五年級數學思維能力提升(奧數)講義下冊

數學思維能力提升（奧數）

（五年級下冊）

**教育教學研發(fā)中心編

第1講定義新運算（一）........................................................6

第2講定義新運算（二）........................................................9

第3講數的整除性（一）.........................................................11

第4講奇偶性（一）...........................................................15

第5講質數與合數............................................................23

第6講分解質因數............................................................25

第7講最大公約數與最小公倍數（一）.........................................27

第8講最大公約數與最小公倍數（二）.........................................29

第9講余數問題..............................................................32

第10講孫子問題與逐步約束法..................................................34

第11講位置原則..............................................................39

第12講最大最小..............................................................42

第13講多邊形的面積..........................................................46

第14講用等量代換求面積......................................................50

第15用割補法求面積..........................................................53

第16講列方程解應用題........................................................56

第17講行程問題（一）........................................................59

第18講行程問題（二）........................................................62

第19講抽屜原理（一）..........................................................72

第20講抽屜原理（二）..........................................................74

第1講定義新運算（一）

我們已經學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數學中最基本的運算，它們的意義、

符號及運算律已被同學們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些

新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開拓思

路及今后的學習都大有益處。

例1對于任意數a,b,定義運算a*b=aXb-a-bo

求12*4的值。

分析與解：根據題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。

12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。

例2己知aAb表示a的3倍減去b的;，例如?1A2=IX3-2X2=

根據以上的規(guī)定，求10A6

的值。S1

解：10Z\6=10X3-6X，=30-3=27。

J

例3對于數a,b,c,d,規(guī)定<a,b,c,d>=2ab-.己如<1,2,

c

3,x>=2,求x的值。

分析與解：按照定義的運算，

<1,2,3,x>=2,

2X1X2二=2。

3

4A

x=6o

由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免

使用課本上明確定義或已經約定俗成的符號，如+,X,+,<,>等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運

算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=aXb-a-b,新運算符號使用“*"，而

等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。

例4a,b表示兩個數，視定的b=孚。

（1）20=?

311

（2）-0-0x=-,求x=?

462

分析與解：按新運算的定義，符號“?！北硎厩髢蓚€數的平均數。

（1）因為2。（遇）中附（）沒有被重新定義，所以其意義與

四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。

2c4,24—22,11

3°5=（六）一2萬-2下

20（-0-）=20-=（2+-）*2=1-?

、35，15'15，30

31

（2）因為在"O^Ox中沒其

46

按通常的規(guī)則從左至右進行運算。

:有重新規(guī)定運算次序，所以應

3cl/3k.11

—0-=（一+—）~2n=—>

464624

3111

-0-0x=-0x=

4624

由（（+x）+2=；,解得X=￡

例5規(guī)定：4④2=4+44

2④3=2+22+222,

194=1+11+111+1111o

求3④5二?

