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江蘇省蘇州新區(qū)一中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期考前模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.3.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.4.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,則()A.85 B. C.35 D.5.已知中,,則()A.1 B. C. D.6.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c7.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.58.已知雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線(xiàn)在第一象限上的點(diǎn),直線(xiàn)PO,分別交雙曲線(xiàn)C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B.3 C.2 D.9.以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線(xiàn)上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀(guān)測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.010.在三角形中,,,求()A. B. C. D.11.已知m為實(shí)數(shù),直線(xiàn):,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件12.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.17二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.,則f(f(2))的值為_(kāi)___________.14.點(diǎn)是曲線(xiàn)()圖象上的一個(gè)定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____.15.已知二項(xiàng)式ax-1x6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-16016.若存在實(shí)數(shù)使得不等式在某區(qū)間上恒成立,則稱(chēng)與為該區(qū)間上的一對(duì)“分離函數(shù)”,下列各組函數(shù)中是對(duì)應(yīng)區(qū)間上的“分離函數(shù)”的有___________.(填上所有正確答案的序號(hào))①,,;②,,;③,,;④,,.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線(xiàn):與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于,兩點(diǎn),已知,求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).18.(12分)數(shù)列滿(mǎn)足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長(zhǎng)度;(2)在線(xiàn)段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最小?20.(12分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時(shí)有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線(xiàn)、交于、兩點(diǎn),是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.22.(10分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點(diǎn)..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
觀(guān)察可知,這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個(gè)半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個(gè)半球體,半徑為1,按公式計(jì)算可得體積?!驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A。本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。2.C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項(xiàng).4.B【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設(shè)公差為,則,所以,,,.故選:B本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.6.A【解析】
利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7.D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8.D【解析】
本道題結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線(xiàn)性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對(duì)角線(xiàn)平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿(mǎn)足,即可得出,故選D.本道題考查了余弦定理以及雙曲線(xiàn)的性質(zhì),難度偏難.9.C【解析】
根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無(wú)明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0;故②為真命題;③對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀(guān)測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11.A【解析】
根據(jù)直線(xiàn)平行的等價(jià)條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時(shí),兩直線(xiàn)方程分別為直線(xiàn)l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿(mǎn)足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時(shí),兩直線(xiàn)方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿(mǎn)足條件.當(dāng)m≠0時(shí),則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線(xiàn)平行的等價(jià)條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線(xiàn)和直線(xiàn)平行,則且兩直線(xiàn)不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線(xiàn)是否重合.12.C【解析】
首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.本題考查分段函數(shù)求值,考查對(duì)應(yīng)性以及基本求解能力.14.1【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由切線(xiàn)斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo),再由切線(xiàn)方程得縱坐標(biāo)后可求得.【詳解】設(shè),由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.15.2【解析】
在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中,令x的冪指數(shù)等于0,求出r的值,即可求得常數(shù)項(xiàng),再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)a的值.【詳解】∵二項(xiàng)式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常數(shù)項(xiàng)為-C63故答案為:2.本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16.①②④【解析】
由題意可知,若要存在使得成立,我們可考慮兩函數(shù)是否存在公切點(diǎn),若兩函數(shù)在公切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置一個(gè)單增,另一個(gè)單減,則很容易判斷,對(duì)①,③,④都可以采用此法判斷,對(duì)②分析式子特點(diǎn)可知,,進(jìn)而判斷【詳解】①時(shí),令,則,單調(diào)遞增,,即.令,則,單調(diào)遞減,,即,因此,滿(mǎn)足題意.②時(shí),易知,滿(mǎn)足題意.③注意到,因此如果存在直線(xiàn),只有可能是(或)在處的切線(xiàn),,因此切線(xiàn)為,易知,,因此不存在直線(xiàn)滿(mǎn)足題意.④時(shí),注意到,因此如果存在直線(xiàn),只有可能是(或)在處的切線(xiàn),,因此切線(xiàn)為.令,則,易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,即.令,則,易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即.因此,滿(mǎn)足題意.故答案為:①②④本題考查新定義題型、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)證明見(jiàn)解析;定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】
(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時(shí)滿(mǎn)足∴∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.18.(1)見(jiàn)解析,(2)【解析】
(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫(xiě)出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項(xiàng)為:,故.考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法;中檔題.19.(1);(2)當(dāng)BP為cm時(shí),α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.【詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,則,化簡(jiǎn)得,解之得,或(舍),(2)設(shè)BP=t,則,,設(shè),,令f'(t)=0,因?yàn)?,得,?dāng)時(shí),f'(t)<0,f(t)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),f'(t)>0,f(t)是增函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因?yàn)楹愠闪ⅲ詅(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因?yàn)閥=tanx在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),α+β取得最小值.本題考查了三角恒等變換,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20.(1),;(2)【解析】
(1)由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立,由此建立方程,即可求出實(shí)數(shù)的值;對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),,通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出,若,則恒成立不符合題意,當(dāng),可證明,此時(shí)時(shí)有極小值.(2)可知,進(jìn)而得到,令,通過(guò)導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù),由可得,從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù),得在定義域上恒成立,所以,化簡(jiǎn)可得,所以.則,令,則.故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在上遞減,在上遞增,若,則恒成立,單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn);所以,解得,取,則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷,故由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間上,存在為函數(shù)的零點(diǎn),為極小值,所以,的取值范圍是.(2)由滿(mǎn)足,代入,消去可得.構(gòu)造函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即恒成立,故在上為單調(diào)減函數(shù),其中.則可轉(zhuǎn)化為,故,由,設(shè),可得當(dāng)時(shí),則在上遞增,故.綜上,的取值范圍是.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了奇函數(shù)的定義,考查了轉(zhuǎn)化的思想.對(duì)于恒成立的問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為求的最小值,使;對(duì)于恒成立的問(wèn)題,常轉(zhuǎn)化為求的最大值,使.21.(1),;(2).【解析】
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