《集合的含義和表示》教學(xué)設(shè)計

9/14第一章集合與函數(shù)的概念本章學(xué)情分析與教材分析學(xué)情分析： 本章是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開篇，學(xué)生應(yīng)通過本章學(xué)習(xí)，完成從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的順利過渡，在適應(yīng)高中教育環(huán)境的同時，初步體會高中課堂特點，感悟高中數(shù)學(xué)知識的基本結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)研究方法的基本特征． 集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達數(shù)學(xué)內(nèi)容．本章將學(xué)習(xí)集合的一些基本知識，用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象，并運用集合和對應(yīng)的語言進一步描述函數(shù)概念，感受建立函數(shù)模型的過程和方法，初步運用函數(shù)思想理解和處理生活、社會中的簡單問題． 本章的內(nèi)容注重反應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認識規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、從一般到特殊的一般原則．（二）教材分析： 1．核心素養(yǎng) 集合論是德國數(shù)學(xué)家康托（Cantor）在19世紀(jì)末創(chuàng)立的，高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)學(xué)會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，發(fā)展運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力． 集合是函數(shù)研究的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)集合時要關(guān)注集合的特點及基本運算；函數(shù)的概念是難點，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一．函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法已廣泛滲透到數(shù)學(xué)和各個領(lǐng)域，是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)；函數(shù)的概念是運動變化和對立統(tǒng)一等觀點在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)．函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型．高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終． 通過本章學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在集合、函數(shù)、單調(diào)性等概念的抽象中感受高中數(shù)學(xué)的邏輯推理過程，結(jié)合圖象對集合運算、函數(shù)對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)性質(zhì)產(chǎn)生直觀想象，并通過函數(shù)實際模型的建立體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值． 2．本章目標(biāo) （1）集合的含義與表示 ①通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系． ②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用． （2）集合間的基本關(guān)系 ①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集． ②在具體情境中，了解全集與空集的含義． （3）集合的基本運算 ①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集． ②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集． ③能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用． （4）函數(shù) ①通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念． ②在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)． ③通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． ④通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義． ⑤學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)． 3．課時安排 本章教學(xué)時間約需12課時，具體分配如下： 1.1集合 4課時 1.2函數(shù)及其表示 4課時 1.3函數(shù)的基本性質(zhì) 3課時 小結(jié) 1課時 4．本章重點 集合的運算、函數(shù)的概念（三要素）、函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）． 5．本章難點 函數(shù)的概念（三要素）、函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）．1.1集合1.1.1集合的含義與表示(范美卿)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng) 通過這節(jié)課學(xué)習(xí)，了解集合的概念、體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，會選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希谥庇^想象、數(shù)學(xué)抽象中感受集合語言的特點．