數(shù)值計(jì)算方法

重慶三峽學(xué)院科研文庫

數(shù)值計(jì)算方法

馮天祥編著

四川科學(xué)技術(shù)出版社

新疆科技衛(wèi)生出版社(K)

書名：數(shù)值計(jì)算方法

作者：馮天祥

出版社：四川科學(xué)技術(shù)出版社

出版日期：2003

ISBN：7-5372-3338-1/0241

定價(jià)：22.00

前

數(shù)值計(jì)算歷來都是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一。在當(dāng)今的數(shù)學(xué)應(yīng)用中，數(shù)值計(jì)算更是日新

月異。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，原有的數(shù)學(xué)應(yīng)用已不能滿足科技發(fā)展的需要。在計(jì)算機(jī)上用數(shù)值

計(jì)算方法進(jìn)行科學(xué)與工程計(jì)算，業(yè)已成為與理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)同等重要的研究課題。現(xiàn)在,

數(shù)值計(jì)算已發(fā)展成為一門內(nèi)容豐富，研究方法深刻，有自身的理論體系，實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科。

利用計(jì)算機(jī)計(jì)算各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法,已成為科技人員的勉備知識(shí)。

本群介紹了用于科學(xué)計(jì)算的常用的數(shù)值計(jì)算方法，詳細(xì)闡述了數(shù)值計(jì)算的基本原理和方

法，討論了有關(guān)數(shù)值算法的收斂性和穩(wěn)定性及在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)這些算法的相關(guān)問題。內(nèi)容包

括：數(shù)值計(jì)算的誤差分析、非線性方程的求根、線性方程組的各種解法相應(yīng)算法、插值與擬

合、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的數(shù)值解法等。

本稱每章未有小結(jié)和習(xí)題。本刊敘述力求清楚、準(zhǔn)確，條理分明，問題的闡述與解決力

求通俗易懂。閱讀本才需具備高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的基本知識(shí)。

在本稱的寫作過程中，得到了蔣爾雄教授的鼓勵(lì)和支持。本書的出版，承蒙重慶三峽學(xué)

院研究生處胡繼明博士、科研處王曉初處長和曹江陵副處長、計(jì)算機(jī)科學(xué)系系主任譚明術(shù)博

士、副主任應(yīng)宏副教授和姜友誼副教授等的大力支持，最后我要特別感謝我的妻子莫紹伶和

我的兒子。沒有以上這些同志和家人的幫助、關(guān)心和支持的話，本刊是不會(huì)出版的。

本書可作為計(jì)算機(jī)專業(yè)和師范院校本科用數(shù)值計(jì)算方法的教材，也可作為科學(xué)、工程技

術(shù)人員的參考書。限于水平，書中缺點(diǎn)與錯(cuò)誤之處，敬請讀者批評指正。

馮天祥

2002年12月

目錄

前言！

1數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析.........1I

6數(shù)值積分與數(shù)值微分...........132

1.1數(shù)值計(jì)算方法的含義和特點(diǎn).........1I6.1一般求積公式及其代數(shù)精度......132

1.2誤差的來源.......................1I6.2插值型求積公式...............134

1.3絕對誤差與相對誤差............3|6.3牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式…136

1.4數(shù)值運(yùn)算中的誤差...............6|6.4復(fù)合求積公式和龍貝格（Romberg）算法…139

1.5數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)遵循的幾個(gè)原則.......7|6.5高斯型求積公式...............142

2非線性方程求根的數(shù)值方法.......11|6.6數(shù)值微分......................147

2.1根的搜索........................11|

7帶微分方程的數(shù)值解法......151

2.2二分法..........................11|

2.3反插值法.......................12;7.1歐拉（Euler）方法...............151

7.2龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法…155

2.4迭代法..........................13j

7.3線性多步法....................160

2.5牛頓（Newton）迭代法..........21

2.6近似牛頓法.....................26|參考文獻(xiàn).......................167

2.7拋物線法和方程組的牛頓解法……30j后記............................168

2.8林士猾-貝爾斯多夫方法.........32|

3線性方程組的各種解法...........37|

3.1消去法............................37|

3.2解線性方程組的直接方法...........48|

3.3向量與矩陣范數(shù)...................54j

3.4線性方程組的迭代解法.............66I

4插值方法與曲線擬合.............83|

4.1概述............................83j

4.2拉格朗日（Lagrange）插值........85；

4.3內(nèi)維爾（Neville）插值..........90j

4.4牛頓（Newton）插值.............91

4.5埃米爾特（Hermite）插值.........961

4.6分段低次插值...................98|

4.7樣條插值......................100|

4.8曲線擬合的最小二乘法..........1061

5函數(shù)逼近........................115!

