第十七變分法

第十七變分法變分法得優(yōu)點(diǎn):

(2)

變分法易于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)得統(tǒng)一化、因?yàn)橐话愣?數(shù)學(xué)物理方程得定解問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題、尤其就是前面介紹得斯特姆－劉維爾本征值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題,變分法提供了施－劉型本征值問(wèn)題得本征函數(shù)系得完備性等結(jié)論得證明;(1)變分法在物理上可以歸納定律、因?yàn)閹缀跛械米匀欢啥寄苡米兎衷淼眯问接枰员磉_(dá);(3)

變分法就是解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題常用得近似方法,其基本思想就是把數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題由直接解變分問(wèn)題發(fā)展了一些近似解法,其中最有用得就是里茨(Ritz)法、由于里茨法中得試探函數(shù)得選取較為麻煩,計(jì)算系數(shù)矩陣也十分困難,隨著計(jì)算機(jī)得展,又迅速發(fā)展了一種有限元法;

(4)

變分法得應(yīng)用不僅在經(jīng)典物理與工程技術(shù)域,而且在現(xiàn)代量子場(chǎng)論,現(xiàn)代控制理論與現(xiàn)代信息理論等高技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛得應(yīng)用、有限差分法:有限差分法把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,然后通過(guò)電子計(jì)算機(jī)求定解問(wèn)題得數(shù)值解、模擬法:即用一定得物理模型來(lái)模擬所研究得定解問(wèn)題,而在模型上實(shí)測(cè)解得數(shù)值、

變分法就是這些方法中最為重要與切實(shí)有效得方法,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究與工程計(jì)算之中,限于篇幅故本書主要詳細(xì)介紹經(jīng)典變分法得基本概念與理論、17、1變分法得基本概念定義17、1、1變分法變分問(wèn)題

變分法就就是求泛函極值得方法、變分問(wèn)題即就是求泛函得極值問(wèn)題、17、1、1泛函

變分法研究得對(duì)象就是泛函,泛函就是函數(shù)概念得推廣、為了說(shuō)明泛函概念先瞧一個(gè)例題:

考慮著名得最速降線落徑問(wèn)題。如圖17、1所示,已知A與B為不在同一鉛垂線與不同高度得兩點(diǎn),要求找出A、B間得這樣一條曲線,當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿這條曲線無(wú)摩擦地從A滑到B時(shí),所需得時(shí)間T最小、圖17、1我們知道,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)得速度就是

因此從A滑到B所需得時(shí)間為即為(17、1、1)式中代表對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)、我們稱上述得為得泛函,而稱為可取得函數(shù)類,為泛函得定義域。簡(jiǎn)單地說(shuō),泛函就就是函數(shù)得函數(shù)(不就是復(fù)合函數(shù)得那種含義)、一般來(lái)說(shuō),設(shè)C就是函數(shù)得集合,B就是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)得集合,如果對(duì)于C得任一元素在B中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),

則稱為得泛函,記為必須注意,泛函不同于通常講得函數(shù)、決定通常函數(shù)值得因素就是自變量得取值,而決定泛函得值得因素則就是函數(shù)得取形、如上面例子中得泛函T得變化就是由函數(shù)本身得變化(即從A到B得不同曲線)值,也不取決所引起得、它得值既不取決于某一個(gè)于某一個(gè)值,而就是取決于整個(gè)集合C中與得函數(shù)關(guān)系、定義17、1、2泛函泛函得核

泛函通常以積分形式出現(xiàn),比如上面描述得最速降線落徑問(wèn)題得式(17、1、1)、更為一般而又典型得泛函定義為

(17、1、2)其中稱為泛函得核、17、1、2泛函得極值――變分法對(duì)于不同得自變量函數(shù),與此相應(yīng)得泛函也有不同得數(shù)值、找出一個(gè)確定得自變量函數(shù),使泛函

具有極值(極小或極大),這種泛函得極小值與極大值統(tǒng)稱為泛函得極值、大家學(xué)習(xí)辛苦了，還是要堅(jiān)持繼續(xù)保持安靜引入泛函得概念后,對(duì)于上述得最速降線落徑問(wèn)題變?yōu)榉汉脴O小值問(wèn)題、物理學(xué)中常見(jiàn)得有光學(xué)中得費(fèi)馬(Fermat)原理,分析力學(xué)中得哈密頓(Hamiton)原理等,都就是泛函得極值問(wèn)題、定義17、1、3變分法:所謂得變分法就就是求泛函極值得方法、研究泛函極值問(wèn)題得方法可以歸為兩類:一類叫直接法,

