高一數(shù)學必修第一冊同步學與練（人教A版）第02講 集合間的基本關(guān)系（解析版）

第02講1.2集合間的基本關(guān)系

課程標準學習目標

1．能利用集合間的包含關(guān)系解決兩個集合間的問題。

①理解集合之間包含與相等的含義，能識別

2．在解決集合問題時，易漏集合的特殊形式，比如集

給定集合的子集、真子集;

合是空集時參數(shù)所具備的意義。

②理解與掌握空集的含義，在解題中把握空

3.能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系。

集與非空集合、任意集合的關(guān)系。

4.判斷集合之間的關(guān)系時，要從元素入手。

知識點01：venn圖（韋恩圖）

在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為Venn圖。

Venn圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用Venn圖，可以使問題簡單明了地得到解決。

對Venn圖的理解

(1)表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線.

(2)用Venn圖表示集合的優(yōu)點是能夠呈現(xiàn)清晰的視覺形象,即能夠直觀地表示集合之間的關(guān)系,缺點是集合元

素的公共特征不明顯.

知識點02：子集

1子集：

一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有

包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集

（1）記法與讀法：記作AB(或BA)，讀作“A含于B”(或“B包含A”)

（2）性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，即AA.

②對于集合A，B，C，若AB，且BC，則AC

（3）venn圖表示：

2集合與集合的關(guān)系與元素與集合關(guān)系的區(qū)別

符號“”表示集合與集合之間的包含關(guān)系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關(guān)系.

【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）寫出集合{a,b}的所有子集．

【答案】,a,b,a,b

【詳解】集合{a,b}的所有子集有：,a,b,a,b

知識點03：集合相等

一般地,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,那

么集合A與集合B相等,記作AB.也就是說,若AB,且BA,則AB.

（1）AB的venn圖表示

（2）若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān)

【即學即練2】（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考階段練習）下面說法中不正確的為（）

A．x|xy1y|xy1B．x,y|xy2x|xy2

C．{x|x2}{y|y2}D．1,22,1

【答案】B

【詳解】對于A，因x|xy1R，y|xy1R，即x|xy1y|xy1，A正確；

對于B，因集合x,y|xy2的元素為有序數(shù)對，而x|xy2的元素為實數(shù)，兩個集合的對象不同，

B不正確；

對于C，因集合{x|x2}與{y|y2}都表示大于2的數(shù)形成的集合，即{x|x2}{y|y2}，C正確；

對于D，由列舉法表示集合知1,22,1正確，D正確.

故選：B

知識點04：真子集的含義

如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集;

（1）記法與讀法：記作AüB，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)

（2）性質(zhì)：

①任何一個集合都不是是它本身的真子集.

②對于集合A，B，C，若AüB，且BüC，則AüC

（3）venn圖表示：

【即學即練3】（2023·全國·高三專題練習）滿足條件：{a}Ma,b,c,d的集合M的個數(shù)為______.

【答案】7

【詳解】由{a}Ma,b,c,d可知，

M中的元素個數(shù)多于a中的元素個數(shù)，不多于a,b,c,d中的元素個數(shù)

因此M中的元素來自于b,c,d中，

即在b,c,d中取1元素時，M有3個；取2個元素時，有3個；取3個元素時，有1個，

故足條件：{a}Ma,b,c,d的集合M的個數(shù)有7個，

故答案為：7.

知識點05：空集的含義

我們把不含任何元素的集合，叫做空集，記作：

規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A;

性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，

(2)A，則üA

和0和{0}和{}

相同點都表示無都是集合都是集合

不同點表示集合；不含任何元素不含任何元素

0是實數(shù){0}含有一個元素0{}含有一個元素，該元

素為：

關(guān)系0ü{0}ü{}或者{}

【即學即練4】（2023·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習）有下列四個命題：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，

2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①錯誤，②正確；

11,2,3，故③正確，④錯誤，正確的個數(shù)為2.