5.1概述............................115g

5.2正交多項(xiàng)式....................116j

5.3最佳一致逼近..................122|

5.4最佳平方逼近..................127|

1

前

數(shù)值計(jì)算歷來都是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一。在當(dāng)今的數(shù)學(xué)應(yīng)用中，數(shù)值計(jì)算更是日新

月異。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，原有的數(shù)學(xué)應(yīng)用已不能滿足科技發(fā)展的需要。在計(jì)算機(jī)上用數(shù)值

計(jì)算方法進(jìn)行科學(xué)與工程計(jì)算，業(yè)已成為與理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)同等重要的研究課題?，F(xiàn)在,

數(shù)值計(jì)算已發(fā)展成為一門內(nèi)容豐富，研究方法深刻，有自身的理論體系，實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科。

利用計(jì)算機(jī)計(jì)算各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法,已成為科技人員的勉備知識(shí)。

本群介紹了用于科學(xué)計(jì)算的常用的數(shù)值計(jì)算方法，詳細(xì)闡述了數(shù)值計(jì)算的基本原理和方

法，討論了有關(guān)數(shù)值算法的收斂性和穩(wěn)定性及在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)這些算法的相關(guān)問題。內(nèi)容包

括：數(shù)值計(jì)算的誤差分析、非線性方程的求根、線性方程組的各種解法相應(yīng)算法、插值與擬

合、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程的數(shù)值解法等。

本稱每章未有小結(jié)和習(xí)題。本刊敘述力求清楚、準(zhǔn)確，條理分明，問題的闡述與解決力

求通俗易懂。閱讀本才需具備高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的基本知識(shí)。

在本稱的寫作過程中，得到了蔣爾雄教授的鼓勵(lì)和支持。本書的出版，承蒙重慶三峽學(xué)

院研究生處胡繼明博士、科研處王曉初處長和曹江陵副處長、計(jì)算機(jī)科學(xué)系系主任譚明術(shù)博

士、副主任應(yīng)宏副教授和姜友誼副教授等的大力支持，最后我要特別感謝我的妻子莫紹伶和

我的兒子。沒有以上這些同志和家人的幫助、關(guān)心和支持的話，本刊是不會(huì)出版的。

本書可作為計(jì)算機(jī)專業(yè)和師范院校本科用數(shù)值計(jì)算方法的教材，也可作為科學(xué)、工程技

術(shù)人員的參考書。限于水平，書中缺點(diǎn)與錯(cuò)誤之處，敬請讀者批評指正。

馮天祥

2002年12月

1數(shù)值計(jì)算方法與讀妥分析

本章介紹數(shù)值計(jì)算方法的含義、特點(diǎn)和誤差分析的有關(guān)內(nèi)容。

1.1數(shù)值計(jì)算方法的含義和特點(diǎn)

數(shù)值計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的研究方向之一，又稱為數(shù)值分析或計(jì)算方法。它是研究用計(jì)

算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論的一門學(xué)科。是程序設(shè)計(jì)和對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析

研究的依據(jù)和基礎(chǔ)。

對于個(gè)數(shù)學(xué)問題通過數(shù)值運(yùn)算得到數(shù)值解答的方法稱為數(shù)值方法，能通過計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

的數(shù)值方法稱為數(shù)值算法。如所周知，計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題包括下面的幾個(gè)主要過程：提出

問題，建立數(shù)學(xué)模型，選用數(shù)值算法，設(shè)計(jì)程序和上機(jī)計(jì)算。

數(shù)值計(jì)算方法有如下特點(diǎn)：

(1)面向計(jì)算機(jī)要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提出切實(shí)可行的有效的算法。

(2)有堅(jiān)實(shí)的理論支撐對近似計(jì)算要保證收斂和數(shù)值穩(wěn)定，要對誤差進(jìn)行分析，能夠

達(dá)到給定的精度要求等，沒有理論的支持是不能完成的。

(3)要有良好的計(jì)算復(fù)雜性一個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜性是指該算法的空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)

雜度的總和。而空間復(fù)雜度是指算法所要占用的存儲(chǔ)空間；時(shí)間復(fù)雜度是指該算法包括的運(yùn)

算次數(shù)?？臻g復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度都小的算法稱為計(jì)算復(fù)雜度良好的算法。

就其內(nèi)容而言，數(shù)值計(jì)算方法大致包括如下三個(gè)方面的內(nèi)容：

(I)數(shù)值逼近各種逼近問題的計(jì)算方法：插值、樣條、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微

分等。

(2)數(shù)值代數(shù)非線性方程求根的數(shù)值方法、向量與矩陣范數(shù)、線性方程組的各種解法。

(3)常微分方程的數(shù)值解法。

1.2誤差的來源

在數(shù)值計(jì)算中，要進(jìn)行大量的數(shù)的運(yùn)算，這些數(shù)通常有兩類：精確數(shù)和近似數(shù)。

(1)模型誤差在定量分析時(shí)，抓住事物的主要因素而忽略其次要因素，建立起來的數(shù)

學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)原型之間必然有著某些差距和差異，它是現(xiàn)實(shí)原型的近似。這種誤差稱為模型誤差。

1

(2)截?cái)嗾`差在將連續(xù)問題離散化的過程中，在將無限問題有限化的過程中，因?yàn)橛?jì)

算機(jī)只能完成有限次運(yùn)算而產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。

(3)數(shù)值運(yùn)算誤差對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，無論是人工還是計(jì)算機(jī)，都只能計(jì)算有限位數(shù)，與

