2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周周回饋練六含解析新人教A版必修5

PAGE1-周周回饋練(六)一、選擇題1．若a，b均為大于1的正數(shù)，且ab＝100，則(lga)2＋(lgb)2的最小值是()A．1B．2C．eq\f(5,2)D．10答案B解析∵(lga)2＋(lgb)2≥eq\f(lga＋lgb2,2)＝eq\f(lgab2,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝10時(shí)“＝”成立．故選B．2．設(shè)z＝x－y式中變量x，y滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,x－2y≥0.))則z的最小值為()A．1B．0C．－1D．－2答案A解析作出可行域，如圖所示．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x＝2y，))得交點(diǎn)A(2，1)．當(dāng)直線x－y＝0平移過(guò)點(diǎn)A(2，1)時(shí)，z有最小值1．3．對(duì)滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y－4≤0，,x－y≤0))的隨意實(shí)數(shù)x，y，z＝x2＋y2－4x的最小值是()A．－2B．0C．2D．6答案A解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示．z＝x2＋y2－4x＝(x－2)2＋y2－4，則z的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D(2，0)的距離的平方減去4．D到直線x－y＝0的距離為d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，此時(shí)z取得最小值，zmin＝d2－4＝2－4＝－2．故選A．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1x＋y－1≥0，,－1≤x≤3))表示的平面區(qū)域的面積為()A．4B．8C．12D．16答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，所以所求面積為2×eq\f(1,2)×4×2＝8，故選B．5．在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)隨意a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有以下性質(zhì)：(1)對(duì)隨意a∈R，a*0＝a；(2)對(duì)隨意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．則函數(shù)f(x)＝ex*eq\f(1,ex)的最小值為()A．2B．3C．6D．8答案B解析由題意可知f(x)＝ex*eq\f(1,ex)＝ex·eq\f(1,ex)＋ex＋eq\f(1,ex)＝ex＋eq\f(1,ex)＋1≥2eq\r(ex·\f(1,ex))＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝eq\f(1,ex)，即x＝0時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)f(x)的最小值為3．故選B．6．已知0＜x＜1，a，b為常數(shù)，且ab＞0，則y＝eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)的最小值為()A．(a＋b)2B．(a－b)2C．a(chǎn)＋bD．a(chǎn)－b答案A解析y＝eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,1－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋eq\f(a21－x,x)＋eq\f(b2x,1－x)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(a,a＋b)時(shí)取等號(hào)．故選A．二、填空題7．若－1＜a＜0，則不等式eq\f(2,a)－eq\f(1,1＋a)的最大值為_(kāi)_______．答案－3－2eq\r(2)解析eq\f(2,a)－eq\f(1,1＋a)＝eq\f(a＋2,aa＋1)＝eq\f(a＋2,a2＋a)＝eq\f(a＋2,a＋22－3a＋2＋2)＝eq\f(1,a＋2－3＋\f(2,a＋2))≤eq\f(1,2\r(2)－3)＝－3－2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＋2＝eq\f(2,a＋2)，即a＝eq\r(2)－2時(shí)，等號(hào)成立．8．某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每臺(tái)每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每臺(tái)每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為_(kāi)_______元．答案2300解析設(shè)需租賃甲種設(shè)備x臺(tái)，乙種設(shè)備y臺(tái)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x∈N*，,y∈N*.))目標(biāo)函數(shù)為z＝200x＋300y．作出其可行域如圖所示，易知當(dāng)x＝4，y＝5時(shí)，z＝200x＋300y有最小值2300元．9．當(dāng)x，y滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,y－4≤x，,x－7y≤2))時(shí)，－2≤2kx－y≤2恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案－eq\f(1,10)，0解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，因?yàn)锳(－5，－1)，B(－2，2)，C(2，0)，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤－10k＋1≤2，,－2≤－4k－2≤2，,－2≤4k≤2，))解得－eq\f(1,10)≤k≤0．三、解答題10．某人擔(dān)當(dāng)一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌4個(gè)，繪畫標(biāo)牌5個(gè)．現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個(gè)，繪畫標(biāo)牌2個(gè)；乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用多少?gòu)垼拍苁沟每傆昧厦娣e最?。庠O(shè)須要甲種原料x(chóng)張，乙種原料y張，則可做文字標(biāo)牌(x＋2y)個(gè)，繪畫標(biāo)牌(2x＋y)個(gè)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥5，,x＋2y≥4，,x≥0，,y≥0，,x，y∈N，))所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．在一組平行直線3x＋2y＝z中，經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)且到原點(diǎn)距離最近的直線．過(guò)直線2x＋y＝5和直線x＋2y＝4的交點(diǎn)(2，1)，∴最優(yōu)解為x＝2，y＝1，∴運(yùn)用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最?。?1．已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)－(k－1)x(x∈R，k為常數(shù))為偶函數(shù)．(1)求常數(shù)k的值；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)f(x)的值最?。坎⑶蟪鰂(x)的最小值．解(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以log4(4－x＋1)＋(k－1)x＝log4(4x＋1)－(k－1)x對(duì)隨意x∈R都成立，化簡(jiǎn)得(2k－3)x＝0對(duì)隨意x∈R都成立，所以k＝eq\f(3,2)．(2)由(1)得f(x)＝log4(4x＋1)－eq\f(x,2)，即f(x)＝log4eq\f(4x＋1,2x)．又log4eq\f(4x＋1,2x)＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2x)))≥log42＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(1,2x)，即x＝0時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值，最小值為eq\f(1,2)．12．某工廠擬建一座平面圖為矩形，面積為200m2，高度肯定的三段污水處理池(如圖)，由于受地形限制，其長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m，假如池的外壁的建立費(fèi)單價(jià)為400元/m，池中兩道隔墻的建立費(fèi)單價(jià)為248元/m，池底的建立費(fèi)單價(jià)為80元/m2，試設(shè)計(jì)水池的長(zhǎng)x和寬y(x＞y)，使總造價(jià)最低，并求出這個(gè)最低造價(jià)．解設(shè)污水池長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(200,x)m，且0＜x≤16，0＜eq\f(200,x)≤16，兩道隔墻與寬邊平行時(shí)，造價(jià)較省，設(shè)總價(jià)為Q(x)，則Q(x)＝4002x＋2×eq\f(200,x)＋248×2×eq\f(200,x)＋80×200＝800x＋eq\f(324,x)＋16000≥1600eq\r(x·\f(324,x))＋16000＝44800．當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(324,