浙江專用2025版高考數(shù)學新增分大一輪復習第八章立體幾何與空間向量8.3空間點直線平面之間的位置關系講義含解析

PAGEPAGE20§8.3空間點、直線、平面之間的位置關系最新考綱考情考向分析1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關系的定義．2.駕馭可以作為推理依據(jù)的公理和定理.主要考查與點、線、面位置關系有關的命題真假推斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的空間想象實力和邏輯推理實力.1．四個公理公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點))(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．直線與平面的位置關系有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種狀況．4．平面與平面的位置關系有平行、相交兩種狀況．5．等角定理空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．概念方法微思索1．分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線嗎？提示不肯定．因為異面直線不同在任何一個平面內．分別在兩個不同平面內的兩條直線可能平行或相交．2．空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角肯定相等嗎？提示不肯定．假如這兩個角開口方向一樣，則它們相等，若反向則互補．題組一思索辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)假如兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(√)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的隨意一條直線．(×)(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(×)(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(√)(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)(6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．(×)題組二教材改編2．[P52B組T1(2)]如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．[P45例2]如圖，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿意條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿意條件________時，四邊形EFGH為正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.題組三易錯自糾4．α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關系不行能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行答案D解析依題意，m∩α＝A，n?α，∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，肯定不平行．5.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點AB．點BC．點C但不過點MD．點C和點M答案D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．6.如圖為正方體表面的一種綻開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為______．答案3解析平面圖形的翻折應留意翻折前后相對位置的改變，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，明顯AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對．題型一平面基本性質的應用例1如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設交點為P，如圖所示．則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點．思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：①先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②證兩平面重合．(2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②干脆證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．跟蹤訓練1如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．題型二推斷空間兩直線的位置關系例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．故選D.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行答案D解析連接D1E并延長，與AD交于點M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點，連接BF并延長，交AD于點N，因為CF＝2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.思維升華空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．異面直線可采納干脆法或反證法；平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；垂直關系往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解決．跟蹤訓練2(1)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________．(填序號)答案③④解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內，直線CC1在平面CDD1C1內，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯；取DD1中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④正確，故填③④.題型三求兩條異面直線所成的角例3(1)(2024·浙江金麗衢聯(lián)考)正四面體ABCD中，E為棱AD的中點，過點A作平面BCE的平行平面，該平面與平面ABC、平面ACD的交線分別為l1，l2，則l1，l2所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(2),2)答案A解析由題意得BC∥l1，CE∥l2，則∠BCE即為l1與l2所成角．設正四面體的棱長為a，則易得EB＝EC＝eq\f(\r(3),2)a，設BC的中點為F，連接EF，則易得EF＝eq\f(\r(2),2)a，則l1與l2所成角的正弦值為sin∠BCE＝eq\f(EF,EC)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(6),3)，故選A.(2)如圖，把邊長為4的正三角形ABC沿中線AD折起，使得二面角C—AD—E的大小為60°，則異面直線AC與DE所成角的余弦值為()A．－eq\f(1,4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)答案B解析如圖，取AB的中點F，連接DF，EF，因為D，F(xiàn)分別是線段BC，AB的中點，所以DF∥AC，所以∠EDF(或其補角)是異面直線AC與DE所成的角．由正三角形的性質可得AD⊥BC，所以∠CDE就是二面角C—AD—E的平面角，所以∠CDE＝60°.又CD＝DE，所以△CDE是正三角形．作EG⊥CD，垂足為G，作FH⊥BD，垂足為H，連接EH，易知EG＝DEsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，DG＝DEcos60°＝2×eq\f(1,2)＝1，DH＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×2＝1，HG＝DH＋DG＝2，F(xiàn)H＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×4＝eq\r(3).由勾股定理，得EH＝eq\r(HG2＋EG2)＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，EF＝eq\r(EH2＋FH2)＝eq\r(\r(7)2＋\r(3)2)＝eq\r(10).在△EDF中，由余弦定理，得cos∠EDF＝eq\f(22＋22－\r(10)2,2×2×2)＝－eq\f(1,4)，所以異面直線AC與DE所成角的余弦值為eq\f(1,4)，故選B.思維升華用平移法求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟蹤訓練3(2024·全國Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析方法一如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體A′B′BA－A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故選C.方法二如圖，以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系D－xyz.由題意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，eq\r(3))，B1(1,1，eq\r(3))，∴eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1，eq\r(3))，∴eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(DB1,\s\up6(→))＝－1×1＋0×1＋(eq\r(3))2＝2，|eq\o(AD1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(DB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))||\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故選C.