原始數(shù)據(jù)之間可能有些誤差，而每一步計(jì)算的過程也可能因四舍五入而產(chǎn)生誤差，這種誤差

稱為數(shù)值運(yùn)算誤差或舍入誤差。

“四舍五入”規(guī)則將超過規(guī)定位數(shù)的部分按下述原則去掉：

(4)果舍去部分小于保留數(shù)的最后一位的單位的一半，那么要保留的數(shù)不變，將其余部

分去掉。如%=3,取兩位小數(shù),保留數(shù)的最后一位的單位0.01,舍去部分為

0.00159265…，小于0.01的一半，因此得近似數(shù)為3.14。

(5)如果舍去部分大于保留數(shù)的最后一位的單位的一半，那么保留數(shù)的最后一位數(shù)字加

1,再將其余部分去掉。如萬=3,取四位小數(shù),得3.1416。

(6)如果舍去部分剛好等于保留數(shù)的最后?位的單位的一半，此時(shí)，若保留數(shù)的最后一

位數(shù)字是奇數(shù)則加1成偶數(shù)，再把其余的數(shù)去掉；若保留數(shù)的最后一位數(shù)字是偶數(shù)，直接將

其余的數(shù)去掉。我們稱此規(guī)則為奇偶規(guī)則。如3.475用四舍五入取2位小數(shù)得3.48,3.345用

四舍五入取2位小數(shù)得3.34。

注意：在理論上恒等的式子，實(shí)際計(jì)算時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)大的差異，如：

數(shù)學(xué)上有=/'(X)

力TOhJ

可見當(dāng)h充分小時(shí)，+越接近與廣(X)。

h

現(xiàn)對f(x)=eX,取Jt=l,則f(D=e=2.718281828..…，對g(/?)=苣/，

e"5-e"/'+ee+el+A(A-1)e[eA(A-DIz.

g(h)=------5------=-------------=-------------20,(人>0)

hh~h

從而g(/z)單調(diào)遞增，即〃越取接近于零的正數(shù)，g(/z)越接近于e,取9位數(shù)字具體計(jì)

算時(shí)結(jié)果卻不然：

hg(h)e誤差

10°4.670774262.718281751.95x100

10-12.85884380同上1.41x10-'

10-22.73191929同上1.36x102

10'32.71987939同上1.60x103

10-42.72035623同上2.07x10-3

W52.71797204同上3.10X10"

10'62.62260461同上9.57xIO"

另外，在數(shù)值計(jì)算中，我們常運(yùn)用如下的方法和手段：

(7)離散化對于許多連續(xù)型問題，要精確的解決它十分困難，采用離散的手法來近似

地解決，而對其誤差是可以有效控制的，這種思想在科學(xué)計(jì)算中已相當(dāng)普遍。如計(jì)算定積分

2

/=(/(/)&'轉(zhuǎn)化為I\不2[/(七)+/(西+I)],10=。,王=工0+法』=1,2"..,〃,/1=------。

a

21=0n

(8)遞歸化利用計(jì)算機(jī)處理遞歸問題有快速、方便的特點(diǎn)，我們將一些問題的求解轉(zhuǎn)

化為遞歸問題,可快速獲解。如已知多項(xiàng)式%(%)=4/+—4+”.+呼+%,求p”(x。)，

可以建立如下的遞歸關(guān)系：

“0=a?

■Uk=uk_ixQ+ak_l,k=1,2,...,〃

p,M=un

(9)近似代替法如果要計(jì)算的問題有無窮多項(xiàng)或數(shù)字的位數(shù)是無限的，我們要將其轉(zhuǎn)

化為有限項(xiàng)或有限位，因此需要作近似替代。如計(jì)算e=i+l+^+-L,我們?nèi)∑浣浦?/p>

2!+n!+

為e=l+l+*+...+忐

1.3絕對誤差與相對誤差

1.3.1絕對誤差與相對誤差

定義1準(zhǔn)確值X與其近似值x*之差稱為近似數(shù)x*的絕對誤差(簡稱誤差)，記為e(一)，

即e(x*)=x-x"(1.1)而e(x*)又簡記為e*。

但一般來說，不能準(zhǔn)確知道e(x*)的大小，可以通過測量或計(jì)算估計(jì)其絕對值的上界。如

果|(/)|=|x-/|<“x*)(1.2),那么￡(/)叫做近似數(shù)x*的絕對誤差限，簡稱誤差限。而式尤*)

又簡記為

由于|x-x*|W￡*0x*_￡Wx《x*+￡，這表明x在卜*一￡,x*+d這個(gè)區(qū)間內(nèi)，通常用

x=x*±￡來表示近似數(shù)X*的精確度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。

下面我們來討論“四舍五入”的誤差限：設(shè)實(shí)數(shù)尤=±0.*々./...年10'"，其中機(jī)是整數(shù),

x"=1,2,…是0,1,…,9中的數(shù)，X1*0,若經(jīng)四舍五入保留”位數(shù)字，得到近似值:

*±O.Xix2...xnX1（T,當(dāng)芍+]W4（0舍）

X=<,于是四舍五入的誤差限為

±0.再％2???/-1?+1）x102當(dāng)X”+1N5（五入）

3

nmn

(O.x1x2...xZJxZJ+1...-O.x}x2...xn)x10'<—xlO~

2(1.3)

