《圓的方程的綜合應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

17/174.1.3圓的方程的應(yīng)用（熊用兵）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握?qǐng)A的方程的綜合應(yīng)用.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)能利用圓的方程及圓的性質(zhì)解決一些有關(guān)圓的綜合問(wèn)題.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)（1）圓的方程的求法；（2）與圓有關(guān)的最值的求法；（3）與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)與圓有關(guān)的最值和軌跡方程的求法.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)讀一讀閱讀教材第118頁(yè)到123頁(yè)，并思考：（1）圓的方程形式有哪些？有沒(méi)有什么限制條件？（2）分別怎么確定圓心坐標(biāo)和半徑大?。浚?）圓有哪些重要的基本性質(zhì)？2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線：上，則圓的方程為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程得求法.【解題過(guò)程】由條件知圓心必在線段的垂直平分線上，又在直線：上，所以即為兩直線的交點(diǎn)，半徑，所以圓的方程為【思路點(diǎn)撥】圓的弦的垂直平分線一定過(guò)圓心.【答案】A（2）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線始終與圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系.【解題過(guò)程】由條件知點(diǎn)必在圓的內(nèi)部，所以，所以【思路點(diǎn)撥】直線過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)時(shí)必與圓相交，反之亦然.另外也可以用圓心到直線的距離始終小于半徑求之.【答案】C（3）已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的距離問(wèn)題.【解題過(guò)程】點(diǎn)到直線的最小距離即為圓心到直線的距離減去半徑，即【思路點(diǎn)撥】與圓有關(guān)的距離問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化到圓心的距離問(wèn)題.【答案】D（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中圓心為C(a,b)，半徑為r（2）圓的一般方程為：為（），其圓心為，半徑為.（3）圓的基本性質(zhì)：半徑r、弦心距d、半弦長(zhǎng)滿足2.問(wèn)題探究探究一圓的方程及性質(zhì)的應(yīng)用.活動(dòng)=1\*GB3①一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為，求該圓的方程.【解析】方法一：∵所求圓的圓心在直線x-3y=0上，且與y軸相切，∴設(shè)所求圓的圓心為C(3a,a)，半徑.又圓在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為，且圓心C(3a,a)到直線y=x的距離，∴由圓的性質(zhì)有：，即，解得：，故所求圓的方程為或方法二、設(shè)所求圓的方程為，圓心為，半徑為，令x=0，得，由圓與y軸相切，所以，即……=1\*GB3①；又圓心到直線y=x的距離為，所以由條件有：，即……=2\*GB3②；又圓心在直線x-3y=0上，所以D-3E=0……=3\*GB3③聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③解得：或故所求的方程為或【設(shè)計(jì)意圖】掌握?qǐng)A的方程的常用求解方法，同時(shí)體會(huì)根據(jù)不同條件選擇哪種方法更簡(jiǎn)單.探究二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題?活動(dòng)=2\*GB3②已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.【解析】（1）方程即，圓心M(2,0)，半徑，所以表示圓M上的點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O(0,0)距離的平方，而故的最大值為，最小值為（2）由得，所以又由知，所以故的最大值和最小值分別為和.【設(shè)計(jì)意圖】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題要注意一些代數(shù)式的幾何意義（幾何法）或者和二次函數(shù)的聯(lián)系（代數(shù)法）.探究三與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題.?活動(dòng)=3\*GB3③如圖，已知定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交AQ于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】過(guò)M作MN∥OQ交AO于點(diǎn)N，設(shè)M(x,y)∵OM平分，∴又，所以所以點(diǎn)，，所以即點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離為，所以點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生掌握求軌跡方程的常用方法，如直接法、幾何法、相關(guān)點(diǎn)法等.鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1.圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)，則該圓的方程為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程的求法.【解題過(guò)程】由條件知圓心必在過(guò)點(diǎn)M(2,-1)且與直線x+y-1=0垂直的直線l上，易知l的方程為x-y-3=0，所以圓心為直線2x+y=0與x-y-3=0的交點(diǎn)N(1,-2)，半徑，所以圓的方程為【思路點(diǎn)撥】求圓的方程關(guān)鍵在于找出圓心位置，算出半徑大小.【答案】A同類(lèi)訓(xùn)練已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則的外接圓方程為_(kāi)_____________.【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程的求法.【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】設(shè)圓的方程為，由題意：將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，所以所求圓的方程為.【思路點(diǎn)撥】圓的方程的另一個(gè)常用求法是待定系數(shù)法.【答案】例2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題.【解題過(guò)程】（1）方程即，P(x,y)表示以C(0,-4)為圓心，r=2為半徑的圓上一點(diǎn)，所以表示P(x,y)到Q(-1,-1)的距離.又由，所以Q(-1,-1)在圓C外部.所以，（2）由得：且，所以【思路點(diǎn)撥】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題要注意一些代數(shù)式的幾何意義（幾何法）或者與二次函數(shù)的聯(lián)系（代數(shù)法）【答案】（1），；（2）同類(lèi)訓(xùn)練已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程，分別求：（1）的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題.