分析與解：從己知的三式來看，運算“十”表示幾個數相加，每個加數各數位上的數都是符號前面

的那個數，而符號后面的數是幾，就表示幾個數之和，其中第1個數是1位數，第2個數是2位數，第3

個數是3位數……按此規(guī)定，得

3十5=3+33+333+3333+33333=37035。

從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。

例6對于任意自然數，定義：n!=1X2X…Xno

例如4!=lX2X3X4o那么1!+2!+3!+-+100!的個位數字是幾？

分析與解：1!=1,

2!=1X2=2,

3!=1X2X3=6,

4!=1X2X3X4=24,

5!=1X2X3X4X5=120,

6!=1X2X3X4X5X6=720,

由此可推知，從5!開始，以后6!,7!,8!,100!的末位數字都是0。

所以，要求1!+2!+3!+…+100!的個位數字，只要把1!至4!的個位數字相加便可求得：1+2+6+4=13。

所求的個位數字是3。

例7如果m,n表示兩個數，那么規(guī)定：mQn=4n-(m+n)+2。

求30(406)Q12的值。

解：30(406)Q12

=30[4X6-(4+6)4-21012

=3019012

=[4X19-(3+19)4-2]Q12

=65012

=4X12-(65+12)4-2

二9.5o

練習1

1.對于任意的兩個數a和b,規(guī)定a*b=3Xa-b+3。求8*9的值。

2.已知a一b表示a除以3的余數再乘以b,求13Q4的值。

3.已知a十b表示(a-b)4-(a+b),試計算：(5十3)十(10十6)。

4.規(guī)定a?b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8?2的值。

5.假定mOn表示m的3倍減去n的2倍，即mOn=3m-2no

(1)計算：(jog)?令

(2)已知(4<>1)=7,求x的值。

6.規(guī)定：IV=1,

2V=1xl,

3V=1X-lxA

23

4V=1X-XAXA

234

(1)求(7V)+(W)的值;

(2)已知火=/，求x的值。

7.對于任意的兩個數P,Q,規(guī)定P☆Q=(PXQ)+4。例如：2☆8=(2X8)+4。已知(8☆5)

=10,求x的值。

8.定義：aAb=ab-3b,ag)b=4a-b/a。計算：(4A3)△(20b)。

9.已知：203=2X3X4,

4Q5=4X5X6X7X8,...

求(404)4-(303)的值。

第2講定義新運算(二)

例1已知aXb=(a+b)-(a-b),求9X2的值。

分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9,b=2代入新運算式，即可算出結果。但是，根據四則運算

的法則，我們可以先把新運算“※”化簡，再求結果。

aXb=(a+b)-(a-b)

=a+b-a+b=2bo

所以，9派2=2義2=4。

由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質、法則的前

提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。

例2定義運算：aOb=3a+5ab+kb,

其中a,b為任意兩個數，k為常數。比如：2O7=3X2+5X2X7+7k。

(1)已知5。2=73。問：8。5與5。8的值相等嗎？

(2)當k取什么值時，對于任何不同的數a,b,都有a€>b=bOa,

即新運算符合交換律？

分析與解：(1)首先應當確定新運算中的常數k。因為5O2=3X5+5X5X2+kX2

=65+2k,

所以由已知502=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)+2=4。定義的新運算是：aG>b=3a+5ab+4bo

805=3X8+5X8X5+4X5=244,

508=3X5+5X5X8+4X8=247,5

因為244W247,所以8。5/5。8。

(2)要使aOb=bOa,由新運算的定義，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,

3a+kb-3b-ka=0,

3X(a-b)-k(a-b)=0,

(3-k)(a-b)=0o

對于兩個任意數a,b,要使上式成立，必有3-k=0,即k=3。

當新運算是aG>b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即a?b=bOao

例3對兩個自然數a和b,它們的最小公倍數與最大公約數的差，定義為a☆b,即a^b=[a,b]-(a,

b)?

比如，10和14的最小公倍數是70,最大公約數是2,那么]()☆14=70-2=68。

(1)求■☆21的值;

(2)已知6"A"x=27,求x的值。

分析與解:(1)12☆21=[12,21]-(12,21)=84-3=81；

(2)因為定義的新運算“☆”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數代入表達式求x,只能用推理

的方法。

因為6^"x=[6,x]-(6,x)=27,而6與x的最大公約數(6,x)只能是1,2,3,6。所以6與x的

最小公倍數[6,x]只能是28,29,30,33。這四個數中只有30是6的倍數，所以6與x的最小公倍

數和最大公約數分別是30和3。因為aXb公a,b]X(a,b),

所以6Xx=30X3,由此求得x=15。

例4a表示順時針旋轉90°,b表示順時針旋轉180°,c表示逆時針旋轉90°,d表示不轉。定義

運算表示“接著做”。求：a?b；bOc；c?ao

分析與解：a?b表示先順時針轉90°,再順時針轉180°,等于順時針轉270°,也等于逆時針轉

90°,所以a?b=Co

b@c表示先順時針轉180°,再逆時針轉90°,等于順時針轉90°,所以b?c=a。

c?a表示先逆時針轉90°,再順時針轉90°,等于沒轉動，所以c@a=d。

對于a,b,c,d四種運動，可以做一個關于“◎”的運算表(見下表)。比如c?b,由c所在的行

和b所在的列，交叉處a就是c?b的結果。因為運算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也

可得到相同的結果。

da.bcd

例5對任意的數a,b,定義：f(a)=2a+l,g(b)=bXb。

(1)求f(5)-g(3)的值；

(2)求f(g(2))+g(f(2))的值；

(3)己知f(x+1)=21,求x的值。

解：(1)f(5)-g(3)=(2X5+1)-(3X3)=2；

(2)f(g(2))+g(f(2))