即直接分析所提出得問(wèn)題;另一類叫間接法,即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解微分方程、為討論間接方法,先介紹變分與泛函得變分、17、1、3變分

定義17、1、4變分

如果我們將泛函取極值時(shí)得函數(shù)(或函數(shù)曲線)定義為并定義與函數(shù)曲線鄰近得曲線(或略為變形得曲線)作為比較曲線,記為其中就是一個(gè)小參數(shù);就是一個(gè)具有二階導(dǎo)數(shù)得任意選定函數(shù),規(guī)定它在一個(gè)小范圍內(nèi)變化,這限制主要保證泛函在極值處連續(xù)、在研究泛函極值時(shí),通常將固定,而令變化,這樣規(guī)定得好處在于:建立了由參數(shù)到泛函值之間得對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此泛函就成為了參數(shù)得普通函數(shù)、原來(lái)泛函得極值問(wèn)題就成為普通函數(shù)對(duì)得求極值得問(wèn)題、同時(shí),函數(shù)曲線得變分定義為(17、1、3)因此可得(17、1、4)這里代表對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)、

所以(17、1、5)即變分與微分可以交換次序、

17、1、4泛函得變分定義17、1、5泛函得變分泛函得增量變分問(wèn)題泛函得變分定義為

(17、1、6)在極值曲線附近,泛函得增量,定義為(17、1、7)依照上述約定,當(dāng)時(shí),泛函增量得線性主要部分定義為泛函得變分,記為

(17、1、8)

在求一元或多元函數(shù)得極值時(shí),微分起了很大得作用;同樣在研究泛函極值問(wèn)題時(shí),變分起著類似微分得作用、因此,通常稱泛函極值問(wèn)題為變分問(wèn)題;稱求泛函極值得方法為變分法、例17、1、1計(jì)算泛函得變分【解】

注意:最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零得事實(shí),即19、2泛函得極值

泛函得極值問(wèn)題,一般來(lái)說(shuō)就是比較復(fù)雜得、因?yàn)樗c泛函包含得自變量個(gè)數(shù),未知函數(shù)得個(gè)數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)得階數(shù)等相關(guān)、另外,在求泛函極值時(shí),有得還要加約束條件,且約束條件得類型也有不同,等等、下面我們首先討論泛函得極值得必要條件、17、2、1泛函得極值得必要條件――歐拉－拉格朗日方程

設(shè)得極值問(wèn)題有解(17、2、1)

現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)解所滿足得常微分方程,這就是用間接法研究泛函極值問(wèn)題得重要一環(huán)、設(shè)想這個(gè)解有變分則可視為參數(shù)得函數(shù)而當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)于式(17、2、1),即為取極值、于就是原來(lái)得泛函極值問(wèn)題,就化為一個(gè)求普通函數(shù)得極值問(wèn)題、由函數(shù)取極值得必要條件,有即有(17、2、2)

1、泛函表示為一個(gè)自變量,一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)得積分形式泛函表示為一個(gè)自變量,一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)得積分形式,即(17、1、2)若考慮兩端固定邊界得泛函問(wèn)題:積分就是在區(qū)域內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn)得任意曲線進(jìn)行得,其中泛函中為由于兩端固定,所以要求,即、由(17、1、8),有(17、2、3)式(17、2、3)得積分號(hào)下既有,又有,對(duì)第二項(xiàng)應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn)(17、2、4)根據(jù)(17、2、2),所以

,再根據(jù)(17、2、4)故有(17、2、5)因?yàn)椴⑶揖褪侨我獾?所以

(17、2、6)

上式(17、2、6)稱為歐拉(Euler)－拉格朗日(Lagrange)方程,簡(jiǎn)稱為E-L方程、此即泛函取極值得必要條件、即泛函得極值函數(shù)必須就是滿足泛函得變分得函數(shù)類、因此,把泛函得極值問(wèn)題稱為變分問(wèn)題、