[0/儼2…X,I(X.+1)-0E々…W|xiom-n

定義2在1.1式中，記［*.）=史立（L4）,則稱e,（x*）為近似數(shù)/的相對誤差，

X

簡記為e；。如果,（x*）|wJ（x*）（L5）,則稱％（?。榻茢?shù)/的相對誤差限，簡記為￡〉

在實(shí)際運(yùn)用中，尤通常是不知道的，因而常將相對誤差改寫成e,（x"）=與。這是因?yàn)?/p>

e(x*)e(x)e(x)1e(x*)1a空2。于是我們今后不加區(qū)別

----=---------=----------------=-----1—?―十???

xx"+e(x*)x*l+e(x*)/x*x"xX*

地認(rèn)為e,（x"）=）。

x

1.3.2有效數(shù)字與可靠數(shù)字

定義3設(shè)數(shù)x的近似值X*=±0.X1X2...X....X1（T（1.6）其中再是0到9間的數(shù)字，犬尸0,

，”是整數(shù)，如果卜-x*|W|xlOM-n（1.7）,則稱x,是有效數(shù)字。如果|x-x［W10'"一"，則

稱以為可靠數(shù)字。

注意：①如果x”是有效數(shù)字，那么玉,4,..,乙_］也是有效數(shù)字。②如果x*的每一位數(shù)字

都是有效數(shù)字，則稱x*為有效數(shù)。③由1.3式知，若x*是由x經(jīng)四舍五入得到的，那么一是

有效數(shù)。④有效數(shù)字位數(shù)相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對誤差不一定相同。如：X：=12345,x；=12.345

二者都有5位有效數(shù)字，但前者的絕對誤差為0.5,后者的絕對誤差為0.0005?⑤把任何數(shù)乘

以100,即移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，這樣并不影響有效數(shù)字的位數(shù)。⑥準(zhǔn)確值可認(rèn)為有無窮多位

有效數(shù)字。

例1下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，求各數(shù)的絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)

字的位數(shù)。

2938x10-235800.0345

解：2938x10-2的絕對誤差為0005,相對誤差為0.017%,有效數(shù)字有4位。

3580的絕對誤差為0.5,相對誤差為0.014%,有4位有效數(shù)字。0.0345的絕對誤差為0.00005,

相對誤差為0.14%,有3位有效數(shù)字。

L3.3有效數(shù)字、可靠數(shù)字與相對誤差的關(guān)系

定理1如果x的近似數(shù)x*寫成1.6式，則

（1）若看是有效數(shù)字，那么相對誤差3（一）滿足"（一）］w：xlOf-D。

4

(2)若相對誤差e，(x*)滿足,r(x*)|w—?—xlO《f,則x“是有效數(shù)字。

2(項(xiàng)+1)

]II工一工1II

證明：(1)由于x,是有效數(shù)字=卜-/l5*10"",而"(X*)卜丁

卜[知.10”1=親%()5,=.(小京1。3

⑵如果卜。*上冊xlO-"i>nk-Jw^~^xlO-"T忖，而卜］或區(qū)+1)x10""

因此卜-x[W—!—X10-5T)-區(qū)+l)x10m-'=-xl0M-",即X?是有效數(shù)字。

2(X1+1)2

定理2如果x的近似數(shù)x*寫成1.6式，則

(1)若x*最多只有〃位有效數(shù)字，則一的相對誤差滿足卜(x*)卜一5一xlO-fl?

2(而+1)

(2)若/的相對誤差滿足k(x")|>AxlO-",則/最多只有〃位有效數(shù)字。

證明：(1)因?yàn)椋不是有效數(shù)字，所以k-x[>；xl0"ri,而

k(/)|=>|xiom-n-'/\x\,1x1w區(qū)+1)xlO'i」X1()1"

\x\2\X\X1+1

nk(x*)l>-xlO'"-"T.——x10'-m=-~-~~xKT"。

II2x,+12(X1+1)

-

(2)因?yàn)椴?x*)卜;xl(T"=>|x-x*|=\er(x*)|-p*|>^-x10"-x10"-'

=；xio，,Ti,也就是說x,用不是有效數(shù)字，因此，/最多只有〃位有效數(shù)字。

對于可靠數(shù)字，同樣地我們有如下的定理：

定理3如果x的近似數(shù)尤*寫成1.6式，則

(1)若x“是可靠數(shù)字，那么相對誤差.(X*)滿足,(x*)|wL10「g)。

x\

(2)若相對誤差e,(x*)滿足卜(x*)w-jx10-(1),則x“是可靠數(shù)字。

定理4如果x的近似數(shù)x*寫成1.6式，則

(1)若x*最多只有〃位可靠數(shù)字，則x*的相對誤差滿足,(丁)卜”10-。

(2)若x”的相對誤差滿足h(x*)|>,xlOf,則x*最多只有〃位可靠數(shù)字。

x\

例2：用四舍五入法取e的近似值2.72時(shí)，求其相對誤差。

5

-（3-l＞

解：有效數(shù)字位數(shù)〃=3,X,=2,er=—!—xlO=0.25%-

r2x2

例3：已知近似數(shù)x*有3位有效數(shù)字，求其相對誤差

解：n=3,￡；=—LxlO-G-i）,但第一位有效數(shù)字七未知，可按最不利的情況給出。

2占

X,=1,￡*=」xl（y2=0.5%,用=9,￡*=」一x10-2=0.056%，取X1=1,此時(shí)相對誤差

1r2'2x9

為最大且最大的￡；=0.5%?

