2024-2025學年上海顧村中學高二下學期期中數學試題（2025.04）（含詳解）

顧村中學2024-2025學年第二學期高二年級數學期中2025.4一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.直線的傾斜角的大小為.【答案】【解析】根據其斜率為，設其傾斜角大小為，則，因為，則.故答案為：.2.直線和直線間的距離是.【答案】【解析】易知直線和直線平行，這兩條直線間的距離為.故答案為：.3.若圓的方程為，則該圓的半徑為.【答案】【解析】，化簡得.則其半徑為.故答案為：.4.橢圓的焦距為.【答案】【解析】，所以，所以橢圓的焦距為.故答案為：.5.拋物線的準線方程為.【答案】【解析】拋物線的準線方程為；故填.6.雙曲線的漸近線方程是.【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：7.已知數列的前項和為，則.【答案】【解析】因為數列的前項和為，則.故答案為：.8.已知數列滿足，則數列的前項和為取最小值時，的值為.【答案】4【解析】因為，則數列為公差為2等差數列，則，則當時，取得最小值.故答案為：.9.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則實數的值為.【答案】1【解析】雙曲線，則，所以雙曲線的焦點在軸上，所以，又，故解得．故答案為：1．10.設橢圓的焦距為，且，則該橢圓的離心率.【答案】【解析】因為橢圓的焦距為，且，即，等式同時除以可得，即，因為，解得.故答案為：11.已知點A的坐標為（﹣1，0），點B是圓心為C的圓（x﹣1）2+y2=16上一動點，線段AB的垂直平分線交BC與點M，則動點M的軌跡方程為.【答案】=1．【解析】由題意得，圓心C（1，0），半徑等于4，連接MA，則|MA|=|MB|，∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，故點M的軌跡是：以A、C為焦點的橢圓，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，∴橢圓的方程為=1．故答案為=1．12.已知拋物線：，圓：，點M的坐標為，P、Q分別為、上的動點，且滿足，則點P的橫坐標的取值范圍是.【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，設點，有，依題意，，當且僅當三點共線時取等號，而，即有，于是，即，整理得，解得，所以點P的橫坐標的取值范圍是.故答案為：二、選擇題(本大題共4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分).13.下列拋物線中，焦點坐標為的是（）.A.B.C. D.【答案】C【解析】對于拋物線，，可得，故，所以，拋物線的焦點坐標為，同理可知，拋物線的焦點坐標為，拋物線的焦點坐標為，拋物線的焦點坐標為.故選：C.14.下列四個橢圓中，形狀最扁的是（）.A. B.C.D.【答案】A【解析】由，根據選項中的橢圓的方程，可得的值滿足，因為橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，所以這四個橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁．故選：A.15.已知圓，圓分別是圓、上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（）.A. B.1 C. D.【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，作圓關于軸對稱的圓，其圓心因此，當且僅當是線段與軸的交點時取等號，所以的最小值為,故選：C16.國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線、（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】設內層橢圓方程為，因為內、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設成x2設切線方程為，與聯立得，，由，化簡得：，設切線方程為，同理可求得，所以，，所以，因此.故選：B.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分).17.已知等差數列{an}的前三項依次為a，4，3a，前k項和Sk=2550，求a及k.【答案】a=2，k=50【解析】設等差數列{an}的公差為d，則由題意得，解得，，所以，所以或（舍），綜上所述：，.18.已知點，直線.（1）求經過點P且與直線l平行的直線的方程；（2）求經過點P且與直線l垂直的直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）設經過點P且與直線l平行的直線方程為，將代入得，解得，故經過點P且與直線l平行的直線方程為；（2）設經過點P且與直線l垂直的直線方程為，將代入得，解得，故經過點P且與直線l垂直的直線方程為.19.已知直線與橢圓有且只有一個公共點.（1）求橢圓方程；（2）是否存在實數，使橢圓上存在不同兩點、關于直線對稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】(1)聯立，消去得直線與橢圓有且只有一個公共點，，解得，即橢圓的方程為.(2)假設存在實數，使橢圓上存在不同兩點、關于直線對稱，設直線的方程為，設點、，聯立，消去得，則，解得，由韋達定理得，，，，存在實數，使橢圓上存在不同兩點、關于直線對稱，且的取值范圍是.20.已知拋物線，，直線交拋物線于點、，交拋物線于點、，其中點、位于第一象限．（1）若點到拋物線焦點的距離為2，求點的坐標；（2）若點的坐標為，且線段的中點在軸上，求原點到直線的距離；（3）若，求與的面積之比．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)拋物線的準線為，因為點到拋物線焦點的距離為2，所以點到拋物線準線的距離為2，所以點的橫坐標為1，代入方程，解得，因為點位于第一象限，故點的坐標為.(2)設，則線段AC的中點坐標為因為線段的中點在軸上，所以，故，代入方程得，解得，所以，所以直線的方程為：，整理得：所以原點O到直線l的距離(3)由題意，直線的斜率顯然存在且，設直線的方程為，設由，得，由，得：，因為直線與拋物線交于點、，所以，即，且，，同理，，，所以，，由①，②得：，代入③得，代入②得設原點到直線的距離為，所以.21.已知雙曲線的離心率為．（1）若，且雙曲線經過點，求雙曲線的方程；（2）若，雙曲線的左、右焦點分別為，焦點到雙曲線的漸近線的距離為，點在第一象限且在雙曲線上，若=8，求的值；（3）設圓，．若動直線與圓相切，且與雙曲線交于時，總有，求雙曲線離心率的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】(1)由，得，又得，因為雙曲線經過點，有，所以，所以雙曲線方程為．(2)由