【解題過(guò)程】（1）方程即，P(x,y)表示以C(3,3)為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn)，而表示點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.設(shè)，則直線，當(dāng)直線與圓相切時(shí)斜率取得最值.而直線與圓相切時(shí)，到直線的距離為，解得，故的最大值為和最小值為.（2）設(shè)，則，易知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距取得最值.而圓心到直線的距離為，解得故的最大值為和最小值為.【思路點(diǎn)撥】二元一次分式轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題；二元一次代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題.【答案】（1），；（2），例3.如圖，已知圓O：與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)B作圓O的切線，切點(diǎn)為C，求的垂心H的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題.【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】設(shè)，由題意知，BC是切線，，所以，所以四邊形AOCH為菱形，所以，則，又滿足，所以即是所求軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】同類(lèi)訓(xùn)練已知點(diǎn)和圓：，過(guò)動(dòng)點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題.【解題過(guò)程】連結(jié)ON，由題意及圓的性質(zhì)可知：且，設(shè)，則，又所以由即有：化簡(jiǎn)得即為所求的軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例4、已知圓，圓內(nèi)有定點(diǎn)P(a,b)，圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)A、B，且滿足，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題.【解題過(guò)程】設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程.在中，，又R為AB的中點(diǎn)，所以在中，又，所以即，因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)，∵R是PQ的中點(diǎn)，∴代入方程得：化簡(jiǎn)得：即為所求的軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】二次相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】例5.有一種大型商品A，B兩地都有出售，且價(jià)格相同.某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用是：每千米A地運(yùn)費(fèi)（單位：元）是B地運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A、B兩地間的距離為10千米，顧客選擇A地或B地購(gòu)買(mǎi)這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的方程，并指出分界線上、分界線內(nèi)、分界線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)】圓在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.【解題過(guò)程】以A、B所確定的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），由題意知，所以A(-5,0)，B(5,0)，設(shè)某地P（x,y），且P地居民選擇A地購(gòu)買(mǎi)商品的總費(fèi)用不高于選擇B地購(gòu)買(mǎi)商品的總費(fèi)用，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/千米，則B地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米.∵P地居民購(gòu)貨總費(fèi)用滿足條件：價(jià)格+A地的運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格+B地的運(yùn)費(fèi)即化簡(jiǎn)整理得，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓是兩地售貨區(qū)域的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購(gòu)貨便宜；圓外的居民從B地購(gòu)貨便宜；圓上的居民從A、B兩地購(gòu)貨的總費(fèi)用相等，因此可隨意從A、B兩地之一購(gòu)貨.【思路點(diǎn)撥】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，由條件建立方程，根據(jù)實(shí)際意義解釋方程.【答案】分界線方程為；圓內(nèi)從地購(gòu)貨，圓外從地購(gòu)貨，圓上可以任意選擇從地或地購(gòu)貨.3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）求圓的方程要選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问剑?biāo)準(zhǔn)方程或一般方程），直接想辦法求圓心坐標(biāo)和半徑大小，也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解；（2）有關(guān)圓的最值問(wèn)題要注意分析代數(shù)式的幾何意義或者充分利用函數(shù)觀點(diǎn)求解；（3）求與圓有關(guān)的軌跡方程的常用求法有直接法、幾何法（定義法）、相關(guān)點(diǎn)法等.重難點(diǎn)歸納（1）求圓的方程中，常常忽視有關(guān)圓的性質(zhì)的利用，從而造成解題過(guò)程繁瑣；（2）求有關(guān)圓的最值問(wèn)題時(shí)要注意觀察求解目標(biāo)的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化目標(biāo)是關(guān)鍵；（3）求軌跡方程的方法中，要注意找動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，分析是否符合某種曲線的特征（或定義）或者動(dòng)點(diǎn)和其他點(diǎn)之間是否有相連關(guān)系，從而采用幾何法或相關(guān)點(diǎn)法.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)性自主突破1.已知一圓的圓心為，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸和軸上，則此圓的方程為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程【解題過(guò)程】圓心是直徑的中點(diǎn)，此直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，半徑，所以圓的方程為.【思路點(diǎn)撥】圓的所有直徑過(guò)圓心，且圓心為直徑的中點(diǎn).【答案】A2.若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.或C.或D.【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示圓的條件.