=f(2X2)+g(2X2+1)

=f(4)+g(5)=(2X4+1)+(5X5)=34；

(3)f(x+1)=2X(x+1)+l=2x+3,

由f(x+1)=21,知2x+3=21,解得x=9。

練習2*n2.定義兩種運算“※”和如下：

A,B期幃教。

BA

(1)淤屏⑹髭鼓鏘，蝦靛堿於

(2)*(硼).(2舶).

aXb表示a,b兩數中較小的數的3倍，

@△13表示a,b兩數中較大的數的2.5倍。

比如：4^5=4X3=12,4A5=5X2.5=12.5O

計算：[(0.6X0.5)+(0.3A0.8)]+[(1.2X0.7)—(0.64A0.2)]。

3.己知一植算“力使下列算赧立：

3—4=16,7?2=30,9用1=47,2闞0=94。35用13的值。

4.設m,n是任意的自然數，A是常數，定義運算(AXm-n)4-4,

并且2。3=0.75。試確定常數A,并計算：(507)X(202)+(302)。

5.用a,b,c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內所作的旋轉運動:

1

2A3

a表示順時針旋轉240°,

b表示順時針旋轉120°,

c表示不旋轉。

運算“V”表示“接著做”。試以a,b,C為運算對象做運算表。

6.對任意兩個不同的自然數a和b,較大的數除以較小的數，余數記為a一b。比如7Q3=1,5一29=4,

4一20=0。

(1)計算：1998Q2000,(5Q19)Q19,5Q(1Q95)；

(2)已知11一x=4,x小于20,求x的值。

7.對于任意的自然數a,b,定義：f(a)=aXa-l,g(b)=b+2+1。

(1)求f(g(6))-g(f(3))的值；

(2)已知f(g(x))=8,求x的值。

第3講數的整除性(一)

三、四年級已經學習了能被2,3,5和4,8,9,6以及11整除的數的特征，也學習了一些整除的性

質。這兩講我們系統(tǒng)地復習一下數的整除性質，并利用這些性質解答一些問題。

數的整除性質主要有：

(1)如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數能被丙數整除。

(2)如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差都能被這個自然數整除。

(3)如果一個數能分別被幾個兩兩互質的自然數整除，那么這個數能被這幾個兩兩互質的自然數的

乘積整除。

(4)如果一個質數能整除兩個自然數的乘積，那么這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個。

(5)幾個數相乘，如果其中一個因數能被某數整除，那么乘積也能被這個數整除。

靈活運用以上整除性質，能解決許多有關整除的問題。

例1在口里填上適當的數字，使得七位數口7358口口能分別被9,25和8整除。

分析與解：分別由能被9,25和8整除的數的特征，很難推斷出這個七位數。因為9,25,8兩兩互

質，由整除的性質(3)知，七位數能被9X25X8=1800整除，所以七位數的個位，十位都是0；再由能

被9整除的數的特征，推知首位數應填4。這個七位數是4735800。

例2由2000個1組成的數111-11能否被41和271這兩個質數整除？

分析與解:因為41X271=11111,所以由每5個1組成的數111H能被41和271整除。按“11111”