故選：B

題型01判斷兩個集合的包含關(guān)系

【典例1】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關(guān)系中錯．誤．的是（）

A．{(a,b)}{a,b}B．{0,2}ZC．{0}D．{0,1}{1,0}

【答案】A

【詳解】對于A：集合{(a,b)}為點集，含有元素a,b，集合{a,b}含有兩個元素a，b，

所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故A錯誤；

對于B：{0,2}Z，故B正確；

對于C：{0}，故C正確；

對于D：因為{0,1}{1,0}，所以{0,1}{1,0}，故D正確；

故選：A

【典例2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合Ax|1x6,Bx|2x3，則（）

A．BAB．BAC．ABD．AB

【答案】B

【詳解】由題意知，，

所以BA.

故選：B.

1n1

【典例3】（2023·高三課時練習）已知集合Mxxm,mZ，Nxx,nZ，

623

p1

Pxx,pZ，則M、N、P的關(guān)系滿足（）

26

A．M=NPB．MNPC．MNPD．NPM

【答案】B

16m132m1

【詳解】Mxxm，mZxx，mZxx，mZ，

666

n13n113k1

Nxx，nZxx，nZxx，kZ，

2366

p13p1

Pxx，pZxx，pZ，

266

所以MNP.

故選：B．

【典例4】（2023·高一單元測試）設集合Axxa21,aN，Byyb24b5,bN，則集合

A與B的關(guān)系是______．

【答案】BüA

【詳解】因為Byyb24b5,bNyy(b1)21,bN，

Axxa21,aN，

顯然b12,bN，而aN，

所以B中元素都屬于A，而A中元素2B，

所以BüA.

k

【變式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學校考階段練習）若A{x|x1,kZ}，

6

k12k1

B{x|x,kZ}，C{x|x,kZ}，則這三個集合間的關(guān)系是（）

3232

A．ABCB．ACBC．CBAD．CAB

【答案】C

k6(k3)32k3

【詳解】依題意，A{x|x,kZ}{x|x,kZ}，B{x|x,kZ}，

666

4k322k3

C{x|x,kZ}{x|x,kZ}，而{x|xk3,kZ}Z，{偶數(shù)}{x|x2k,kZ}，

66

因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有CB，集合B中的每一個元素都是集合A中的元素，

即BA，

所以CBA.

故選：C

題型02判斷子集（真子集）的個數(shù)

【典例1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）設集合A{xN*|1x3}，則集合A的真子集個數(shù)是（）

A．6B．7C．8D．15

【答案】B

【詳解】因為A{xN*|1x3}，

所以A{1,2,3}，

所以集合A的真子集個數(shù)是2317，

故選：B．

【典例2】（2023·高一單元測試）已知集合A{x|x23x20,xR}，B{x|0x8,xN}，則滿足

條件ACB的集合的個數(shù)為_____個.

C

【答案】31

【詳解】集合A{x|x23x20,xR}1,2，B{x|0x8,xN}1,2,3,4,5,6,7，

由ACB得1,2C1,2,3,4,5,6,7所以是3,4,5,6,7的真子集

,C

故有25131，

故答案為：31

【變式1】（2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預測）已知A1,2，B1,2,6,7,8，且AüCB，滿足這樣的集合

C的個數(shù)（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可知，集合C還應包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；

若集合C中有三個元素，則C可以是1,2,6,，1,2,7，1,2,8；

若集合C中有四個元素，則C可以是1,2,6,7，1,2,7,8，1,2,6,8；

若集合C中有五個元素，則C可以是1,2,6,7,8；即這樣的集合C的個數(shù)為7個.

故選：B

6*

【變式2】（2023·全國·高一專題練習）集合Axx70,xN，則B{y|N,yA}的子集的個數(shù)

y

為（）

A．4B．8C．15D．16

【答案】D

【詳解】集合A{x|x70，xN*}x|x7,xN*{1,2,3,4,5,6,

6

B{y|N*,yA}1,2,3,6，

y

故B有2416個子集.

故選：D．

題型03求集合中子集（真子集）

【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知集合A{x∣1x7}，B{x∣a2x2a1}，

若使BA成立的實數(shù)a的取值集合為M，則M的一個真子集可以是（）

A．{x∣x4}B．{x∣x3}C．{x|3x4}D．{x|4x5}

【答案】BC

【詳解】由題意集合A{x∣1x7}，B{x∣a2x2a1}，

因為BA，所以當B時，a22a1，即a3；

當B時，有1a22a17，解得3a4，

故M(,4],則M的一個真子集可以是(,3]或3,4，

故選：BC.

