《直線的傾斜角與斜率、平行與垂直的應用》教學設計

13/133.1直線的傾斜角與斜率3.1.3直線的傾斜角與斜率、平行與垂直的應用（梁波）一、教學目標（一）核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課學習，加深數形結合思想的應用，靈活的運用斜率公式，定義，與其它知識融合，提升數學思維和數學能力．（二）學習目標 1．深化傾斜角和斜率的關系變化． 2．靈活運用兩點連線的斜率公式，提升數形結合思想． 3．結合其它函數，三角知識，提高數學能力．（三）學習重點 1．數形結合的思想和方法． 2．公式的熟練應用． 3．綜合性問題的解題途徑和策略的學習．（四）學習難點 1．數學結合思想的實際應用． 2．多內容融合后的分析問題的方法． 3．幾何性質轉化為數學等式的能力．二、教學設計（一）課前設計1．預習任務 （1）回顧前兩節(jié)的知識，填空： 直線l的傾斜角的范圍是． 我們把一條直線的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即：． 經過兩點，的直線的斜率． 當直線l1，l2的斜率存在時，． 當直線l1，l2的斜率存在時，．2．預習自測（1）如果直線沿軸負方向平移個單位再沿軸正方向平移個單位后，又回到原來的位置，那么直線的斜率是（）A． B．C． D．【知識點】直線的斜率．【數學思想】數形結合．【解題過程】結合圖形，通過畫圖平移直線【思路點撥】從圖形入手【答案】A（2）若三點共線則的值為（）A．B．C．D．【知識點】點的坐標與直線的斜率．【解題過程】三點共線則任意兩點間連線的斜率相等，建立方程求解．【思路點撥】點的坐標與直線的斜率的關系建立方程【答案】A（3）已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【知識點】點的坐標與直線的斜率．【數學思想】數形結合【解題過程】先求出與兩個端點連線的斜率，再從圖形得到范圍．【思路點撥】數形結合得答案【答案】C(二)課堂設計1．問題探究探究一復習傾斜角和斜率的定義，公式，應用●活動①回顧知識 請在筆記本上分別畫出一條傾斜角為銳角、直角、鈍角的直線，默寫斜率公式．【設計意圖】回憶已有知識，加強知識的記憶．●活動②例題解答，加深對知識的理解和掌握．例1．某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數關系如圖所示（收支差額=車票收入-支出費用），由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議(Ⅰ)不改變車票價格，減少支出費用；建議(Ⅱ)不改變支出費用，提高車票價格，下面給出的四個圖形中，實線和虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則A．①反映了建議（Ⅱ），③反映了建議（Ⅰ）B．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）C．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【知識點】直線的關系，直線的斜率．【數學思想】數形結合．【解題過程】從題目意義理解，建議(Ⅰ)不改變車票價格，減少支出費用，則所得射線與原射線平行；建議(Ⅱ)不改變支出費用，提高車票價格，則所得射線與原射線起點相同，斜率更大．【思路點撥】從實際問題的意義去理解【答案】B【設計意圖】通過實際問題的分析，培養(yǎng)學生應用數學知識的能力，加深對直線斜率的理解．●活動③例題解答，加深對知識的理解和技巧的掌握．例2．已知實數x，y滿足2x＋y＝8，當2≤x≤3時，求的最大值與最小值．【知識點】斜率與坐標的關系．【數學思想】數形結合【解題過程】的幾何意義是過M(x，y)，N(0，0)兩點的直線的斜率∵實數x，y滿足2x＋y＝8，且2≤x≤3，∴設該線段為AB且A(2，4)，B(3，2)．∵kNA＝2，kNB＝，∴的最小值為，最大值為2．【思路點撥】聯想斜率公式．【答案】的最小值為，最大值為2．【設計意圖】通例題的解答，加強對斜率的坐標公式的理解和掌握．●活動=4\*GB3④變式練習，加深對知識的理解和技巧的掌握，培養(yǎng)學生綜合能力．變式一．過原點引直線EQ，使與連接和兩點間的線段相交，則直線的傾斜角的取值范圍是．【知識點】斜率與坐標的關系，傾斜角與斜率的關系．【數學思想】數形結合【解題過程】A(1，1)，B(1，-1)．∵kOA＝1，kOB＝，結合圖形∴，聯系傾斜角【思路點撥】先求斜率范圍，再聯系傾斜角與斜率的關系求傾斜角范圍．【答案】．【設計意圖】通例題的解答，加強對斜率與傾斜角關系的理解和掌握．●活動=5\*GB3⑤思考與總結：傾斜角的變化與斜率變化的規(guī)律探究二復習兩直線平行，垂直的關系與應用●活動①回顧知識請在筆記本上默寫兩條直線相互垂直的條件和兩直線平行的條件．【設計意圖】回憶已有知識，加強知識的記憶．●活動②例題解答，加深對知識的理解和掌握．例3．已知直線：和直線：．（1）若，，求的值；（2）若，則的最小值．【知識點】兩條直線的平行、垂直關系．【解題過程】，，則得到；則，得到【思路點撥】用平行與垂直的關系的關系建立等式【答案】（1）（2）2【設計意圖】通過例題的解答，加深兩條直線的平行、垂直關系理解和掌握．