立體幾何中的線面位置關系直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與改變，利用空間形式特殊是圖形，理解和解決數(shù)學問題．例如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥FA且BE＝eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD.又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，∴GH∥BC且GH＝BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解∵BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G為FA的中點，∴BE∥FG且BE＝FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH.∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．素養(yǎng)提升平面幾何和立體幾何在點線面的位置關系中有許多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象探討點線面關系在平面和空間中的差異．1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為()A．4B．3C．2D．1答案A解析首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．2．(2024·湖州模擬)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c答案C解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.3．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC答案C解析由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確是()A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A解析連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點共線．5．(2024·紹興質檢)如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝eq\r(2)AB，E，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點，M，N分別為AA1，A1C1的中點，則直線MN與EF所成角的余弦值為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(4,5)答案B解析方法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱，連接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，那么∠AC1B′的補角即直線MN與EF所成的角．設AA1＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)a，則AC1＝C1B′＝eq\r(3)a，連接AB′，則AB′＝eq\r(a2＋2\r(2)a2)＝3a，由余弦定理得cos∠AC1B′＝eq\f(\r(3)a2＋\r(3)a2－3a2,2\r(3)a×\r(3)a)＝－eq\f(1,2)，故直線MN與EF所成角的余弦值為eq\f(1,2).方法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，設C1B與CB1交于點O，取AB的中點D，連接CD，OD，則MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC即直線MN與EF所成的角，設AA1＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)a，則AC1＝CB1＝eq\r(3)a，于是OD＝OC＝eq\f(\r(3)a,2)，又CD＝eq\f(\r(3)a,2)，于是△OCD為正三角形，故直線MN與EF所成角的余弦值為eq\f(1,2).6.(2024·衢州質檢)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段A1C1的中點，則異面直線DE與B1C所成角的大小為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)答案C解析連接AC，BD，B1E，設BD與AC交于點O，連接B1O，則四邊形DOB1E為平行四邊形，所以DE∥OB1，所以異面直線DE與B1C所成角為∠OB1C，設正方體棱長為1，則B1C＝eq\r(2)，OC＝eq\f(\r(2),2)，B1O＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)，所以cos∠OB1C＝eq\f(2＋1＋\f(1,2)－\f(1,2),2\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)·\r(2))＝eq\f(\r(3),2).又因為異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠OB1C＝eq\f(π,6).7．給出下列命題，其中正確的命題為________．(填序號)①假如線段AB在平面α內，那么直線AB在平面α內；②兩個不同的平面可以相交于不在同始終線上的三個點A，B，C；③若三條直線a，b，c相互平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；⑤兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．答案①③8．在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是________．答案平行解析如圖所示，連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝eq\f(2,3)SN，∴在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．答案eq\r(2)解析取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).10.如圖是正四面體的平面綻開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案②③④解析還原成正四面體A－DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合．易知GH與EF異面，BD與MN異面．連接GM，∵△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角，易證DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正確命題的序號是②③④.11.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是△BCD所在平面外的一點相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)解取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.12.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2×AD×DE)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).13．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論肯定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關系不確定答案D解析如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以解除選項A和C.若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；若取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直．因此l1與l4的位置關系不能確定．14．平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如圖所示，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，則m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。帧連1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，∴∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故選A.15．(2024·浙江省杭州市七校聯(lián)考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，點F在斜邊AB上，且AB＝4AF，點M在線段BC上運動，D，E是平面ABC同一側的兩點，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4.當點M運動到線段BC的中點時，異面直線CF與EM所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(21),14)B.eq\f(\r(7),14)C.eq\f(\r(7),7)D.eq\f(\r(21),7)答案A解析取BF的中點N，連接MN，EN，因為M，N分別為BC，BF的中點，所以MN∥CF，且MN＝eq\f(1,2)CF，所以∠EMN為異面直線CF與EM所成的角.因為AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，所以BC＝4eq\r(3)，BM＝2eq\r(3)，所以EM＝eq\r(BM2＋BE2)＝eq\r(2\r(3)2＋42)＝2eq\r(7).因為AC＝4，∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，所以AB＝8，所以AF＝eq\f(1,4)AB＝2，BF＝eq\f(3,4)AB＝6，所以BN＝3，所以EN＝eq\r(BE2＋BN2)＝eq\r(42＋32)＝5.在△ACF中，由余弦定理得CF＝2eq\r(3)，所以MN＝eq\r(3).在△EMN中，由余弦定理可得cos∠EMN＝eq\f(ME2＋MN2－EN2,2ME·MN)＝eq\f(28＋3－25,2×2\r(7)×\r(3))＝eq\f(\r(21),14)，所以異面直線CF與EM所成角的余弦值為eq\f(\r(21),14).故選A.16．(2024·浙江省金華名校統(tǒng)考)如圖，在三棱錐A—BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2.P是線段AB上的動