2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項(xiàng)練（13）空間幾何體的表面積和體積（新高考地區(qū)專用）解析版

2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項(xiàng)練（13）空間幾何體的表面積和體積一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.不選、多選、錯(cuò)選均不得分.1．已知圓錐的底面周長(zhǎng)為，其側(cè)面積與半徑為的球的表面積相等，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得．因?yàn)榘霃綖榈那虻谋砻娣e為，即，解得，則圓錐的高．所以該圓錐的體積．故選：A2．四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為，則該四棱臺(tái)的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】過(guò)，由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知：是該正四棱臺(tái)的高，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，所以，由勾股定理可知：，所以該四棱臺(tái)的體積為，故選：C3．陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓錐的母線長(zhǎng)為，所以這個(gè)陀螺的表面積是.故選：C4．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為、，它的母線長(zhǎng)為，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圓臺(tái)的軸截面，則四邊形為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為、，如下圖所示：在梯形內(nèi)，，，，則，故四邊形為矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，該圓臺(tái)的體積為.故選：D.5．已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，下底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱與底面所成角的正切值為2，則該正三棱臺(tái)的體積為（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，在平面上的射影為，則為的中心，為的中心，即為棱與底面所成的角，所以，由于，故，所以棱臺(tái)的高，又上、下底面的面積分別為和，所以棱臺(tái)的體積．故選：C.6．一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內(nèi)，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，作出其軸截面，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由，則，所以，因?yàn)?，令，則，易知時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，所以.故選：C.7．若在長(zhǎng)方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】如圖：取與的交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則三棱錐即為四面體與四面體的公共部分.因?yàn)?又，所以，所以.過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)椋矫?，所以平?所以為到平面的距離，其值為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為：.所以.故選：C8．三棱錐的底面是等邊三角形，，二面角的大小為，若三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，三棱錐外接球的半徑為R，則，解得，設(shè)的外心為，該點(diǎn)是棱AC的中點(diǎn)，設(shè)等邊的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面APC的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面ABC的垂線，兩垂線交于點(diǎn)O，即為三棱錐外接球的球心．因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，于是，，，因?yàn)?，即，解得，即，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面ABC的距離最大，其最大距離為，所以三棱錐體積的最大值等于.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等 D.球的體積是圓錐體積的兩倍【答案】ACD【解析】對(duì)于A，圓柱的底面直徑和高都等于，圓柱的側(cè)面積故A正確；對(duì)于B，圓錐的底面直徑和高等于，圓錐的側(cè)面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓柱的側(cè)面積為，球的表面積，即圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；對(duì)于D，球的體積為，圓錐的體積為，即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確．故選：ACD．10．如圖所示，，，是圓錐底面圓周上的三個(gè)點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C.平面 D.三棱錐與三棱錐公共部分的體積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭堑冗呏羞吷系母?，所以，因?yàn)?，，分別是，的中點(diǎn)，所以，顯然，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槿切问沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，三角形為等腰三角形，是的中點(diǎn)，所以，而，所以，這表明與不垂直，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，則由對(duì)稱性可知必定交于點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為的重心，所以，由上易知，圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以圓錐的高為，所以，所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.11．如圖在正四棱柱中，底面正方形邊長(zhǎng)為，，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.已知直線為平面和平面ABCD的交線，則平面內(nèi)存在直線與平行B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角最大時(shí)，D.的最小值為【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面和平面的交線，而與平面相交，則平面內(nèi)不存在直線與平行，即不存在直線與直線平行，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，而三角形的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故正確;選項(xiàng)C，記到平面到距離為，由選項(xiàng)B可知，為定值，記直線與平面所成角為，則，又正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最大時(shí),最大，從而即為最小時(shí)，此時(shí)，在中，,所以可得，故正確;選項(xiàng)，作平面與平面的展開(kāi)圖如圖所示，則的最小值即為展開(kāi)圖中線段的長(zhǎng)，中，，所以，從而中，由余弦定理可知，，從而的最小值為，故錯(cuò)誤，故選:.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個(gè)玻璃球（球的半徑與圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則玻璃球的半徑為_(kāi)________cm【答案】15【解析】由題意玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來(lái)的體積.設(shè)玻璃球的半徑為，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為則玻璃球的體積為，圓柱的底面面積為若放入一個(gè)玻璃球后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則此時(shí)水面高度為所以，解得故答案為：1513.與圓臺(tái)上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_________．【答案】##【解析】由題意，畫出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.故答案為：14.已知圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積為_(kāi)__