把2000個1每五位分成一節(jié)，2000+5=400,就有400節(jié)，

\1111,1111,-■?llll/o

400個11111

因為2000個1組成的數11…n能被U111整除,而11H1能被41和271整除,所以根據整除的性

質(1)可知，由2000個1組成的數111…11能被41和271整除。

例3現(xiàn)有四個數：76550,76551,76552,76554?能不能從中找出兩個數，使它們的乘積能被12整

除？

分析與解：根據有關整除的性質，先把12分成兩數之積：12=12X1=6X2=3X4。

要從己知的四個數中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：

(1)找出一個數能被12整除，這個數與其它三個數中的任何一個的乘積都能被12整除；

(2)找出一個數能被6整除，另一個數能被2整除，那么它們的積就能被12整除；

(3)找出一個數能被4整除，另一個數能被3整除，那么它們的積能被12整除。

容易判斷，這四個數都不能被12整除，所以第(1)種情況不存在。

對于第(2)種情況，四個數中能被6整除的只有76554,而76550,76552是偶數，所以可以選76554

和76550,76554和76552。

對于第(3)種情況，四個數中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選

76552和76551,76552和76554。

綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數的乘積能被12整除的有以下三組數：76550和76554,76552

和76554,76551和76552。

例4在所有五位數中，各位數字之和等于43且能夠被H整除的數有哪些？

分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數有兩個要求：

①各數位上的數字之和等于43；

②能被11整除。

因為能被11整除的五位數很多，而各數位上的數字之和等于43的五位數較少，所以應選擇①為突破

口。有兩種情況：

（1）五位數由一個7和四個9組成；

（2）五位數由兩個8和三個9組成。

上面兩種情況中的五位數能不能被11整除？9,8,7如何擺放呢？根據被11整除的數的特征，如果

奇數位數字之和是27,偶數位數字之和是16,那么差是11,就能被11整除。滿足這些要求的五位數是：

97999,99979,98989。

例5能不能將從1到10的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？

分析與解：10個數排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。

假設題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數一組共有5組，每組的兩數之和都能被3整

除，推知1?10的和也應能被3整除。實際上，1?10的和等于55,不能被3整除。這個矛盾說明假設不

成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。

練習3

1.已知4205和2813都是29的倍數，1392和7018是不是29的倍數？

2.如果兩個數的和是64,這兩個數的積可以整除4875,那么這兩個數的差是多少？

3.173口是個四位數。數學老師說：“我在這個口中先后填入3個數字，所得到的3個四位數，依次

可以被9,11,6整除?！眴枺簲祵W老師先后填入的3個數字之和是多少？

4耶卜6六利牌微一怯翻嬴其中不同的字母代表1~6中不同的數字。要求浦瞅2整除，

翩m嬴鼬戳砒的倍數時是6的倍數。

這樣的六位數有幾個?各是多加5.紅光小學五年級二班期末教學考試平：

t粉是崎總分是旃，這個班有多少名學生？

6.能不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？

第4講奇偶性（一）

整數按照能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數叫偶數，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,…

（2）不能被2整除的自然數叫奇數，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

整數由小到大排列，奇、偶數是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數大小相差1,所以肯定是一奇一偶。因為偶數