例4：求V7的近似值，使其相對誤差不超過0.0005。

解：?77=2.64575...,取士=2,設(shè)所求的近似數(shù)有“位有效數(shù)字，貝￡"=_Lx

'2xt

=＞」一*10-（"-|）＜0.0005求得八24,所以，2.646。

2x2

例5：已知近似數(shù)的相對誤差為0.25%,問可能有幾位有效數(shù)字？

解：0.25%=―1—,因此，至少有兩位有效數(shù)字。

2（±+1）［占=9時(shí)，n=2.3

從絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字及定理1和定理2可見，有效數(shù)字的位數(shù)代表近似數(shù)

的精確程度，絕對誤差與小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)有關(guān)；相對誤差與有效數(shù)字位數(shù)有關(guān)。

1.4數(shù)值運(yùn)算中的誤差

1.4.1函數(shù)運(yùn)算的誤差

當(dāng)自變量有誤差時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值也會(huì)產(chǎn)生誤差，卜面我們來分析這種誤差。

（1）設(shè)有一元函數(shù)/（X）,自變量X的近似值為X*,/（X）的近似值為/（X*）,其誤差

限記為/（X*）］,由泰勒展開式知：

/（A-）=/（X*）+/,（X，）（X-Z）+（X-/）2，介于X,X*之間，于是取絕對值便有

『**）|"+^^（￡*尸，忽略/的高次項(xiàng)，則得到誤差和相對誤差，

￡|/**）卜|/（x'）|?￡*，￡；■［/（x*）］35,￡*（L8）

11f（x）

（2）設(shè)有多元函數(shù)y=/區(qū),％2，“.,%"）,萬|#2，...,瑞分別有近似值了；,了；,...?。?y有近

似值y,=〃x：,x；,...,x：）,則

6

cr***、

”"，???，z）X"謁，…,x：）+浮'）,記歹（zX］，々，…，工〃）=

dXj?

、與

得到e(y*)ae；=￡（y*）N裊,：，￡,(y')這'2(1.9)

Sx*

J/1=|y

1.4.2算術(shù)運(yùn)算中的誤差

對/（和巧”“,-"）=占±%2±...±瑞,有孚-=±1，因此￡（）■"）^^名*

(1.10)

次/=1

（1.11）同理可得

￡（X；X；）小:"+卜；卜：,￡,（X；X；）?￡,.（X：）+J（X；）（1.12）

/*、*1*1*1*

X］忖2+卜2x「k；W+區(qū)上；

￡1(1.13)

￡，;)2（x；F忖引

例6：已測得某矩形場地的長/的近似值為/*=110m,寬d的近似值為d*=80m,已知

|/-/*|<0.2m,k-0.1m,求場地面積S的絕對誤差限和相對誤差限。

解：S=ld,—=d,—=l,￡（S*）?J*x0.2+/*x0.1=27（m2）

dldd

八,a*、￡（S*）27c

￡「（S）=?*=------=0.31%。

Id110x80

例7：正方形的邊長為100cm,怎樣測量才能使其面積的誤差不超過1cm2?

解：設(shè)正方形的邊長為xcm,測量值為x*cm,面積y=/（x）=x，/（x）=2x,

則￡,（>,*）?2X*￡（X*）=200￡（X*）<1=>￡（x"）W=0.005cm,即要使正方形的面積的誤

差不超過1cm2,測量邊氏的絕對誤差不能超過0.005cm。

1.5數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)遵循的幾個(gè)原則

由于在數(shù)值運(yùn)算中，不可避免地會(huì)產(chǎn)生誤差，如果懂得產(chǎn)生誤差的某些規(guī)律，就可在一

定程度上控制誤差，這是我們應(yīng)該追求的基本目標(biāo)。因此，在進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，要遵循如下

一些原則：

7

1.要避免相近兩數(shù)相減，防止有效數(shù)字丟失

前面已經(jīng)知道，在理論上恒等的兩個(gè)數(shù)學(xué)式子，實(shí)際計(jì)算時(shí)結(jié)果未必一致，原因之一是

出現(xiàn)相近兩數(shù)相減，使有效數(shù)字莫名其妙地消失了。為此，對于具有減法運(yùn)算的公式，要作

適當(dāng)?shù)奶幚怼?/p>

例8：用四位數(shù)學(xué)用表計(jì)算4=1()7(1_COS20)。

解:0cos2°=0.9994,A=107(1-0.9994)=6x103,只有一位有效數(shù)字。

若用公式計(jì)算1-cosx=2sin2—=>1-cos20=2xsin210=>A=6.13x103,有三位有效

2

數(shù)字。

例9：求解方程X2-118X+1=0。

解：利用求根公式，=59+73480?117.992,x2=59-73480=0.008,前者有六位

有效數(shù)字，后者只有一位有效數(shù)字。如果我們利用根與系數(shù)的關(guān)系，0.008475則有

四位有效數(shù)字。

對于下列各式，怎樣才能防止有效數(shù)字的消失呢？①|(zhì)耶艮小時(shí)，e'-e3②x接近于

生時(shí),sinx-cosx。③X]與出接近時(shí)，IgX]-lg%2。

4

2.要防止人數(shù)吃掉小數(shù)

