數(shù)學(xué)分析知識點(diǎn)總結(jié)

《數(shù)學(xué)分析》

筆記

目錄

第二模塊筆記...............................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第一部分實(shí)數(shù)集與函數(shù).......................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第二部分?jǐn)?shù)列極限...........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第三部分函數(shù)極限...........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第四部分函數(shù)連續(xù)性.........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第五部分導(dǎo)數(shù)與微分........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第六部分微分中值定理及其應(yīng)用...............錯(cuò)誤!未定義書簽。

第八部分不定積分...........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第九部分定積分............................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十部分定積分的應(yīng)用.......................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十一部分反常積分.........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十二部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù).........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十三部分函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)...............錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十四部分塞級數(shù)...........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十五部分傅里葉級數(shù).......................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十六部分多元函數(shù)的極限與連續(xù).............錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十七部分多元函數(shù)微分學(xué)...................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十八部分隱函數(shù)定理及其應(yīng)用...............錯(cuò)誤!未定義書簽。

第十九部分含參量積分.......................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第二十部分曲線積分.........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第二十一部分重積分.........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第二十二部分曲面積分.......................錯(cuò)誤!未定義書簽。

第二模塊筆記

第一部分實(shí)數(shù)集與函數(shù)

§1實(shí)數(shù)

數(shù)

一.實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：

回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.

能用互質(zhì)分?jǐn)?shù)為整數(shù)，gwO)表示的數(shù)；

'Q

有理數(shù)」有限十進(jìn)小數(shù)或稗十進(jìn)循環(huán)小數(shù)表示的數(shù)

若規(guī)定：…4=曲。色…&-1)99…9…則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。

例如：2.001記為2000999…；。記為0000…；-8記為-7999…

實(shí)數(shù)大小的比較

定義1給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)

x=%.a1/,??a????.y=%與%…Z???

其中外也為非負(fù)整數(shù)，°二外出09。若由

?=°/,…則稱與尸相等，記為

1)xx=1y

2）若存在非負(fù)整數(shù)/，使得外=%,3=0.1.2.”,而>如，則稱x大于V（或y小于x）,分別記為x>>（或）'<x）。

規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù)；對于負(fù)實(shí)數(shù)若按定義1有一x〉一尸，則稱y>x

實(shí)數(shù)的有理數(shù)近似表示

定義2設(shè)X=%…％…為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)

X*…為實(shí)數(shù)X的原位不足近似值，而有理數(shù)

又.=J+---

10,稱為1的松位過剩近似值。

對于負(fù)實(shí)數(shù)工=一旬。色

1

x.一而

x的外位不足近似值規(guī)定為：

x的原位過剩近似值規(guī)定為：天*=~0%盯…明

比如上=1.4142…，則

&的不足近似值；

1.4,1.41,1.414,1.4142,…稱為

色的過剩近似值。

1.5,1.42,1.415,1.4143,…稱為

y-44&…為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

命題設(shè)x=/%???.

x>y=存在非負(fù)整數(shù)神.使得x*

實(shí)數(shù)的一些主要性質(zhì)

1四則運(yùn)算封閉性：

2三歧性（即有序性）:

3實(shí)數(shù)大小由傳遞性，即a>i>'b>c則有a>c.

4Achimedestt:CRb>4>0,3?€N,3旭

5稠密性：有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性.

6實(shí)數(shù)集的幾何表示——數(shù)軸：

a=b,OVf>0,|a-b|<e.

例VF>0,a<b+fna<.b

絕對值與不等式

a.a20

絕對值定義：

從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點(diǎn)的距離：

-?0H

絕對值的一些主要性質(zhì)

1.|a|=|-a|20當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)|a|=0

2.Ta|Ma《ia

3.\a\<h^-h<a<h,|a|S力o-力4aM力，/t>0

4|a|-|d|$|a±d|^|a|+|b|

5.|出>|=|a||b|

6.3回MO

\b

性質(zhì)4（三角不等式）的證明：

由性質(zhì)2Ta|4a4|a|,-|b|^b^|b|

兩式相加~（|a|+|b|）<a^b<|a|+|b|

由性質(zhì)3上式等價(jià)于|a+b|4|a|+|b|

把上式的b換成-b得|a-b|4|a|+|b|

三.幾個(gè)重要不等式：

⑴a1+62>2,2>|,16mx|<1.|sinx|^|x[

⑵對"外町，R?記

n加Z（算術(shù)平均值）

有均值不等式：月3）&54）&"q）,

等號當(dāng)且僅當(dāng)勺=的=…=%時(shí)成立.