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系． 2．初步了解有限集、無限集的意義． 3．能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用．（三）學(xué)習(xí)重點 1．元素與集合的概念． 2．集合的表示法：列舉法、描述法． 3．常用數(shù)集的表示符號．（四）學(xué)習(xí)難點 1．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ信e法、描述法）正確表示一些簡單的集合． 2．對新學(xué)的數(shù)學(xué)符號的正確使用． 3．對空集和無限集概念的理解．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計 1．預(yù)習(xí)任務(wù) （1）讀一讀：閱讀教材第1頁至第5頁，填空： 一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合． 只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的． 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA． 我們除了用自然語言表示集合，還能用列舉法、描述法表示集合． （2）寫一寫：數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集的記法是什么？ 自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*或N＋；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q：實數(shù)集R． 2．預(yù)習(xí)自測 （1）下列表述中不是集合元素特性的是（） A．互異性 B．確定性 C．無序性 D．多樣性【解題過程】集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性 【答案】D． （2）下列符號表示的集合為有理集的是（） A．N B．Z C．Q D．R【解題過程】自然數(shù)集N，整數(shù)集Z，實數(shù)集R 【答案】C． （3）全體奇數(shù)構(gòu)成的集合用描述法表示正確的是（） A．{x︱x＝2k＋1，k∈N} B．{x︱x＝2k＋1，k∈Z} C．{x︱x＝2k－1，k∈Q} D．{x︱x＝2k＋1，k∈R}【解題過程】K∈Z才能表示奇數(shù) 【答案】B．(二)課堂設(shè)計 1．知識回顧 （1）在小學(xué)和初中，接觸過一些集合，集合的含義是什么？ 2．問題探究 探究一結(jié)合實例，認識集合與元素★ ●活動①歸納提煉概念 在小學(xué)和初中，我們接觸過一些集合，例如自然數(shù)的集合，不等式x－7＜3的解的集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合（即圓），等等．我們再來看下面的一些例子： （1）地球上的四大洋； （2）中國的所有直轄市； （3）1~20以內(nèi)的所有素數(shù)； （4）方程x2＋x－2＝0的所有實數(shù)根． （5）所有的正方形； （6）到兩個定點A、B距離相等的所有點； （7）不等式x－7＜3的所有實數(shù)解． 我們可以看到，把研究對象作為元素，這些元素的全體就是一個集合． 一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（set），簡稱集． 【設(shè)計意圖】從生活實例到數(shù)學(xué)問題，從特殊到一般，體會概念的提煉、抽象過程． ●活動②辨析概念、分析元素特性 分析以上研究對象，你能得出一個集合的元素有哪些特性？ 確定性、互異性、無序性． 如何理解元素的三個特性？ 確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合就確定了． 互異性：一個給定集合中的元素互不相同． 無序性：一個給定集合中的元素沒有順序的差異． 結(jié)合概念及以上元素特性，你能判定兩個集合相等嗎？ 只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合相等． 【設(shè)計意圖】通過概念辨析，加深對集合內(nèi)涵與外延的理解，突破重點．●活動③簡化表示，認識元素與集合關(guān)系 我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素． 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作． 將“1~20以內(nèi)的素數(shù)”組成的集合記為A，請寫出元素3和4與A的關(guān)系． 3∈A；4A． 通過預(yù)習(xí)，你還知道哪些常用數(shù)集的記法？（搶答） 自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*或N＋；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q：實數(shù)集R． 【設(shè)計意圖】通過用字母表示集合認識數(shù)學(xué)簡潔、抽象之美，通過以數(shù)集的搶答檢查反饋預(yù)習(xí)，強化記憶． 探究二探究集合分類方法 ●活動①認識差異、合理分類 結(jié)合以上7個例子，你能根據(jù)元素數(shù)目特點對集合進行分類嗎？ 有限集：元素個數(shù)為有限個的集合． 無限集：元素個數(shù)是無限個的集合． 【設(shè)計意圖】通過分類加深對集合認識，為后面集合表示做好鋪墊． ●活動②鞏固理解，加深認識 你能將活動①中的集合進行分類嗎？（搶答） （1）、（2）、（3）、（4）表示的集合為有限集，（5）、（6）、（7）表示的集合為無限集． 我還能舉出哪些集合，并說明它是有限集還是無限集？ 【設(shè)計意圖】從給出的例子到學(xué)生自行舉出例子，檢查反饋學(xué)生對集合概念的理解，加深對分類的認識． 探究三簡化抽象、探究集合合理表示方法★▲ ●活動①歸納梳理、理解提升 我們除了用自然語言表示集合，你還能哪些語言表示集合？ 還可用圖形語言（Venn圖）、集合語言表示集合． 