【典例2】（2023·高一課時練習）設A{1,2}，B{x|xA}若用列舉法表示，則集合B是________.

【答案】{?，{1}，{2}，{1,2}}

【詳解】由題意得，A＝{1,2}，B＝{x|x?A}，

則集合B中的元素是集合A的子集：?，{1}，{2}，{1,2}，

所以集合B＝{?，{1}，{2}，{1,2}}，

故答案為：{?，{1}，{2}，{1,2}}.

【變式1】（多選）（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學?？计谀┮阎螹{2,4}，集合

MN，N是{1,2,3,4,5}的真子集，則集合N可以是（）

A．{2,4}B．{2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}

【答案】ABC

【詳解】集合M{2,4}，集合MN{1,2,3,4,5}，

則集合N中至少包含2，4兩個元素，又不能等于或多于{1，2，3，4，5}中的元素，

所以集合N可以是{2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

故選：ABC

題型04空集的概念集判斷

【典例1】（2023·河北·高三學業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是()

A．{xR|x210}B．{x|x6或x1}

C．{(x,y)|x2y20}D．{x|x6且x1}

【答案】D

【詳解】A選項：1{xR|x210}，不是空集；B選項：7{x|x>6或x<1}，不是空集；

C選項：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項：不存在既大于6又小于1的數(shù)，

即：{x|x>6且x<1}=.

故選：D

【典例2】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）下列各式中：①00,1,2；②0,1,22,1,0；

③0,1,2；④0；⑤0,10,1；⑥00.正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯誤；

②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患?，則0,1,22,1,0，正確；

③空集是任意集合的子集，故0,1,2，正確；

④空集沒有任何元素，故0，錯誤；

⑤兩個集合所研究的對象不同，故0,1,0,1為不同集合，錯誤；

⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯誤；

∴②③正確.

故選：B.

【變式1】（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列六個關(guān)系式：①a,bb,a；②a,bb,a；③；

④0；⑤0；⑥00．其中正確的個數(shù)是（）

A．1B．3C．4D．6

【答案】C

【詳解】①正確，集合中元素具有無序性；

②正確，任何集合是自身的子集；

③錯誤，表示空集，而表示的是含這個元素的集合，所以不成立.

④錯誤，表示空集，而0表示含有一個元素0的集合，并非空集，所以0不成立；

⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；

⑥正確，由元素與集合的關(guān)系知，00．

故選：C.

【變式1】（多選）（2023·全國·高一校聯(lián)考階段練習）下列關(guān)系中正確的是（）

A．0B．

C．D．0

【答案】BCD

【詳解】選項A：空集中沒有元素，故A錯誤；

選項B：中只有一個元素，故B正確；

選項C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正確

故選：BCD

題型05空集的性質(zhì)及應用

【典例1】（2023·全國·高一專題練習）已知集合M{x|2mxm1}，且M，則實數(shù)m的取

值范圍是____.

【答案】m≥1

【詳解】∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.

故答案為m≥1

xa10

【典例2】（2023·高一課時練習）不等式組(a0)的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是

ax0

_____________.

【答案】{a|a￡-1}

xa10

【詳解】解：∵不等式組(a0)的解集為，

ax0

xa10

①當a0時，由ax0求得x0；由xa10，求得xa1，故不等式組(a0)的解集

ax0

為{x|x0}，故不滿足條件；

②當a<0時，由ax0求得x0；由xa10，求得xa1，

xa10

若a10，即a1時，不等式組(a0)的解集為，滿足條件；

ax0

xa10

若a10，即0a1時，不等式組(a0)的解集為{x|a1x0}，不滿足條件，

ax0

綜上可得實數(shù)a的取值范圍是{a|a￡-1}，

故答案為：{a|a￡-1}．

【變式1】（2022秋·湖南永州·高一?？茧A段練習）若集合xRax2為空集，則實數(shù)a的取值范圍

是______.

【答案】{aa2或a2}

【詳解】因為集合xRax2為空集，所以a2，即a2或a2.