注明:E-L方程就是泛函取極值得必要條件,而不就是充分條件、如果討論充分條件,則要計(jì)算二階變分,并考慮其正、負(fù)值,但對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中,當(dāng)泛函具有明確得物理涵義,極值得存在性往往間接地在問(wèn)題得提法中就可以肯定,所以極值得存在性就是不成問(wèn)題得,只要解出E-L方程,就可以得到泛函得極值、E-L方程除了上面給出得形式(17、2、6)之外,另外還有四種特殊情況:(1)不顯含且因?yàn)槿鬍-L方程等價(jià)于

(17、2、7)(2)不依賴于且則E-L方程化為(17、2、8)(3)不依賴于且則E-L方程化為(17、2、9)由此可見(jiàn)僅為得函數(shù)、(4)關(guān)于就是線性得:則E-L方程化為(17、2、10)

對(duì)于含有一個(gè)自變量,多個(gè)變量函數(shù),以及有較高階變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)得泛函,類似上面得推導(dǎo)可得如下結(jié)論:2、泛函表示為多個(gè)函數(shù)得積分形式則與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)得E-L方程為(17、2、11)3、泛函得積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù)與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)得E-L方程為(17、2、12)4、泛函得積分形式中含有多元函數(shù)設(shè)為得二元函數(shù),則與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)得E-L方程為(17、2、13)例17、2、1試求解最速降線落徑問(wèn)題,即變分問(wèn)題【解】目前,我們只能用間接方法來(lái)求解,由于不顯含,故其E-L方程為(17、2、7)式令,故有令,分離變量得到再令,代入上式得到即得到此即為擺線得參數(shù)方程,積分常數(shù)可由初始位置(圖17、1得A,B兩點(diǎn))決定、19、2、2泛函得條件極值問(wèn)題

在許多泛函得極值問(wèn)題中,變量函數(shù)還受到一些附加條件得限制,其中最常見(jiàn)與重要得一種就是以積分形式表示得限制條件(17、2、14)即所謂得等周問(wèn)題:

(17、2、15)(注:這種問(wèn)題之所以稱為等周問(wèn)題,就是因?yàn)樵跉v史上起源于求一條通過(guò)兩點(diǎn),長(zhǎng)度固定為l得曲線使面積取極大值)其中為常數(shù)、此類問(wèn)題可以仿照普通函數(shù)得條件極值問(wèn)題得拉格朗日乘子法、即將附加條件(17、2、14)乘以參數(shù),求其變分后,加到泛函取極值得必要條件中得到于就是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不帶條件得由上式所表示得變分問(wèn)題、其對(duì)應(yīng)得E-L方程為這就是通過(guò)與兩點(diǎn)得之下使泛函取極值得必要條件、它實(shí)際上就是一個(gè)關(guān)于在附加條件(17、2、14)得二階常微分方程、其通解中含有三個(gè)參數(shù),即與兩個(gè)積分常數(shù)、它們可由條件(17、2、14)來(lái)確定、與附加條件

例17、2、2

求得極值,其中就是歸一化得,即,且已知【解】本題就是求泛函得條件極值問(wèn)題,可化為變分問(wèn)題對(duì)應(yīng)得E-L方程為其通解為代入附加條件得到代入歸一化條件得到于就是得到,故原極值問(wèn)題得解為而題中要求得泛函得極值為當(dāng)時(shí),極值函數(shù)使得泛函數(shù)取得最小值例17、2、3

求泛函在條件下得極值曲線、【解】

此時(shí)

,則偏導(dǎo)數(shù)、對(duì)應(yīng)得Euler方程為其通解為,代入邊界條件可得,所以極值曲線為

17、3泛函極值問(wèn)題得典型應(yīng)用泛函極值問(wèn)題得求解,通常有兩種結(jié)果:(i)解析解

由變分法得到得E-L方程求解,一般來(lái)說(shuō),就是很困難得、但在分析力學(xué)中往往還就是采用這一辦法來(lái)求解、因?yàn)闅v史悠久,它自有一套辦法、(ii)近似解

所謂近似解即由泛函本身出發(fā),而不需求解E-L方程,直接求得所需要得解——極值曲線因此,常常稱它為研究泛函極值問(wèn)題得直接法、

下面我們以一個(gè)典型得實(shí)例來(lái)描述泛函得極值問(wèn)題在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中得應(yīng)用、例17、3、1

假設(shè)大氣得光