（3）Bernoulli不等式：（在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過）

對Vx>0,由二項(xiàng)展開式

（1+X）=1+W+———-X^+———-------JT+--+X^?

213!

有:a+幻*>上式右端任何-項(xiàng).

§2數(shù)集°確界

-區(qū)間與鄰域：

鄰域

設(shè)a與5是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且5>0.稱點(diǎn)集%⑷=｛葉卜-水外

為點(diǎn)a的6鄰域，記作q（a）

s

0-6aa+$X

稱點(diǎn)集a(a)={x|a"<x<aX7{x[a<x<a+在為點(diǎn)a的去心3鄰域,

記作U?⑷

i.有界數(shù)集：定義(上、下有界，有界)

閉區(qū)間、(*6)為有限數(shù))、鄰域等都是有界數(shù)集，集合

5==xe(-a),+8)}也是有界數(shù)集

無界數(shù)集：對任意M>Q,存在丁eS,|了|>,則稱s為無界集。

(-OO,+OT),(-00,0),(0,+°°)等都是無界數(shù)集，

￡=,丁口，xe(0」))

例證明集合x是無界數(shù)集.

“cX=€(0.1),j=-e￡,y=M+\>M

證明：對任意M>0,存在AM+1x

由無界集定義，E為無界集。

確界

先給出確界的直觀定義：若數(shù)集S有上界，則顯然它有無窮多個(gè)上界，其中最小的一個(gè)上界我們稱

它為數(shù)集S的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。

精確定義

定義2設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)葉滿足一下兩條：

（1）對一切有*打，即7是數(shù)集s的上界；

（2）對任何d＜J7存在%e?使得而＞a（即7是S的最小上界）

則稱數(shù)1為數(shù)集S的上確界。記作牙二S呼$

定義3設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)4滿足一下兩條：

（3）對一切XWS有即4是數(shù)集s的下界；

（4）對任何。＞4存在X。使得X。＜￡（即片是S的最大下界）

則稱數(shù)4為數(shù)集s的下確界。記作4二城￡

§3函數(shù)概念

-函數(shù)的定義

i.函數(shù)的幾點(diǎn)說明.

函數(shù)的兩要素：定義域和對應(yīng)法則

約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.

分段函數(shù)

1.X為有理數(shù)

0,x為無理數(shù)

狄里克雷函數(shù)

1x=E既約真分?jǐn)?shù)

R⑺=<qq

0,下和內(nèi)的無理數(shù)

黎夏函數(shù)=0,13D

三函數(shù)的四則運(yùn)算（見課本）

四.函數(shù)的復(fù)合：

六初等函數(shù)：

基本初等函數(shù)：

2暴函數(shù)y=x<x幕函數(shù)x5

1常函數(shù),x-

§4具有某些特性的函數(shù)

1.有界函數(shù)若函數(shù)/（X）在定義域D上既有上界又有下界，則稱,為0上的有界函數(shù)。這個(gè)定義顯然等價(jià)于，對一切xeZ）,恒有l(wèi)/（x）|MK

請同學(xué)們利用有界函數(shù)的定義給出無界函數(shù)的定義。

例/（x）=xsmx,x€（0,+ra）是無界函數(shù)。

n力7T+->Mx.=力k+―/（x同）=&W—

證明對任意的”>0,存在2，取2,貝ij2

2.單調(diào)函數(shù)

3.奇函數(shù)與偶函數(shù)

（I）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

周期函數(shù)

1）通常我們所說的周期總是指函數(shù)的最小周期

2）有的周期函數(shù)不一定有最小周期，例如常函數(shù)是周期函數(shù)，狄里克雷函數(shù)，它們顯然沒有最小周期第二部分?jǐn)?shù)歹!）極限

§1數(shù)列極限概念

對于數(shù)列Ia。）,設(shè)A是一個(gè)常數(shù)，若任給￡>0,都存在相應(yīng)的自

然數(shù)M耳>”時(shí)，值一圖<￡,則稱A為數(shù)列｛%'的極限。

下面我們通過圖示，對數(shù)列定義作幾點(diǎn)說明：

（1）￡的任意性

（2）曾的相應(yīng)性

liman-a

三、用極限定義證明”T8的例題

2.數(shù)列極限的等價(jià)定義：

D]:VF>0.3N,Vn>N.=0?a|4ke,?>0)