計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算時(shí)，首先要進(jìn)行對階和規(guī)格化。所謂對階即對齊指數(shù)，它以大數(shù)

為基準(zhǔn)，小數(shù)向大數(shù)看齊。具體地說，就是把指數(shù)小的數(shù)的尾數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向右移，每移動(dòng)一

位，指數(shù)加1,直到與大數(shù)的指數(shù)相同為止。所謂規(guī)格化即是把超過規(guī)定位數(shù)的部分截去。

如:求7.315x1()3與04506x1()7的和時(shí)，對階后成為77315x10,+0.00004506x1(/,規(guī)

格化為0.7315x10』，結(jié)果是大數(shù)吃掉了小數(shù)。防止大數(shù)吃掉小數(shù)時(shí)特別要注意防止重要的物

理量被吃抻。如用8位浮點(diǎn)計(jì)算機(jī)求方程/一(108+1口+1()8=0的根時(shí)，理論上，該方程的

兩個(gè)根為101，但用計(jì)算機(jī)求解時(shí)，。=108力=-(10*+1)規(guī)格化后8=-1()14，此時(shí)用求根公式求

出兩根為和d

lO(XXX)

例10:在5位計(jì)算機(jī)匕計(jì)算4=54392+工4，其中0.W0.9,z=l,2,...,100000。

1=1

解：如果我們按從左到右的順序逐?相加，會(huì)出現(xiàn)大數(shù)吃掉小數(shù)，而使結(jié)果嚴(yán)重失真。

可先把同一數(shù)量級的數(shù)d的和求出后結(jié)果與54392相加，以避免大數(shù)吃掉小數(shù)。

3.絕對值相對太小的數(shù)不宜作除數(shù)

如果用絕對值相對小的數(shù)作除數(shù)，結(jié)果會(huì)使商很大，導(dǎo)致結(jié)果失真或出現(xiàn)“溢出”。

4.要盡量筒化運(yùn)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

由于每一步運(yùn)算都可能產(chǎn)生誤差，而且這些誤差還有可能向下面?zhèn)鬟f，導(dǎo)致誤差的積累，

因此，在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，要簡化計(jì)算的步驟和減少計(jì)算次數(shù)。如計(jì)算丫39,逐一相乘需138

次乘法，但若改寫成個(gè)/./././6./2?64./,/只需要14次乘法。又如計(jì)算多項(xiàng)式

n

p(x)=anx++...+%x+Qo在x=x0處的值，如果直接計(jì)算需〃5+1)/2次乘法和n

8

次加法；如果采用遞歸算法：tk=x()tk_x,uk=uk_l+aktk,k=1,2,…=劭,%=1則需要

2n次乘法和〃次加法；如果采用秦九韶算法：S?=??,SA.=x0SA.+1+ak,k=n-l,n-2,...jfi<

p(x0)=So，只需要n次乘法和〃次加法即可。

5.要選取數(shù)值穩(wěn)定的算法

由于定量地分析舍入誤差的積累在一般情況下難于實(shí)現(xiàn)，為了判斷舍入誤差是否會(huì)影響

結(jié)果的可靠性，數(shù)值穩(wěn)定的概念也自然產(chǎn)生了。如果在執(zhí)行算法的過程中，舍入誤差的增長

不會(huì)影響結(jié)果的可靠性，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的(也稱為良態(tài)的)，否則稱為是數(shù)值不穩(wěn)定

的(也稱為是病態(tài)的)。

例11：求定積分7?=e-1fxnexdx，n=0,1,2,...

x1

解：。/0=e-'<fedx=l-e-,/?=e-'卜"de'=1-〃/,一,”=1,2,...,這一算法是

數(shù)值不穩(wěn)定的。事實(shí)上，設(shè)=/；一%/1=1-/。=1一/；+￡=/：+&/2=/；-2%同理

/“=/,*+n\en|/?-/*|=n\s-?oo(nfco)。

例12：計(jì)算定積分/?=f—=0,1，…,20。

J>x+5

+5x5

解：?/0=f—!-dx=In-?0.182322./=f"'"^"'dx=l-5/n,>而且/“具

有如下性質(zhì)：①/“〉②/“遞潴③lim/?=0,(4)—<—,(n>l)o下面我們來分析

"fg6n5n

該算法的數(shù)值穩(wěn)定性。設(shè)/()=/；+￡/=1-5/°=1-5/；-5e=/；-5e洞理/2=/；+25￡。

一般的/“」-5/,1=/；+(-1)"5"€=|/"一/：|=5"￡->85-00)。如果將算法改成:

----+-----)/2=0.00873016

206x215x21,則為數(shù)值穩(wěn)定的算法。

"L》+h=20J9,.」

小結(jié)

本章主要介紹了數(shù)值計(jì)算方法的基本概念、分析數(shù)值運(yùn)算中的誤差。

本章的基本要求：

(1)了解數(shù)值計(jì)算方法的基本概念、特點(diǎn)和該門學(xué)科的地位和作用。

(2)了解誤差的來源。

(3)結(jié)合實(shí)例理解并掌握絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字、可靠數(shù)字及其相互間的