【解題過(guò)程】根據(jù)方程表示圓的條件可知，解得或【思路點(diǎn)撥】方程表示圓的條件是【答案】B3.設(shè)到圓上任意一點(diǎn)的距離為，則的最大值為（）A.7B.C.9D.13【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題.【解題過(guò)程】圓的方程即為，圓心，半徑，由條件易知【思路點(diǎn)撥】與圓有關(guān)的距離問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化到圓心處理.【答案】D4.過(guò)圓上的任意一點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題.【解題過(guò)程】設(shè)的中點(diǎn)，則，代入得【思路點(diǎn)撥】實(shí)際上用的是相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程.【答案】D5.已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或B.或C.D.【知識(shí)點(diǎn)】方程表示圓的條件及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【解題過(guò)程】由方程表示圓的條件可知，解得或…=1\*GB3①；又點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，解得……=2\*GB3②，由=1\*GB3①=2\*GB3②可知.【思路點(diǎn)撥】給出圓的含參數(shù)的一般方程后一定不要忘了考察：方程表示圓的條件，即【答案】C6.一光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)軸反射到圓上，則光線所走過(guò)的最短路徑為_(kāi)___________.【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的距離問(wèn)題.【解題過(guò)程】問(wèn)題相當(dāng)于求關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最短距離.設(shè)圓心為，則所求最短路徑為【思路點(diǎn)撥】問(wèn)題的關(guān)鍵是利用光線的對(duì)稱知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到對(duì)稱點(diǎn)的距離問(wèn)題.【答案】4能力型師生共研7.在圓上且到直線的距離為的點(diǎn)有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的距離問(wèn)題.【解題過(guò)程】圓的圓心為，半徑為，而圓心到直線的距離為，故圓上滿足題意的點(diǎn)有3個(gè).【思路點(diǎn)撥】與圓有關(guān)的距離問(wèn)題要注意轉(zhuǎn)化到圓心處理.【答案】C8.如圖是一座圓形拱橋，當(dāng)水面在位置時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為_(kāi)________米？【知識(shí)點(diǎn)】圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.【解題過(guò)程】以圓拱橋的橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)拱頂?shù)呢Q直直線為軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)圓心為，半徑為，水面所在弦的端點(diǎn)分別為.則由已知得，即圓的方程為，將代入方程得，解得，所以圓的方程為.當(dāng)水面下降1m后，可設(shè)點(diǎn)，代入圓的方程可解得米，即水面下降1m后，水面寬為米.【思路點(diǎn)撥】該題是圓的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓的方程，再用方程求解.【答案】探究型多維突破9.已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值和最小值分別為（）A.和B.和C.和D.和【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題.【解題過(guò)程】設(shè)，則.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距取得最大值和最小值，此時(shí)，即，故的最大值和最小值分別為和.【思路點(diǎn)撥】將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線的縱截距問(wèn)題是關(guān)鍵.【答案】B10.為適應(yīng)市場(chǎng)需要，某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地（如圖），它的附近有一條公路，從基地中心處向東走1km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)，接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)；從基地中心向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)，現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選第一點(diǎn)，修建一條由通往公路的專(zhuān)用線，求的最短距離.【知識(shí)點(diǎn)】圓在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.【解題過(guò)程】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線分別為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，則圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為，過(guò)作的垂線，垂足為，點(diǎn)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，為最短距離，此時(shí)的最小值為km.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)實(shí)際情況建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把一些幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，用圓的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.【答案】km自助餐1.過(guò)三點(diǎn)的圓與軸交于兩點(diǎn)，則（）A.B.8C.D.10【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程.【解題過(guò)程】設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為，代入三點(diǎn)的坐標(biāo)得，所以圓的方程為，令得，設(shè)，于是，所以【思路點(diǎn)撥】用待定系數(shù)法求得圓的方程是關(guān)鍵，再由韋達(dá)定理求弦長(zhǎng).【答案】C2.過(guò)點(diǎn)作圓：的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題.【解題過(guò)程】易知過(guò)的最短的弦就是垂直于的弦.因?yàn)?，所以最短的弦長(zhǎng)為【思路點(diǎn)撥】過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最短弦是垂直于圓心與該點(diǎn)連線的弦，最長(zhǎng)弦是過(guò)該點(diǎn)的直徑.【答案】B3.已知圓，定點(diǎn)，為已知圓上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)