能被2整除，所以偶數可以表示為2n的形式，其中n為整數；因為奇數不能被2整除，所以奇數可以表

示為2n+l的形式，其中n為整數。

每一個整數不是奇數就是偶數，這個屬性叫做這個數的奇偶性。奇偶數有如下一些重要性質：

（1）兩個奇偶性相同的數的和（或差）一定是偶數；兩個奇偶性不同的數的和（或差）一定是奇數。

反過來，兩個數的和（或差）是偶數，這兩個數奇偶性相同；兩個數的和（或差）是奇數，這兩個數肯定

是一奇一偶。

（2）奇數個奇數的和（或差）是奇數；偶數個奇數的和（或差）是偶數。任意多個偶數的和（或差）

是偶數。

（3）兩個奇數的乘積是奇數，一個奇數與一個偶數的乘積一定是偶數。

（4）若干個數相乘，如果其中有一個因數是偶數，那么積必是偶數；如果所有因數都是奇數，那么

積就是奇數。反過來，如果若干個數的積是偶數，那么因數中至少有一個是偶數；如果若干個數的積是奇

數，那么所有的因數都是奇數。

（5）在能整除的情況下，偶數除以奇數得偶數；偶數除以偶數可能得偶數，也可能得奇數。奇數肯

定不能被偶數整除。

(6)偶數的平方能被4整除；奇數的平方除以4的余數是1。

因為(2n)2=4n2=4Xn2,所以(2n),能被4整除；

因為(2n+l)Mn2+4n+l=4X(n2+n)+1,所以(2n+l),除以4余1。

(7)相鄰兩個自然數的乘積必是偶數，其和必是奇數。

(8)如果一個整數有奇數個約數(包括1和這個數本身)，那么這個數一定是平方數；如果一個整

數有偶數個約數，那么這個數一定不是平方數。

整數的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關系也沒有，例

如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數問題，便可利用整數的奇偶性加

以解決。

例1下式的和是奇數還是偶數？

1+2+3+4+…+1997+1998。

分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判

斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據奇偶數的性質(2),和的奇偶性只與加數中奇數的個數有

關，與加數中的偶數無關。1?1998中共有999個奇數，999是奇數，奇數個奇數之和是奇數。所以，本

題要求的和是奇數。

例2能否在下式的口中填上“+”或，使得等式成立？

1口2口3口4口5口6口7口8口9=66。

分析與解：等號左端共有9個數參加加、減運算，其中有5個奇數，4個偶數。5個奇數的和或差仍

是奇數，4個偶數的和或差仍是偶數，因為“奇數+偶數=奇數"，所以題目的要求做不到。

例3任意給出一個五位數，將組成這個五位數的5個數碼的順序任意改變，得到一個新的五位數。那

么，這兩個五位數的和能不能等于99999?

分析與解：假設這兩個五位數的和等于99999,則有下式：

□□□□□

+□□□□□

99999

其中組成兩個加數的5個數碼完全相同。因為兩個個位數相加，和不會大于9+9=18,豎式中和的個

位數是9,所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數字

的和也都等于9。所以組成兩個加數的10個數碼之和等于9+9+9+9+9=45,是奇數。

另一方面，因為組成兩個加數的5個數碼完全相同，所以組成兩個加數的10個數碼之和，等于組成

第一個加數的5個數碼之和的2倍，是偶數。

奇數二偶數，矛盾的產生在于假設這兩個五位數的和等于99999,所以假設不成立，即這兩個數的和

不能等于99999o

例4在一次校友聚會上，久別重逢的老同學互相頻頻握手。請問：握過奇數次手的人數是奇數還是偶

數？請說明理由。

分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人

握手次數的和是2。所以一群人握手，不論人數是奇數還是偶數，握手的總次數一定是偶數。

把聚會的人分成兩類：A類是握手次數是偶數的人，B類是握手次數是奇數的人。

A類中每人握手的次數都是偶數，所以A類人握手的總次數也是偶數。又因為所有人握手的總次數也

是偶數，偶數-偶數=偶數，所以B類人握手的總次數也是偶數。

握奇數次手的那部分人即B類人的人數是奇數還是偶數呢？如果是奇數，那么因為“奇數個奇數之和

是奇數”，所以得到B類人握手的總次數是奇數，與前面得到的結論矛盾，所以B類人即握過奇數次手的

人數是偶數。

例5五(2)班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給

3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的總和能不能確定是奇數還是偶

數？

分析與解：本題要求出這部分學生的總成績是不可能的，所以應從每個人得分的情況入手分析。因為

每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數，共有50道題，50個奇數相加減，結果是偶數，所

以每個人的得分都是偶數。因為任意個偶數之和是偶數，所以這部分學生的總分必是偶數。

練習4

1.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數，使這5個數的和等于22?

2.任意交換一個三位數的數字,得一個新的三位數,一位同學將原三位數與新的三位數相加，和是999。

這位同學的計算有沒有錯？

3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數（允許有相同數），甲將這七個整數以任意的順序填在下圖

