專題04 平行線中的拐點模型之羊角模型（解析版）

專題04平行線中的拐點模型之羊角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（羊角模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·重慶渝中·?？家荒＃┤鐖D，已知，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設與交于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)即可求得答案．【詳解】如圖所示，設與交于點．

∵，∴．∴．故選：A．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，牢記平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）和三角形的外角的性質(zhì)（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D【答案】見解析【分析】過點E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠B=∠BOD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】證明：過點E作EF∥CD，如圖∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（輔助線），∴∠BOD=∠BEF（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代換），∴∠BOD=∠E+∠D（等量代換），即∠B=∠E+∠D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角．例3．（2023下·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，交于點B，交于點E，交于點A．(1)畫圖：過點B作交于點M；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)畫平行線的方法畫圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)先證明，，，再有進行證明即可．【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖，∵，∴．∵，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，畫平行線，熟知老兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．例4．（2023下·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，，，則下列說法不正確的是（

）

A．B．平分C．D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，推得，結(jié)合題意即可推得，根據(jù)角平分線的判定可得平分；根據(jù)垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合題意即可求得；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，，即可推得．【詳解】解：過點作，與交于點，如圖：

∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，

即平分；故選項B說法正確；∵，∴，∴，又∵，∴；故選項C說法正確；∵，，∴，

即；故選項D的說法正確；故選：A．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（2023下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），，猜想與、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

①讀下列過程，并填寫理由．解：猜想．理由：過點作．∴．（___________）∵（已知），（輔助線的作法）．∴．（___________）∴．∴．∴．②仿照上面的解題方法，觀察圖（2），已知，猜想圖中的與、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．③觀察圖（3）和圖（4），已知，直接寫出圖中的與、的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由．【答案】①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平行線公理的推論②，理由見詳解③【分析】①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的，，等量代換即可得到結(jié)論；②過點作，由，可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得，，則可求得；③由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得與、的關(guān)系．【詳解】解：①猜想．理由：過點作．

∴．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵（已知），（輔助線的作法）．∴．（平行線公理的推論）∴．∴．∴．②，理由：過點作．∵，∴．∴，．∴．③如圖（3），理由：∵，∴，∵，∴，即．如圖（4），，理由：∵，∴，∵，∴，即．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應用，輔助線的作法．例6．（2023下·浙江寧波·七年級校考期末）已知，，點E為射線上一點．

(1)如圖1，若，，則______°；(2)如圖2，當點E在延長線上時，此時與交于點H，則、、之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；(3)如圖3，平分，交于點K，交于點I，且，，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）延長交于點H，根據(jù)是的外角求解；（2）根據(jù)，可得，再根據(jù)是的外角可得；，即；（3）設，則，通過三角形內(nèi)角和得到，由角平分線定義及得到，求出x的值再通過三角形內(nèi)角和求．【詳解】（1）解：延長交于點H，

，，是的外角，故答案為：；（2）結(jié)論：．證明：，，是的外角，，．（3）解：：，設，則，，，又，，，平分，，，，即，解得，，．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)的綜合應用，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和及外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和等知識點．課后專項訓練1．（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)，得出的同位角的大小，再借助外角的性質(zhì)，得出的大?。驹斀狻拷猓海?，，，，．故選C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．2．（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點在的邊的延長線上，，若，，則的度數(shù)是()

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】，，，，，，故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，能熟練地運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（2023上·甘肅定西·七年級校考期末）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先延長交于F，由，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，可求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，延長交于F，

∵，，∴，∵，∴．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等定理的應用．4．（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角定理得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角之和，兩直線平行，同位角相等．5．（2023下·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，一塊含的直角三角板的一個頂點落在直線b上，若，則∠2的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：如圖，

，，，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·瀘州·八年級?？茧A段練習）如圖，直線，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)再得出答案．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，正確得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2023上·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）如圖所示，，，，則．

【答案】20【分析】由平行線的性質(zhì)可求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求的度數(shù)．【詳解】解：，，，是的外角，．故答案為：20．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．8．（2023下·重慶合川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線,的直角頂點在直線上，點在直線上，若邊的中點在直線上且，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可知，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知．【詳解】解：∵在中，點為的中點，∴，，∴，∵，∴在中，，即，∴，∵，∴，故答案為；【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）如圖，與交于點，于點．若，則度．

【答案】53【分析】根據(jù)，可得，再利用直角三角形兩銳角互余即可得出答案．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┤鐖D，，，則．

【答案】/60度【分析】過點C作，則，由，，得到，進而，從而．【詳解】

如圖，過點C作，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·云南西雙版納·九年級?？茧A段練習）如圖，，，，．

【答案】/10y度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．12．（2023上·北京西城·八年級?？奸_學考試）如圖，，，，則．