D；對VO<f<c,-

冊

n.m.3W.V">M=|-a|<—

巧對任正整數(shù)m

§2收斂數(shù)列的性質(zhì)

極限唯一性：（證）

2.收斂數(shù)列有界性一一收斂的必要條件：（證）

3.收斂數(shù)列保號性：

定理2.4設(shè)蚓“*=八°（或<°）.則對，0“?（或?！?lt;0）,犯3=a*>“％”）.

Iana.=a.tanh_=b.

例1設(shè)充r。?->?>

證明：若a.則也（證）

3">M=o,>ba.

kma、理若M打>耐有％*，=<_

定理2.5設(shè)一。3ab

（注意“=”；并注意二方和8:0的情況）.

推論若吧怎=aw0.則對VO<r<|a|,3AT.V?>M=>|a.|>r

4.定理（迫斂性）（證）

5.絕對值收斂性：

hma.=」，=hm1c||a|

—1li11r（注意反之不確）.

tan%=0,=hm|a|=0.

Jk—9'（證）

推論設(shè)數(shù)列｛和｛勾｝收斂，則

bmmax（。.也）=max｛lima.,lnnbj,

19J.19

Innmin｛%,b.｝=mm（Innaw,lunb.）.

6.四則運(yùn)算性質(zhì)：

7.子列收斂性：子列概念.

定理（數(shù)列收斂充要條件）｛1*｝收斂Q｛0。｝的任何子列收斂于同一極限.

定理（數(shù)列收斂充要條件）｛"?｝收斂=子歹或T｝和產(chǎn)費(fèi)｝收斂于同一極限.

定理（數(shù)列收斂充要條件）｛“?｝收斂O子歹IJ｛3以-1｝、｛.被｝和｛°式）都收斂.（簡證）

一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限：

bm-=0,fan<?*=0.（|（7I<1）.

兩個(gè)基本極限：I

1.利用四則運(yùn)算性質(zhì)求極限：

數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的，有界很容易用歸納法證明，而且%，=4十%利用單調(diào)有界定理，設(shè)

其極限為A,則有

A=42+A,A=2

定理2.10數(shù)列產(chǎn).收斂，QV"0.犯V用力>MnE-/|<6

（或數(shù)歹打.」收斂，

=Vr>0,3N,Y“>MVpeN,n|a,.,-a,|<F,）

第三部分函數(shù)極限

§1函數(shù)極限概念

-X趨于8時(shí)函數(shù)的極限

/（x）=!

設(shè)函數(shù)/定義在bxs）上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量X趨于+8時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于某個(gè)定數(shù)月。例如，對于函數(shù)X

從圖象上可見，當(dāng)X無限增大時(shí)，函數(shù)值無限地接近于o；

7T

而對于函數(shù)g（'）="ctanx,則當(dāng)X趨于+8時(shí)函數(shù)值無限地接近于2。我們稱這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)X—今十0°時(shí)有極限。

一般地，當(dāng)X趨于+co時(shí)函數(shù)極限的精確定義如下:

存在正數(shù)白),使得當(dāng)>〃時(shí)，有"卜則稱函數(shù)/當(dāng)

定義1設(shè)」定義在舊相3)上的函數(shù)，幺為定數(shù)。若對任給的2>°nex

lim/(x)=A

X趨于+8時(shí)以工為極限，記作或/(X)->J4(X->+OO)

說明：(I)、在定義1中正數(shù)M的作用與數(shù)列極限定義中?’的相類似，表明了充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)無，而不僅僅是正整數(shù)".因

此，當(dāng)X趨于+8時(shí)函數(shù)以為極限意味著：的任意小鄰域內(nèi)必含有了在+8的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。

(2)、定義I的幾何意義如下圖所示，

ry=^4+f

對任給的士>U,在坐標(biāo)平面上平行于X軸的兩條直線/

/y=A-E,圍成以直線y/-A為中心線、寬為O乙p七,的帶形區(qū)域；定

=

義中的“當(dāng)x>”時(shí)有1/(')一H<S"表示：在直線xM的右方，曲線A=-'(X)全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù)2給的小-點(diǎn)，即當(dāng)帶形區(qū)域

更窄一點(diǎn),那么直線x=M一般要往右平移：但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)M,使得曲線丁=在直線x=M的右邊部分全部落在這更窄

的帶形區(qū)域內(nèi)。

定義?的否定敘述：定義「設(shè)」定義在

上的函數(shù),乂為定數(shù)。若存在某個(gè)工>°,對任意充分大的正數(shù)M，總存在某個(gè)工。>M，使

得：|/(%o)—H2久，則稱函數(shù)/當(dāng)天趨于+8時(shí)不以4為極限.