第一行的方格內，乙將這七個整數以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個

數的差（大數減小數），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數，則甲勝；若積是奇數，則乙勝。

請說明誰將獲勝。

4.某班學生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。

問：寫了奇數封信的畢業(yè)生人數是奇數還是偶數？

5.A市舉辦五年級小學生“春暉杯”數學競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道

加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學生參賽，那么他們的總得分是奇數還

是偶數？

6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數？試講出理

由。

7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學校各有1999名學生包場看這兩場電

影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學校的學生，為什么？

第5講質數與合數

自然數按照能被多少個不同的自然數整除可以分為三類：

第一類：只能被一個自然數整除的自然數，這類數只有一個，就是1。

第二類：只能被兩個不同的自然數整除的自然數。因為任何自然數都能被1和它本身整除，所以這類

自然數的特征是大于1,且只能被1和它本身整除。這類自然數叫質數（或素數）。例如，2,3,5,7,…

第三類：能被兩個以上的自然數整除的自然數。這類自然數的特征是大于1,除了能被1和它本身整

除外，還能被其它一些自然數整除。這類自然數叫合數。例如，4,6,8,9,15,-

上面的分類方法將自然數分為質數、合數和1,1既不是質數也不是合數。

例11?100這100個自然數中有哪些是質數？

分析與解：先把前100個自然數寫出來，得下表：

123I5\7XAW

11比13NKM17用19圾

漢羽23%即26農2S293Q

31雙3SM36373S判W

414243M購袋47的49徽

氏應5354565657心59眼

61族部微年員67瓶破陽

71雙73MK代N/79購

對股83租題淤於赧89班

雙92更加紙克97的煞熟

1既不是質數也不是合數。

2是質數，留下來，后面凡能被2整除的數都是合數，都劃去；

3是質數，留下來，后面凡能被3整除的數都是合數，都劃去；

類似地，把5留下來，后面凡是5的倍數的數都劃去；

把7留下來，后面凡是7的倍數的數都劃去。

經過以上的篩選，劃去的都是合數，余下26個數，除1外，剩下的25個都是質數。這樣，我們便得

到了100以內的質數表：

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,

43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

這些質數同學們應當熟記！

細心的同學可能會注意到，以上只劃到7的倍數，為什么不繼續(xù)劃去11,13,…的倍數呢？事實上，

這些倍數已包含在已劃去的倍數中。例如，100以內H的倍數應該是

11XAW100(其中A為整數)，

/100,,

A4---=9.09o

顯然，A只能取2,3,4,5,6,7,8,9。因為4=2?,6=2X3,8=23,9=32,所以A必是2,3,5,7

之一的倍數。由此推知，11的倍數已全部包含在2,3,5,7的倍數中，已在前面劃去了。

要判斷一個數N是質數還是合數，根據合數的定義，只要用從小到大的自然數2,3,4,5,6,7,8,…，

NT去除N,其中只要有一個自然數能整除N,N就是合數，否則就是質數。但這樣太麻煩，因為除數太多。

能不能使試除的數少一點呢？由例1知，只要用從小到大的質數去除N就可以了。例2給出的判別方法，

可以使試除的數進一步減少。

例2判斷269,437兩個數是合數還是質數。

分析與解：對于一個不太大的數N,要判斷它是質數還是合數，可以先找出一個大于N且最接近N的

平方數K?,再寫出K以內的所有質數。如果這些質數都不能整除N,那么N是質數；如果這些質數中有一

個能整除N,那么N是合數。

因為269C17J289。17以內質數有2,3,5,7,11,13。根據能被某些數整除的數的特征，個位數

是9,所以269不能被2,5整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。經逐一判斷或試除知，這6個質數

都不能整除269,所以269是質數。

因為437<21?=441。21以內的質數有2,3,5,7,11,13,17,19?容易判斷437不能被2,3,5,

7,11整除，用13,17,19試除437,得到437+19=23,所以437是合數。

對比一下幾種判別質數與合數的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269,用2?268中所有的

數試除，要除267個數；用2?268中的質數試除，要除41個數；而用例2的方法，只要除6個數。

例3判斷數niinzniui是質數還是合數？

分析與解：按照例2的方法判別這個13位數是質數還是合數，當然是很麻煩的事，能不能想出別的

辦法呢？根據合數的意義，如果一個數能夠寫成兩個大于1的整數的乘積，那么這個數是合數。

根據整數的意義，這個13位數可以寫成：

1111112111111

=1111111000000+1111111

=nnnix(1000000+1)