【答案】/22.5度【分析】由平行線的性質(zhì)推出，由外角的性質(zhì)和，即可可解．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補；三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．13．（2023上·廣東·八年級專題練習）如圖，，平分，平分交的延長線于點E，若，則的度數(shù)為．

【答案】/68度【分析】如圖，延長交于M．由題意設，．構(gòu)建方程組證明即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交于M．由題意設，．

則有，得：，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟悉基本圖形，學會添加常用輔助線，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．14．（2023下·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，于點，，求證：．

【答案】見解析【分析】由，，得到，推出，又，得到，即可證明．【詳解】證明：，，，，，，，．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是由，，推出，得到．15．（2023上·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)，則，再根據(jù)三角形的外角，則，即可．【詳解】∵，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查三角形，平行線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，三角形的外角．16．（2023下·北京朝陽·七年級?？计谀┤鐖D，已知，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先利用平角定義的求出，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：，，，，的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．17．（2023下·北京海淀·七年級?？计谀┤鐖D，已知，猜想圖①，圖②，圖③中，，，之間有何數(shù)量關(guān)系?請用等式表示出它們的關(guān)系，并選擇其中的兩個等式說明理由．

【答案】①，詳見解析；②，詳見解析；③，詳見解析【分析】①過點作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可作答；②根據(jù)兩直線平行，同位角相等以及三角形外角的定義即可作答；③延長交于點，根據(jù)兩直線平行，同位角相等以及三角形外角的定義即可作答．【詳解】①，理由：如圖，過點作，

∵，∴，∴，，∴，即；②，理由：∵，∴，∵，∴，即；③，理由：如圖，延長交于點，

∵，∴，∵，∴，即．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的定義等知識，掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023下·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）在同一平面內(nèi)，兩條直線有平行和相交兩種位置關(guān)系．

(1)如圖所示，，點為直線下方的一點，連接、，線段與直線相交于點，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明的解答過程如下解：，理由如下：（已知）（）又（）即；在中，（）即（等量代換）(2)如圖所示，，當點移動到、之間時，中結(jié)論是否仍成立，若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．針對這個問題，小明、小亮、小穎三位同學各自提出了自己的解題思路：小明：可以連接，利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和和定理解決問題；小亮：可以延長，交于點，同樣利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理也可解決問題；小穎：我過點做了一條與平行的直線，也能做出來．請從上述三種思路中選擇一種，完成解答．(3)如圖所示，與相交干點，點為內(nèi)部一點，連接、，請直接寫出、、與間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換；；三角形的內(nèi)角和為(2)（）中結(jié)論是不成立，，證明見解析(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得，再證，然后由三角形內(nèi)角和定理得，即可得出結(jié)論；（2）小明的思路，連接，由平行線的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理得，即可得出結(jié)論；小亮的思路，延長，交于點，由平行線的性質(zhì)得，再由三角形的外角性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；小穎的思路，過點作，由平行線的性質(zhì)得，，再由三角形的外角性質(zhì)的，即可得出結(jié)論；（3）延長交于點，由三角形的外角性質(zhì)得，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1），理由如下：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又，（等量代換），即．在中，（三角形內(nèi)角和定理），即．（等量代換）．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換，，三角形內(nèi)角和定理；（2）（）中結(jié)論是不成立，，證明如下：選擇小明的思路，連接，如圖，

，，即，，；選擇小亮的思路，延長，交于點，如圖，

，，，；選擇小穎的思路，過點作，如圖，

則，，，，；（3），理由如下：延長交于點，如圖，

，，．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023下·貴州銅仁·七年級?？茧A段練習）（1）問題：如圖1，若，，．求的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖2，，點P在的上方，問，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點G，用含有的式子表示的度數(shù)，請說明理由；

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3），理由見解析【分析】（1）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)即可得；（2）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)即可得；（3）先根據(jù)（2）可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，，然后過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：（1）如圖，過點作，，

，，，；（2），理由如下：過點作，，即，，，，即，；（3）由（2）得：，的平分線和的平分線交于點，，，如圖，過點作，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知，，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當時，求，的度數(shù)；(3)如圖（2），求，的度數(shù)（用含m的代數(shù)式表示）．

【答案】(1)平行，證明見解析(2)，．(3)，．【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行求出；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，然后列出關(guān)于、的二元一次方程組求解即可；（3）過作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，再根據(jù)得到，結(jié)合，然后求解即可．【詳解】（1）解：．理由如下：∵，，∴，∴．（2）如圖，過點E作，∵，∴，

∴，，∴，又∵，∴，∴，．（3）如圖，過作，而，∴，∴，，∵，∴，①

又

②聯(lián)立①②解得，．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)和判定，平行公理的應用，二元一次方程組的解法，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）已知，點在上，點在上，點為射線上一點．(1)如圖1，若，，則．(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，請寫出、和三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，平分，交于點．①若平分，求和的數(shù)量關(guān)系．②