⑶、現(xiàn)設(shè)/為定義在"一8)或"(°°)上的函數(shù)，當(dāng)X7-8或X—>8時(shí)，若函數(shù)值/(1)能無限地接近某定數(shù)人則稱/當(dāng)X—>-00或

XT8時(shí)以4為極限,分別記作：也或/(x)->4(x7-oo)；蚣/(X)=X或/(X)-4T4(X-?OO)

\x>M

這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義?相仿，只須把定義1中的“x>M，，分別改為“x<一M”或“1”即可。

limf(x)wA或limf(x)wA的否定敘述的定義又如可寫?

問題:x—>-OOX—>00

（4）、顯然，若」為定義在「（8）上的函數(shù)，則

lim/(x)==A

?XT+OO(1)(返回)

二x趨于X。時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)/為定義在X。某個(gè)空心鄰域。°（%）內(nèi)的函數(shù)?，F(xiàn)在討論當(dāng)X趨于Xo（xW/）時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨

于某個(gè)定數(shù)工。這類函數(shù)極限的精確定義如下：

定義2（函數(shù)極限的￡-5定義）設(shè)函數(shù),在X。某個(gè)空心鄰域0"（&＞?]'）內(nèi)有定義，/為定數(shù)。若對任給

的"0,存在正數(shù)3（＜＜5'），使得當(dāng)°＜卜-/卜%有則稱函數(shù)/當(dāng)x趨于X。時(shí)以力為

極限，記作如一"或

下面我們舉例說明如何應(yīng)用￡-5定義來驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限。請讀者特別注意以下各例中＜5的值是

怎樣確定的。

通過以上各個(gè)例子，讀者對函數(shù)極限的￡一3定義應(yīng)能體會(huì)到下面幾點(diǎn):

1.定義2中的正數(shù)萬，相當(dāng)于數(shù)列極限￡一從定義中的M,它依賴于%

但也不是由所唯一確定，一般來說，￡愈小，5也相應(yīng)地要小一些，而且把5取得更小些也無妨。如在例3

（5=-3=-

中可取2或3等等。

2.定義中只要求函數(shù)」在X。某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮了在點(diǎn)X。處的函數(shù)值是否有定義,

或者取什么值。這是因?yàn)?，對于函?shù)極限我們所研究的是當(dāng)X趨于X。過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在

定理3.9設(shè)函數(shù)/在點(diǎn)X。的某空心右鄰域?（天））有定義?；蟫，'X'的充要條件是：對任何以

。為極限的遞減數(shù)列｛xJuU,G）,有螞加4

這個(gè)定理的證明可仿照定理3.8進(jìn)行，但在運(yùn)用反證法證明充分性時(shí)，對5的取法要作適當(dāng)?shù)男薷?

以保證所找到的數(shù)列｛3*）能遞減地趨于X。。證明的細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí)。

相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理。現(xiàn)以這種類型為例敘述如下:

定理3.10設(shè)/'是定義在“'°.（與）上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限"存在。

證不妨設(shè)/在“'（0）上遞增。因/在上有界，由確界原理，??）'x存在，記為/

下證理人1M

事實(shí)上，任給&>0,按下確界定義，存―”?（%）,使得『僅）<"乙取6=八%>0,

則由

」的遞增性，對一切X€￡.，）=￡70+（/.<5）,有

另-方面，由更有從而對一切xwU?//）有

4?￡</卜）<"￡

/（r）=A

這就證得。

最后，我們敘述并證明關(guān)于函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。

定理3.11（柯西準(zhǔn)則）設(shè)/在內(nèi)有定義。埋,"'存在的充要條件是：任給￡>0,存在

正數(shù)'（<&）,使得對任何X，,一?爐卜;6）,有

|/（/）-/（/）I"

