】將分別與進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，，所?故選：D.8．B【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)距離水面的高度（米）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)解析式為，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)距離水面的高度為（米）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)解析式為，，由題意，，，解得,，則.當(dāng)時(shí)，，則，又，則.綜上，，故D正確；令，則，若，得秒，故A正確；當(dāng)秒時(shí)，米，故B不正確；當(dāng)秒時(shí)，米，故C正確.故選：B.9．AC【分析】利用三角恒等變形公式逐一化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，C正確；對(duì)于D：，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、向量的模的計(jì)算、向量數(shù)量積、向量投影等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】如圖：對(duì)于A，．故A不正確；對(duì)于B，所以，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，在上的投影向量是．故D正確．故選：BCD.11．AB【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由圖可知，，所以，于是A正確，所以，則，將點(diǎn)代入得：，所以，，又，所以，所以，對(duì)于B，因?yàn)椋瑸樽钚≈担院瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由條件結(jié)合圖象可知，于是，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AB．12．/【分析】由，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】由，所以，故答案為：.13．2【分析】先計(jì)算，，，再利用求模公式計(jì)算.【詳解】由題意可得，則，故答案為：2.14．/5.25【分析】根據(jù)最小正周期求法及得，結(jié)合函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及對(duì)稱軸有值為和和，再驗(yàn)證是否符合題設(shè)，即可得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期且，得，由于在上單調(diào)，該區(qū)間長(zhǎng)度小于等于半個(gè)周期，即，得，綜上，，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，，在的范圍內(nèi)，滿足條件的值為和和，驗(yàn)證可知，這三個(gè)值均滿足函數(shù)在上單調(diào)，因此，符合要求的所有值的和為故答案為：15．(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.【詳解】（1）由，得，，所以，且有公共點(diǎn)B，所以三點(diǎn)共線.（2）由與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個(gè)非零向量，因此，解得，或，實(shí)數(shù)k的值是.當(dāng)時(shí)，與反向共線16．(1)；(2)．【分析】（1）先得到，然后展開(kāi)計(jì)算即可；（2）由條件知，使用向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示即可得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求出.【詳解】（1），故．（2）由條件知，故，所以．17．(1)；(2)(3)或1【分析】（1）根據(jù)角終邊過(guò)點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義求解；（2）由（1）得到，根據(jù)，利用商數(shù)關(guān)系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用兩角差的正弦公式求解.【詳解】（1）解：因?yàn)榻墙K邊過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，所以；（2）由（1）知：，所以，；（3）因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，且，所以，由（1）知：，所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.18．(1)(2)，(3)【分析】（1）先利用兩角差的正弦余弦公式，結(jié)合輔助公式化簡(jiǎn)解析式，再根據(jù)函數(shù)最大值為列方程可求的值；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式可求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）先求出，再利用泰勒公式求出的近似值，從而可得答案.【詳解】（1），所以，即；（2），令，即，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，（3）因?yàn)?，所以，由泰勒公式得：所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題（3）的關(guān)鍵是對(duì)泰勒公式的理解與應(yīng)用，遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)得，再由最小正周期為，求得，即可得到的解析式；（2）利用指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域，再根據(jù)值域的包含關(guān)系列不等式組求解即可；（3）由題意，令，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且的圖象與直