關(guān)系。

(4)熟悉誤差分析的方法和減少運(yùn)算誤差應(yīng)遵循的基木原則。

9

習(xí)題

1.填空

(1)精確值工二36.85用四舍五入保留三位有效數(shù)字的近似數(shù)為o

(2)數(shù)值運(yùn)算中必須遵循如下原則：、、

和、、

(3)設(shè)精確值x=256.356的近似值為256.36,此近似值有___位有效數(shù)字，其相對誤差限為。

2.要使JTT的近似值的相對誤差限不超過0』％,應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

3.求方程x2-16x+l=0的較小正根，要求至少有三位有效數(shù)字。

4.設(shè)有三個(gè)近似數(shù)a*=2.31,6*=1.93,c*=2.24,計(jì)算A*=a*+b*c*,￡(A*),￡,(A*)。

5.設(shè)x>0,x的相對誤差為b,求lax的誤差。

6.計(jì)算球的體積，要使相對誤差限為1%,向測量半徑R時(shí)允許的相對誤差限是多少？

7.設(shè)為=28,按遞歸公式Y(jié)?=-+療熱("=1,2,..)計(jì)算X0c。若取V783=27.982，問計(jì)算Yi00將

有多大的誤差？

8.序列｛%｝滿足關(guān)系式y(tǒng)“=10y“_]-1(“=1,2,...),若%=&'X1.41,計(jì)算到Vo,誤差有多大？這個(gè)

算法穩(wěn)定嗎？

9.計(jì)算/=(后-1)6,取收=1.4,利用下列算式進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果哪一個(gè)最好？

,（3-2亞）3,——,99-70V2。

（五+1/（3+2V2）3

10.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x-Jx2_i),求f(30)的值，若開平方用六位函數(shù)表，求對數(shù)時(shí)誤差有多大？

如果改用等價(jià)公式ln(x-Jx2-1)=-ln(x+J/-1)計(jì)算,誤差有多大？

10

非線性方程求根的數(shù)值方法

本章介紹非線性方程根的搜索法、二分法、迭代法、牛頓法、簡化牛頓法、劈因子法。

2.1根的搜索

在工程和科學(xué)研究中，常常遇到求非線性方程/(幻=0的根的問題，我們把〃x)=0的

根也稱為是函數(shù)/(X)的零點(diǎn)。如果/(X)可分解為/(x)=(x-a)"'g(x),g(a)wO,則稱a為方

程/(x)=0的m重根，當(dāng)m=l時(shí)，稱夕為單根。對于數(shù)a,有判別法則：/(a)=0,/'(a)0,

則。是單根；如果/(a)=f(a)=A=/")g)=OJ”D(a)wO,則a是"1重根。

設(shè)/(X)在區(qū)間上連續(xù)，〃。)/3)<0,則.f(x)=O在口力］內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)稱

卜力］為方程〃x)=0的有根區(qū)間。不妨設(shè)/(a)<0,從x0=a出發(fā)，按預(yù)定的步長〃=生衛(wèi)，一

N

步步向右跨，每跨一步進(jìn)行一次根的搜索，即檢查點(diǎn)X*=/+力處函數(shù)值/(4)的符號，一

旦發(fā)現(xiàn)了(々)與/(a)異號，則找到了有根區(qū)間，這種方法稱為根的逐次搜索法。

例1:對于方程/(外三--》-1=0,利用根的逐次搜索法確定一個(gè)有根區(qū)間。

解：x00.5I1.52

/(%)--一++即1,1.5］是該方程的,個(gè)有根區(qū)間。

另外，根的搜索還有如下的方法：①圖解法。②近似方程法。③理論分析法。

2.2二分法

設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,4上連續(xù)，且/(a)/3)<0J(x)在(a,b)內(nèi)不變號，則/(x)=0在［a,

內(nèi)有惟一的實(shí)根X*,求x*的數(shù)值解的二分法如下：

①將［a,“二等分，取分點(diǎn)與=管，計(jì)算/(公)。②如果〃/)=0,則/=%;如果

/(a)f(Xo)>O,取為=x(),仇="則f(x)=0在［4,々］內(nèi)必有實(shí)根：如果/(?)/(x0)<0,取

11

%=a,仇=/,則/（x）=0在［%,?！粌?nèi)必有實(shí)根。對隧也］重復(fù)上述過程，這就是方程求根

的二分法。從而得到二分算法如下：

1取砌，比斷。0）/面）＜0，"0

2計(jì)算x*="磬,/（々）

3if巧or—aA.|w￡?then4

iff）f）＞0,then。左+1^~-%、k+l-》k&由2

if/（〃）/（為）＜0,then程+］＜-。人仇+】-&,轉(zhuǎn)2

4輸出占。（方程的近似根）

注：由上面的算法知道為—外=（b—a）=卜—々JW］帆-41=2?+i$—a）。

于是對任何預(yù)先給定的精度￡＞0,只要二分次數(shù)k力Eg-a）7n2e仁」），則有

In2

卜*-x/w￡。

例2：用二分法求方程〃x）三/-5x+4.272的一個(gè)根。

解：取劭=1,%=1.3,財(cái)(曲)/(%)<0,列表求解如下

k在于回）bk八九）Xk“4)

010.2721.3-0.0311.150.042875

11.150.0428751.3-0.0311.225-0.0147344

21.150.0428751.225-0.01473441.18750.0090605

/（x）=0在［1.1875,1.225］中有根x*,x4=（1.1875+1.225）/2=1.20625為其近似

根，則有誤差卜*-x/w:（1.225一1.875）=0.01875,要使誤差不超過10叫貝懦心

ln（l.3—1）-In2x10_._..