=lllllllX1000001o

由上式知，niiii和loooooi都能整除nun都inn,所以1111112111111是合數。

這道例題又給我們提供了一種判別一個數是質數還是合數的方法。

例4判定298+1和298+3是質數還是合數？

分析與解：這道題要判別的數很大，不能直接用例1、例2的方法。我們在四年級學過址的個位數的

變化規(guī)律，以及址除以某自然數的余數的變化規(guī)律。才的個位數隨著n的從小到大，按照2,4,8,6每4

個一組循環(huán)出現(xiàn)，98+4=24……2,所以2犯的個位數是4,(298+1)的個位數是5,能被5整除,說明(298+1)

是合數。

(298+3)是奇數，不能被2整除;2犯不能被3整除，所以(298+3)也不能被3整除;(298+1)能被

5整除，(298+3)比(298+1)大2,所以(298+3)不能被5整除。再判斷(298+3)能否被7整除。首先看

看2n+7的余數的變化規(guī)律：

%,一

2旗以附籟|2|4|1|2|4|17

因為98+3的余數是2,從上表可知2室除以7的余數是4,(298+3)除以7的余數是4+3=7,7能被7

整除，即(2犯+3)能被7整除，所以(298+3)是合數。

例5已知A是質數，(A+10)和(A+14)也是質數，求質數A。

分析與解：從最小的質數開始試算。

A=2時，A+10=12,12是合數不是質數，所以AW2。

A=3時，A+10=13,是質數；A+14=17也是質數，所以A等于3是所求的質數。

A除了等于3外，還可以是別的質數嗎？因為質數有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它

方法。

A,(A+l),(A+2)除以3的余數各不相同，而(A+1)與(A+10)除以3的余數相同，(A+2)與

(A+14)除以3的余數相同，所以A,(A+10),(A+14)除以3的余數各不相同。因為任何自然數除以

3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A,(A+10),(A+14)中必有一個能被3整除。能被3整除的

質數只有3,因為(A+10),(A+14)都大于3,所以A=3。也就是說，本題唯一的解是A=3。

練習5

1.現(xiàn)有1,3,5,7四個數字。

(1)用它們可以組成哪些兩位數的質數(數字可以重復使用)？

(2)用它們可以組成哪些各位數字不相同的三位質數？

2.a,b,c都是質數，a>b>c,且aXb+c=88,求a,b,c。

3.A是一個質數，而且A+6,A+8,A+12,A+14都是質數。試求出所有滿足要求的質數A。

4有三個質數，它們的隹擻之和是該，求這三個質數。

5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數之和必是合數。

6.判斷漕+3“是不是質數。

7.把一個一位數的質數a寫在另一個兩位數的質數b后邊，得到一個三位數，這個三位數是a的87

倍，求a和b。

第6講分解質因數

自然數中任何一個合數都可以表示成若干個質因數乘積的形式，如果不考慮因數的順序，那么這個表

示形式是唯一的。把合數表示為質因數乘積的形式叫做分解質因數。

例如，60=22X3X5,1998=2X33X37?

例1一個正方體的體積是13824厘米3,它的表面積是多少？

分析與解：正方體的體積是“棱長義棱長X棱長”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824厘米3,若能把