證必要性設(shè)雪'，則對任給的e>0,存在正數(shù)S（v5'），使得對任何1?〃°（勺石）有

兇*49于是對任何v/WkM，-卜*IW7W口卜4V代

充分性設(shè)數(shù)列｛xJu"°（"⑻且蚓3"一，按假設(shè)，對任給的￡>0,存在正數(shù).（V3'）,使得

對任何K/?〃°（/；3）有|/（*）-/（*）|<￡由于x*lx。（H->oo）,對上述的5>0,存在N>0,

使得當(dāng)凡用》"時(shí)有X.,U°（x（）；“從而有|/（/）-/匕）卜￡

于是，按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列（父無*）｝的極限存在,記為力，即如

設(shè)另一數(shù)列LJu。*%0）且四為一?，則如上所證，四用"）存在，記為B.現(xiàn)證3=工.

為此，考慮數(shù)列易見｛zJuUO&d）且電!Z"一"°

故仍如上所證，也收斂.

于是，作為g的兩個(gè)子列,g與｛兒》必有相同的極限。所以由歸結(jié)原則推得

lim/(x)=A

按照函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，我們能寫出極限不存在的充要條件：存在%對任何6>°

（無論6多么小），總可找到Ve叭修⑷,使得

ff1

X

.son>-*,=—n

月"+k

如在例i中我們可取5一?,對任何0>u設(shè)正整數(shù)6,令”兀2,則有x,

^4-41=1-0

xS(O.4而XX|

limsin-

于是，按柯西準(zhǔn)則極限4-0x不存在.

I3(x+lXx-2)_x-2

解當(dāng)x+140時(shí)有x+1x'+1x'+lx*-x+1。

處［士-六)-1

故所求極限等于

第四部分函數(shù)連續(xù)性

§1連續(xù)性的概念

-函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義

設(shè)函數(shù)J“3幻,在。的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，力A是一個(gè)確定的數(shù)，若V對e>0V,'36>0當(dāng)0〈I|x-七|<3時(shí)，都有

I/(x)—'I<&,則稱y(x)在'T'o時(shí)，以A為極限。

這里“X。)可以有三種情況:

E.X-X

DJM無定義,比如上部分講過的特殊極限o

X,X*x0

2)“X”4比如小Llim/(x)=勺H/(xo)

x+1,x=x0NTM

2)的情形

3）/（兩）二金

對1）、2）兩種情況，曲線在U處都出現(xiàn)了間斷；第3）

1）的情形

。

3）的情形種情況與前兩種情況不同，曲線在X處連綿不斷

lim/（x）=A=/（x）門號

,我們稱這種情況即：°0時(shí)，J''

在處連續(xù)。為此給出函數(shù)/㈤在點(diǎn)與連續(xù)的定義

定義I設(shè)函數(shù)“X）在X。的某鄰域內(nèi)有定義，若:

晶/(x)=/(x)

0⑵

。

則稱函數(shù)在X點(diǎn)連續(xù)。

2、函數(shù)在一點(diǎn)的左、右連續(xù)的定義

相應(yīng)于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下:

定義2設(shè)函數(shù)"X）在曲的某左—―

勒/(x)=/(x0)lim/(x)=/(x0)

MTq一（)

則稱“1）在兩點(diǎn)左（右）連續(xù)。

由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難得出：

3、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)與函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)的關(guān)系:

定理4,函數(shù)/⑶在通點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為:/（X）在麗點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。（事實(shí)上

lim/(x)=/(x0)

X-^Xo

<

/(X)在點(diǎn)X。連續(xù)olim/(x)=f(x0)<=>

lim/(x)=/(x0)

一一>為

o/（X）在點(diǎn)/既左連續(xù)又連續(xù)。

)

定理4.1的等價(jià)的否定敘述:

_J(x)在

X。點(diǎn)或不左連續(xù)或不右連續(xù)。

罐/G）在彳o

前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)的有關(guān)定義，下面我們來學(xué)習(xí)

二函數(shù)的間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）及其分類

1、函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的定義

定義…Q在口（X。）內(nèi)有定義,若在點(diǎn)無定義，或在點(diǎn)有定義但不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)/的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。

由連續(xù)的定義知,函數(shù)“X）在通

點(diǎn)不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形:

lim/（x）=<fxlim/。）="/（為）

1）XTW，而J在點(diǎn)°無定義，或有定義但*T"