閱讀教材第3頁至第5頁，你能用哪些方式表示集合？各種方式有何特點？ 列舉法：把集合的元素一一列舉出來，用逗號隔開，并用花括號“{}”括起來表示集合．一般用在元素個數(shù)較少的有限集，優(yōu)點在于能直觀看出集合中的所有元素． 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，具體方法是在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．可用來表示無限集，便于看出元素的普遍特性． 以上兩種表示方法都要用到“{}”，如元素不加上“{}”，則表示的是元素，而非集合． 集合A＝{x＜1}，B＝{x︱x＜1}是否相同？ 不相同，A用的是列舉法，表示由一個不等式“x＜1”構(gòu)成的集合，只有一個元素；集合B是使不等式x＜1成立的所有實數(shù)x構(gòu)成的集合，是無限集． 以后我們還要學(xué)習(xí)用區(qū)間來表示集合． 【設(shè)計意圖】通過學(xué)生閱讀歸納方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、歸類整理意識． ●活動②互動交流、初步實踐 組織課堂討論：我們能否選擇適當(dāng)方式表示一開始給出的7個不同集合? （1）~（4）可采用列舉法，（5）~（7）可用描述法，分別表示為： （1）A＝{太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋}； （2）B＝{北京市，天津市，上海市，重慶市} （3）C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}； （4）D＝{1，－2}； （5）E＝{P︱P為正方形}； （6）F＝{P︱PA＝PB}； （7）G＝{x∈R︱x－7＜3}或G＝{x∈R︱x＜10}． 以上這些表示方法是否是唯一的？ 不唯一，同一個集合有多種不同的表示方法，只要保證元素相同就可以了． 【設(shè)計意圖】通過討論認識列舉法與描述法的異同與表示集合中優(yōu)劣，培養(yǎng)規(guī)范表達的基本功． 活動③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋 例1以下元素的全體不能構(gòu)成集合的是（） A．大于3小于11的偶數(shù) B．我國的小河流 C．我校高一年級的全體學(xué)生 D．與直線AB平行的所有直線 【知識點】集合的含義、集合的確定性、互異性、無序性． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】選項B中元素不確定． 【思路點撥】通過集合中元素特性判斷． 【答案】B． 同類訓(xùn)練以下元素的全體不能構(gòu)成集合的是（） A．使1＜x≤6成立的全體實數(shù) B．中國的唐宋八大家 C．所在班級中頭發(fā)短的男生 D．與△ABC全等的所有三角形 【知識點】集合的含義、集合的確定性、互異性、無序性． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】選項C中元素不確定． 【思路點撥】通過集合中元素特性判斷． 【答案】C． 例2下列符號使用正確的是（） A．∈N B．∈Z C．∈Q D．R 【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】是有理數(shù)、實數(shù)，不是自然數(shù)，不是整數(shù)． 【思路點撥】正確識記數(shù)集記法，正確使用“”、“”符號． 【答案】C． 同類訓(xùn)練下列符號使用正確的是（） A．{1}∈{1，2，3} B．1∈{x︱x＜2} C．0∈{x︱x2＋1＝0} D．R 【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】1＜2成立，則1∈{x︱x＜2}． 【思路點撥】正確識記數(shù)集記法，正確使用“”、“”符號． 【答案】B． 【設(shè)計意圖】鞏固檢查集合的含義、元素與集合的關(guān)系． ●活動4強化提升、靈活應(yīng)用 例3設(shè)集合A＝{(x,y)︱x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列舉法表示集合A． 【知識點】集合的表示法． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想． 【解題過程】x分別取0，1，2，3，4，5，6，羅列取值判斷． 【思路點撥】關(guān)注列舉法與描述法的特點，弄清元素特征． 【答案】{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}． 同類訓(xùn)練設(shè)集合A＝{x∈Z︱∈Z}，用列舉法表示集合A． 【知識點】集合的表示法． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想． 【解題過程】6被2－x整除，羅列x取值判斷． 【思路點撥】關(guān)注列舉法與描述法的特點，弄清元素特征． 【答案】{－4，－1，0，1，3，4，5，8}． 【設(shè)計意圖】鞏固檢查集合的表示法，熟練數(shù)集記法．3.課堂總結(jié) 知識梳理 （1）我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（set），簡稱集．一個集合的元素有確定性、互異性、無序性三個特性． （2）我們將一些常用的數(shù)集表示為：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*或N＋；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q：實數(shù)集R． （3）集合可以用自然語言、圖形語言、數(shù)學(xué)語言（列舉法、描述法）來表示． 重難點歸納 （1）元素與集合間的關(guān)系用“∈”、“”來表示，涉及到含參數(shù)問題要注意分類討論，并能用元素的互異性進行檢驗． （2）選擇合理的形式來表示集合要不斷嘗試、總結(jié)，特別要用好列舉法和描述法，并能區(qū)分使用兩種方法的優(yōu)點、缺點．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破 1．下列元素全體不能構(gòu)成集合的是（） A．一書本上的所有漢字 B．