—----------------=13.87267489=k至少要取1frl14。

In2

二分法的優(yōu)點(diǎn)：二分4次所得的X&精度清楚：多個(gè)根可并行計(jì)算。

二分法的缺陷：預(yù)先確定a力的值并非易事；不能求重根；收斂的速度十分緩慢。

2.3反插值法

為了求出方程/（x）=0的根，先找出由，仇使〃6）/（仇）＜0。如果函數(shù)y=/（x）有反

函數(shù)x=e（y）,記月=”《）,乃=/（仇），則夕（必）=%,*（%）=&，對x=9（y）由插

12

值公式得到：e（y）=e（M）+￡耍魚”-弘）+。[）22,3（〉-%）（丁-為），令y=°得：

為一力

『=%+之二"[（0-/（%）]+°（月,為⑼/⑷）/（々），丟掉右邊的第三項(xiàng)，得到新的近似值

力-力

計(jì)算/（再），如果/（再）=0,根已求出;

如果“占）”。[）>0取。2=xt,b2=々J（x）=o在（念力2）內(nèi)有一個(gè)根；如果/（x1）/（a1）<0

取出=。1也=X1，/（X）=0在（。2/2）內(nèi)有一個(gè)根。繼續(xù)上述計(jì)算，這就是反插值法。

注意：二分法與反插值法的收斂速度都是十分緩慢的，可以把這兩種方法交叉使用，以

便加速收斂。

2.4迭代法

對于方程/（x）=0,將其等價(jià)變形為x=°（x）,取定初值x0,由公式4M=0（4）

伏=0,1,…）（2.2）。求得序列｛xj的方法稱為簡單迭代法，又叫迭代法。如果對給定的初值

xhmx=x,則稱迭代格式2.2式收斂，否則稱它是發(fā)散的?！悖▁）稱為迭代函數(shù)。

0）*->8k

2.4.1迭代過程的收斂性

定理1（壓縮映象原理，迭代收斂的基本定理）

設(shè)*（x）在有根區(qū)間卜力]上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)a（x）e[a,“，如果夕（x）在[a,口滿足

李普希茲條件：Vx,ye[a,/?],有帆（x）-s（y）|W小-乂,0WL<1,則對任意Xoe[a,“，由2.2

式產(chǎn)生的序列｛xj都收斂到方程/（x）=0在區(qū)間[a,H上的惟一根寸，且有誤差估計(jì)式：

jk

忖-x]WL“10-%]（2.3）或卜女一/信,""—|xi"xo|（2.4）

證明：（1）證明I%一切L乃|再―/|。?｛%Ju[a,“，4+i=夕（勺）,4=9（%1）,

?,?|/+「”=限％）-。（工1）|近也-磯區(qū)L2kT-X—I這”W?再一飛|。

（2）證明卜J是基本數(shù)列。?0〈Lvl,.,.ef0（k-8）nV￡>0JKwN,

￡Ox=xx+xx++xx

當(dāng)Z〉K時(shí)，￡<-^——\而N+P~k\\k^-P~k+P-\k+P-\~k^P-2???k+\~k|

\xi-xo|

W鼠。一冬”|卜除”1一&P-2|+???+W+I-“W+…+。）歸一為）|

ODrk

w。'卜一蟲——1^-^0|<￡-0

i=kL-L

13

(3)證明｛xj收斂到方程/(x)=0在區(qū)間b,司上的惟一根x*。由于｛xj是基本數(shù)列,

所以limx*存在，又4T=諷勾),0(x)連續(xù)，nlims+i=lim°(x?)=0(limx?),即｛x?｝

2s2ookTB

收斂到方程/(x)=0在區(qū)間[a,b]上的根x*。假設(shè)方程/(x)=0在[a,“上還有另一根x,

且二者不等。k*一x]=[e(x*)-s(x')|W小'-x[<-x],矛盾。故｛xJ收斂到方程/(x)=0

也就是x=(p(x)在區(qū)間[a,b]上的惟一根x*。

(4)證明2.3式成立。瓦=夕(x")|w4乙-1-x[w…W乃K-x[。

(5)證明2.4式成立。由于k*一xjW,*一內(nèi)1+歸一xjjx*-xjW小(>一x]

4

-xjWZ-|x*-X0|^Z,|J-xj+L|x,-x0|=>|x*-x0|_x]w

1—L)

推論若/(x)在[a,“上連續(xù)、可導(dǎo)，且對Vxe[a,b],有m(x)|WL<1,又當(dāng)xe[a,b]

時(shí)°(x)e[a,b],則定理1的結(jié)論成立。

證明：結(jié)合定理1.只需證明°(x)在[a