。=|lim/（%）-lim/（x）|

2）左、右極限都存在，但不相等，稱：XT".”TX0-為跳躍度或躍度。

3）左、右極限至少一個(gè)不存在

函數(shù)了⑴

據(jù)此,的間斷點(diǎn)可作如下分類:

2、間斷點(diǎn)及其分類

lim/（X）=T4/xhm/（x）=4=/（而）

1）、可去間斷點(diǎn)對于情況1）,即若："（存在），而“在點(diǎn)"無定義，或有定義但2%

則稱：為可去間斷點(diǎn)（或可去不連續(xù)點(diǎn)）;

三區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

“X)

定義若函數(shù)在區(qū)間I上每?點(diǎn)都連續(xù)，則稱為I上的連續(xù)函數(shù)，對于區(qū)間端點(diǎn)上的連續(xù)性

則按左、右連續(xù)來確定。

定義如果/⑶在區(qū)間［a㈤?艮個(gè)第-類碎續(xù)點(diǎn),則稱函數(shù)”X）在區(qū)間［。㈤上按段連縹

y=[x],y=sgnx

例如是按段連續(xù)函數(shù)。

小結(jié)：i）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)等價(jià)定義：

2）函數(shù)的左右連續(xù)性；

3）不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點(diǎn)；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點(diǎn);

4）區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義。

§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4一致連續(xù)性

重點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的保號性：一致連續(xù)性.

一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)

11m

X/。）=/（曲）可推斷出函數(shù)/⑴在麗點(diǎn)的榮鄰域/x。）內(nèi)的性態(tài)。

根據(jù)函數(shù)的在U點(diǎn)連續(xù)性，即

定……"X）/。點(diǎn)連續(xù)/⑺『0點(diǎn)…

定“局部保號性）若函數(shù)”X）在殉點(diǎn)連續(xù)，且〃而）>a>0,則對任意0<&<a

存在與某鄰』（兩）,xWC＞勿＞0

/（x）,g（x）xeZ

定理4.4（四則運(yùn)算性質(zhì)）若函數(shù)則在區(qū)間I上有定義，且都在U0連續(xù)，則

士g(x),〃x)g(x),〃x)/g(x)g為-0而

()在點(diǎn)連續(xù)。

例因連人和y=］續(xù),可推出多項(xiàng)式函數(shù)尸⑶=…+即-1+即

五⑶嚼(P.Q

和有理函數(shù)為多項(xiàng)式）在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。

sink和cosX在R…,itanxcotx.

同樣，由上的連續(xù)性，可推出與在定義域的每一點(diǎn)連續(xù)。

/Wxog@）%

定理4.5（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，'在"點(diǎn)連續(xù)，U*,則復(fù)合函數(shù)

g（/㈤）通

在點(diǎn)連續(xù)。

S劭￡,>oa>0m一%|<a

證明由于在連續(xù)，對任給的，存在1，使

|g（以）-g&0）|<E

孫=/（而）u=/W<51>0<5>o

又由及在連續(xù)，故對上述人，存在，使得

X-Xo|<3W一%|=|/（步一/。0）|<今￡>>0

時(shí)，有.聯(lián)系（1）得：對任給的

5>o卜-〈<51（/0））一式』（%）」<2

在，當(dāng)’時(shí)有

這就證明了在點(diǎn)連續(xù).

麗g(J(x))=g(lim/(x))=g(/(x0))

注：根據(jù)連續(xù)性的定義，上述定理的結(jié)論可表示為"T"°XT'，(2)

11m底坐一門底莊二罰?后

XT9UXYXT9X

二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，下面通過局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。

x0eDXQGD

定義1設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在U，使得對一切

(f(x0)<f(x))

f

則稱f在D上有最大(最小值)值，并稱為f在D上的最大(最小值)值.

sin汗,[0,開]

例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D匕不一定有最大值或最小值（即

-,xe(O,l),

g(X)=<X

使f在D上有界）。如/（X）=X在（0,】）上既無最大值又無最小值，又如2,x=0或x=1,

（4）在閉區(qū)間上也無最大、最小值。

/⑸[ai]/W[a

定理4.6（最大最小值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間,上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有最

大值與最小值。

該定理及以后的定理4.7和定理4.9將在第七部分§2給出證明.

[ab]