13824寫成三個相同的數相乘，則可求出棱長。為此，我們先將13824分解質因數：

13824=13824=2X2X-X2X3X3X3=29X3\

9小2

把這些因數分成三組，使每組因數之積相等，得13824=(23X3)X(23X3)X(23X3),

于是，得到棱長是2，義3=24(厘米)。所求表面積是24X24X6=3456(厘米？)。

例2學區(qū)舉行團體操表演，有1430名學生參加，分成人數相等的若干隊，要求每隊人數在100至200

之間，共有幾種分法？

分析與解：按題意，每隊人數X隊數=1430,每隊人數在100至200之間，所以問題相當于求1430有

多少個在100至200之間的約數。為此，先把1430分解質因數，得1430=2X5X11X13。

從這四個質數中選若干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數，其余的質因數之積便是隊數。

2X5X11=110,13；

2X5X13=130,11；

11X13=143,2X5=10。

所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。

例31X2X3X…X40能否被90909整除？

分析與解：首先將90909分解質因數，得90909=33X7X13X37。

因為3r=27),7,13,37都在1?40中，所以1X2X3X…X40能被90909整除。

例4求72有多少個不同的約數。

分析與解：將72分解質因數得到72=23X3?。根據72的約數含有2和3的個數，可將72的約數列表

如下：

不含2含1個2含2個2含3個2

不含31248

含1個3361224

含2個39183672

上表中，第三、四行的數字分別是第二行對應數字乘以3和32,第三、四、五列的數字分別是第二列

對應數字乘以2,2?和2、對比72=2'義32,72的任何一個約數至多有兩個不同質因數：2和3。因為72有

3個質因數2,所以在某一個約數的質因數中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4

種情況；同理，因為72有兩個質因數3,所以3可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。

根據乘法原理，72的不同約數共有4X3=12(個)。

從例4可以歸納出求自然數N的所有不同約數的個數的方法：一個大于1的自然數N的約數個數，等

于它的質因數分解式中每個質因數的個數加1的連乘積。

例如，2352=24X3X72,因為2352的質因數分解式中有4個2,1個3,2個7,所以2352的不同約數

有

(4+1)X(1+1)X(2+1)=30(個)；

又如，9450=2X33X52X7,所以9450的不同的約數有

(1+1)X(3+1)X(2+1)X(1+1)=48(個)。

例5試求不大于50的所有約數個數為6的自然數。

分析與解：這是求一個數的約數個數的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。

因為這個數有六個約數，6=5+1=(2+1)X(1+1),所以，當這個數只有一個質因數a時，這個數是

a5；當這個數有兩個質因數a和b時，這個數是a?Xb。因為這個數不大于50,所以對于a',只有a=2,即

25=32；對于a2Xb,經試算得到，22X3=12,22X5=20,22X7=28,22X11=44,32X2=18,32X5=45,52

X2=50o

所以滿足題意的數有八個：32,12,20,28,44,18,45,50?

練習6

L一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米②，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個

長方體的體積是多少立方分米？

2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693,4年前他們的年齡都是質數。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？

3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數在5至20之間，那么有多少種分法？

4.小英參加小學數學競賽，她說：“我得的成績和我的歲數以及我得的名次乘起來是3916,滿分是

100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？

5.舉例回答下面各問題：(1)兩個質數的和仍是質數嗎？

(2)兩個質數的積能是質數嗎？

(3)兩個合數的和仍是合數嗎？

(4)兩個合數的差(大數減小數)仍是合數嗎？

(5)一個質數與一個合數的和是質數還是合數？

6.求不大于100的約數最多的自然數。

7.同學們去射箭，規(guī)定每射一箭得到的環(huán)數或者是“0”(脫靶)或者是不超過10的自然數。甲、乙

兩同學各射5箭，每人得到的總環(huán)數之積剛好都是1764,但是甲的總環(huán)數比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總

環(huán)數。

第7講最大公約數與最小公倍數(一)

如果一個自然數a能被自然數b整除，那么稱a為b的倍數，b為a的約數。

如果一個自然數同時是若干個自然數的約數，那么稱這個自然數是這若干個自然數的公約數。在所有

公約數中最大的一個公約數，稱為這若干個自然數的最大公約數。自然數a1，a2,a”的最大公約數通

常用符號(a,,a2,--aQ表示，例如，(8,12)=4,(6,9,15)=3。

如果一個自然數同時是若干個自然數的倍數，那么稱這個自然數是這若干個自然數的公倍數。在所有

公倍數中最小的一個公倍數，稱為這若干個自然數的最小公倍數。自然數a“出,…，a“的最小公倍數通

常用符號向，a2,a0]表示，例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。

常用的求最大公約數和最小公倍數的方法是分解質因數法和短除法。

例1用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶

葉分別按整克數裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？

分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相

等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數應相同，即分裝的袋數應是144,

180,240的公約數。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數應盡量多，應是144,180,240的最大

公約數。

1144180240

2|7290120

3卜64560

121520

所以（144,