高一（1）班第一次月考數(shù)學(xué)成績在135分以上的同學(xué) C．方程x2＋2x＋1＝0的所有實數(shù)解 D．非常小的正數(shù) 【知識點】集合的含義． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】D選項中非常小的正數(shù)無法確定． 【思路點撥】根據(jù)集合元素的確定性進行判斷． 【答案】D． 2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（） A．3.14159 B．－2 C． D． 【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷，以及對實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的區(qū)分和概念認知. 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】根據(jù)題意找出無理數(shù)． 【思路點撥】熟記常用數(shù)集的記法． 【答案】D． 3．設(shè)集合M＝{(2,1)，(1,2)}，則下列結(jié)論成立的是（） A．1∈M B．2∈M C．(1,2)∈M D．M中僅有一個元素 【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】(1,2)，(2,1)為M的兩個不同的元素． 【思路點撥】正確理解一個二元數(shù)對構(gòu)成集合的一個元素． 【答案】C．4．若以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－4＝0的解為元素的集合為A，則A中元素的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知識點】集合的確定性、互異性、無序性． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】兩個方程的解分別為2，3以及－2，2，則A＝{－2,2,3}． 【思路點撥】集合中元素具有互異性特點． 【答案】C． 5．下列關(guān)系中：①－∈R；②Q；③N*；④－∈Q；⑤－5Z；⑥0∈N．其正確的是________． 【知識點】元素與集合的關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】逐一判斷． 【思路點撥】區(qū)分常用數(shù)集的記法． 【答案】①②⑥． 6．設(shè)集合A＝{x︱ax2＋4x＋1＝0，a∈R}只有一個元素，則a的值為________． 【知識點】集合的表示法． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想． 【解題過程】當(dāng)a＝0時，成立；當(dāng)a≠0時，16－4a＝0，得a＝4． 【思路點撥】正確理解集合A為方程ax2＋4x＋1＝0的解集． 【答案】0或4．能力型師生共研 7．設(shè)a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a＋b}，則b－a＝（） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【知識點】集合的含義、元素與集合的關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】由{1，a}＝{0，a＋b}，則所以故b－a＝1． 【思路點撥】兩個集合相等，則兩個集合的元素對應(yīng)相等． 【答案】A． 8．設(shè)集合A＝{2，3，a2＋2a－3}，B＝{a＋3，2}．若已知5∈A，且5B，求實數(shù)a的值． 【知識點】元素與集合的關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】由5∈A，且5B，則解得a＝－4． 【思路點撥】利用元素與集合關(guān)系構(gòu)造方程組或數(shù)量關(guān)系求解． 【答案】－4．探究型多維突破 9．設(shè)集合A＝{2，3，a2＋4a＋2}，B＝{0，7，a2＋4a－2，2－a}，且7∈A，求集合B． 【知識點】集合的含義、集合之間的關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想． 【解題過程】由7∈A，則a2＋4a＋2＝7，得a＝－5或a＝1． 當(dāng)a＝－5時，B中元素2－a＝7，與互異性不符，舍去； 當(dāng)a＝1時，經(jīng)檢驗成立；所以B＝{0，7，3，1}． 【思路點撥】利用元素與集合關(guān)系構(gòu)造方程，并用元素特性檢驗． 【答案】B＝{0，7，3，1}． 10．若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該數(shù)集為“可倒數(shù)集”． （1）判斷集合A＝{－1，1，2，3}是否為“可倒數(shù)集”； （2）試寫出一個含3個元素的“可倒數(shù)集”． 【知識點】集合的含義、元素與集合的關(guān)系、集合的表示法． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想． 【解題過程】（1）由于2的倒數(shù)，3的倒數(shù)均不在集合A中，故A不是“可倒數(shù)集”． （2）可以取集合A＝{1，2，}或{－1，2，}等． 【思路點撥】把握集合元素特征，著力區(qū)分一個數(shù)與其倒數(shù)相等或不相等的情況． 【答案】（1）不是；（2）A＝{1，2，}等．自助餐 1．若2∈{1，x2＋x，x}，則x的值為（） A．－2或1 B．2 C．2或－2 D．－2或2或1 【知識點】元素與集合的關(guān)系、集合的含義． 【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想． 【解題過程】若x2＋x＝2，解得x＝－2或x＝1，經(jīng)檢驗x＝1應(yīng)舍去．若x＝2，成立．綜合得x＝－2或x＝2． 【思路點撥】利用元素與集合的關(guān)系分類討論． 【答案】C． 2．下面有五個命題： ①a∈N，b∈N，則a＋b∈N； ②a∈N，b∈N，則a－b∈N； ③a∈Z，b∈Z，則a·b∈Z； ④a∈Z，b∈Z，則∈Z；； ⑤集合{0}中沒有元素． 其中正確命題的個數(shù)是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【知識點】集合的含義、元素與集