●活動③變式練習，加深對知識的理解和技巧的掌握，培養(yǎng)學生綜合能力．變式二：若點A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)(a>0，b<0)三點共線，則a－b的最小值等于()A．4 B．2C．1 D．0【知識點】斜率與坐標的關系．【解題過程】∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kAC，即eq\f(b－0,0－a)＝eq\f(－1－0,1－a)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝1．∴a－b＝(a－b)(eq\f(1,a)－eq\f(1,b))＝2－eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝2＋[(－eq\f(b,a))＋(－eq\f(a,b))]≥2＋2＝4．(當a＝－b＝2時取等號)．【思路點撥】先建立關系，再求范圍．【答案】A．【設計意圖】通學生動手練習，加強對斜率公式理解和掌握．●活動=4\*GB3④例題解答，加深對知識的理解和技巧的掌握．例4．設a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線xsinA+ay+c=0 與bx﹣ysinB+sinC=0的位置關系是（） A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直【知識點】解三角形，兩條直線的平行、垂直關系．【解題過程】a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長則，則，所以兩直線垂直．【思路點撥】利用正弦定理尋找關系【答案】A【設計意圖】通過例題的解答，加深兩條直線的平行、垂直關系理解和掌握．【答案】A3．課堂總結知識梳理整理與記憶前兩節(jié)公式． 直線l的傾斜角的范圍是． 我們把一條直線的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即． 經過兩點，的直線的斜率． 當直線l1，l2的斜率存在時，． 當直線l1，l2的斜率存在時，．重難點歸納公式應用的過程中數形結合．（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．若A、B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在【知識點】傾斜角與斜率的概念，關系．【數學思想】【解題過程】若A、B兩點的橫坐標相等，傾斜角為90°，斜率不存在．【思路點撥】傾斜角與斜率的概念，關系判斷．【答案】C．2．若直線l的向上方向與y軸的正方向成60°角，則l的傾斜角為()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°【知識點】傾斜角的概念【數學思想】數形結合【解題過程】直線l可能有兩種情形，如圖所示，故直線l的傾斜角為30°或150°．【思路點撥】畫圖了解．【答案】C．3．直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2【知識點】斜率定義．【數學思想】數形結合【解題過程】如圖，kOA＝2，kl′＝0，只有當直線落在圖中陰影部分才符合題意，故k∈[0,2]．故直線l的斜率k的最大值為2．【思路點撥】畫圖．【答案】D．4．已知直線與，則“”是“”的（）條件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要【知識點】兩直線平行的關系．【數學思想】【解題過程】，【思路點撥】【答案】B．5．已知三條直線，，不能構成三角形，則實數的取值集合為（）A．B．C．D．【知識點】直線間的關系．【數學思想】數形結合【解題過程】不能構成三角形，則有三種可能，即第三條直線分別于兩條已知直線平行或者三條直線交于一點，得到．【思路點撥】考慮各種情況．【答案】D．6．已知過點和點的直線為：，．若，則實數的值為（）A．-10B．-2C．0D．8【知識點】直線間的關系．【解題過程】，，所以．【思路點撥】根據關系求值．【答案】A．能力型師生共研7．已知點A(1,2)，在坐標軸上求一點P使直線PA的傾斜角為60°．【知識點】傾斜角與坐標關系，解方程．【數學思想】方程思想【解題過程】(1)當點P在x軸上時，設點P(a,0)，∵A(1,2)，∴kPA＝eq\f(0－2,a－1)＝eq\f(－2,a－1)．又∵直線PA的傾斜角為60°，∴tan60°＝eq\f(－2,a－1)，解得a＝1－eq\f(2\r(3),3)．∴點P的坐標為．(2)當點P在y軸上時，設點P(0，b)．同理可得b＝2－eq\r(3)，∴點P的坐標為(0,2－eq\r(3))．【思路點撥】．利用斜率與坐標的關系建立方程【答案】或(0,2－eq\r(3))．8．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，把直線l2繞著點A按逆時針方向旋轉到和直線l1重合時所轉的最小正角為60°，則直線l2的斜率的值為________．【知識點】傾斜角的定義．【數學思想】數形結合【解題過程】設直線l2的傾斜角為α2，則由題意知：180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，k2＝tanα2＝－tan45°＝－1．【思路點撥】三點共線則斜率相等．【答案】－1．探究型多維突破9．已知坐標平面內三點A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq\r(3)＋1)．(1)求直線AB、BC、AC的斜率和傾斜角；(2)若D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD斜率k的變化范圍．【知識點】數學結合，傾斜角斜率的綜合運用．【數學思想】數形結合【解題過程】(1)由斜率公式得kAB＝eq\f(1－1,1－(－1))＝0，kBC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq\r(3)．kAC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－(－1))＝eq\f(\r(3),3)．傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°．又∵tan0°＝0，∴AB的傾斜角為0°．tan60°＝eq\r(3)，∴BC的傾斜角為60°．tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴AC的傾斜角為30°．(2)如圖，當斜率k變化時，直線CD繞C點旋轉，當直線CD由CA逆時針方向旋轉到CB時，直線CD與AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由kCA增大到kCB，所以k的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))．【思路點撥】利用k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)及k＝tanα求解．【答案】（1）30°；（2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))10．已知實數x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，試求eq\f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值．【知識點】數學結合，用幾何意義解釋數學等式．【數學思想】數形結合【解題過程】如圖所示，由eq\f(y＋3,x＋2)的幾何意義可知，它表示經過定點P(－2，－3)與曲線段 AB上任一點(x，y)的直線的斜率k，由圖可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1,1)，B(－1,5)．則kPA＝eq\f(1－(－3),1－(－2))＝eq\f(4,3)，kPB＝eq\f(5－(－3),－1－(－2))＝8．∴eq\f(4,3)≤k≤8，∴eq\f(y＋3,x＋2)的最大值為8，最小值為eq\f(4,3)．【思路點撥】用幾何意義解釋數學等式．【答案】最大值為8，最小值為eq\f(4,3)．自助餐1．下列說法正確的是()A．一條直線和x軸的正方向所成的正角，叫做這條直線的傾斜角B．直線的傾斜角α的取值范圍是銳角或鈍角C．與x軸平行的直線的傾斜角為180°D．每一條直線都存在傾斜角，但并非每一條直線都存在斜率【知識點】傾斜角，斜率的概念．【解題過程】A成立的前提條件為直線和x軸相交，故錯誤；選項B中傾斜角α的范圍是0°≤α<180°，故錯誤；選項C中與x軸平行的直線，它的傾斜角為0°，故錯誤；選項D 中每一條直線都存在傾斜角，但是直線與y軸平行時，該直線的傾斜角為90°，斜率不存 在，故正確．【答案】D．2．已知直線與垂直，則的值是（）A．或B．C．D．或【知識點】兩條直線垂直時的斜率的關系．【解題過程】，當時經檢驗不符條件．【思路點撥】建立斜率的等式．【答案】C．3．光線從點A(－2，eq\r(3))射到x軸上的B點后，被x軸反射，這時反射光線恰好過點C(1,2eq\r(3))，則光線BC所在直線的傾斜角為________．【知識點】入射光與反射光的斜率互為相反數．【數學思想】數形結合【解題過程】A(－2，eq\r(3))關于x軸的對稱點為A′(－2，－eq\r(3))，由物理知識知kBC＝kA′C＝eq\f(2\r(3)－(－\r(3)),1－(－2))＝eq\r(3)，所以所求傾斜角為60°．【思路點撥】入射光與反射光的之間的關系．【答案】60°．4．若直線與直線平行，則實數的值為_______．【知識點】平行直線間的斜率關系．【解題過程】由題意可得【思路點撥】．畫圖得到傾斜角的范圍【答案】1．5．直線l1經過點A(m,1)，B(－3,4)，直線l2經過點C(1，m)，D(－1，m＋1)，當l1∥l2或l1⊥l2時，分別求實數m的值．【知識點】平行直線，垂直直線間的斜率關系．【解題過程】當l1