故答案為：{aa2或a2}

題型06判斷兩個集合是否相等

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（）

A．M(x,y)xy1,Nyxy1B．M{1,2},N{2,1}

C．M{(3,2)},N{(2,3)}D．M{1,2},N{(1,2)}

【答案】B

【詳解】對AD，兩集合的元素類型不一致，則M1N，AD錯；

對B，由集合元素的無序性可知，M=N，B對；

對C，兩集合的唯一元素不相等，則M1N，C錯；

故選：B

xy1

【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）下列與集合Mx,y表示同一個集合

xy30

的有（）

A．2，1B．2,1C．x,y|x2,y1D．x2,y1

【答案】AC

xy1x2

【詳解】由解得,

xy30y1

所以M2,1，

所以根據(jù)集合的表示方法知A，C與集合M表示的是同一個集合，

集合2,1的元素是2和1兩個數(shù)，x2,y1的元素是x2和y1這兩個等式，與集合M的元素是

有序數(shù)對(可以看做點的坐標或者對應坐標平面內(nèi)的點)不同,故BD錯誤.

故選：AC．

【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）下面說法中，正確的為（）

A．xxy1yxy1B．x,yxy2xxy2

C．xx2yy2D．1,22,1

【答案】ACD

【詳解】解：方程xy1中x的取值范圍為R，所以xxy1R，同理yxy1R，所以A正確；

x,yxy2表示直線xy2上點的集合，而xxy2R，所以x,yxy2xxy2，

所以B錯誤；

集合xx2，yy2都表示大于2的實數(shù)構(gòu)成的集合，所以C正確；

由于集合的元素具有無序性，所以1,22,1，所以D正確．

故選：ACD．

題型07根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合A0,1,a2，B1,0,3a2，若AB，則a等于（）

A．1或2B．1或2C．2D．1

【答案】C

【詳解】解：因為AB，所以a23a2，解得a1或a2.

當a1時，a21，與集合元素互異性矛盾，故a1不正確.

經(jīng)檢驗可知a2符合.

故選：C

【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一秀全中學?？计谀┮阎螦xa1x2a1，

Bxx26x50.

(1)若AB，求實數(shù)a的值；

【答案】(1)a2

【詳解】（1）由已知得Bxx26x50x1x5

AB

a11

，

2a15

解得a2；

【變式1】（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）設a,bR，P1,a，Q1,b，若P=Q，則ab_________.

【答案】-2

【詳解】P1,a，Q1,b，若P=Q，則有a1,b1，ab2.

故答案為：-2.

題型08根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【典例1】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）已知集合AxN|x2,Bx∣ax10，若BA，則實

數(shù)a（）

A．1或1B．0或1C．1D．1

22

【答案】B

【詳解】解：由集合AxN*|x20,1，

對于方程ax10，

當a0時，此時方程無解，可得集合B，滿足BA；

11

當a0時，解得x，要使得BA，則滿足1，可得a1，

aa

所以實數(shù)a的值為0或1.

故選：B.

【典例2】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谥校┮阎螦1,Bxx22xa0,xR，

且AB，則實數(shù)a的值是_________．

【答案】-3

【詳解】因為A1，Bxx22xa0，AB，

所以x1是方程x22xa0的解，

即1221a0，解得a3.

經(jīng)檢驗，a3符合題意，所以a3.

故答案為：3.

【典例3】（2023秋·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）已知集合Ax|x23x20,B=x|x2a1xa0

（1）當AB時，求實數(shù)a的值；

（2）當AB時，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）a2；（2）2,

【詳解】分析：利用一元二次不等式的解法，化簡集合Ax|1x2,化簡集合Bx|1xa,（1）利

用集合相等的定義可得結(jié)果；（2）利用子集的定義可得結(jié)果.

詳解：由x23x20，可得1x2，

所以Ax|1x2,

由x2(a1)xa0可得，1xa

集合Bx|1xa,

（1）因為AB，所以a2；

（2）因為AB，所以a2，

即實數(shù)a的范圍是2,.

【變式1】（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習）已知集合Axa1xa2，Bx3x5，則

使AB成立的實數(shù)a的取值范圍是_____．

【答案】3a4

a13

【詳解】因為AB，所以，解得3a4，故實數(shù)a的取值范圍是3a4.

a25

故答案為：3a4

【變式2】（2023·高一課時練習）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B?A，求實數(shù)a，b的值．

【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．

【詳解】因為B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B?A，

①當B中有一個元素時，B＝{1}或B＝{﹣1}

(a)24b0

當B＝{1}時，，解得a＝2，b＝1；

1ab0

(a)24b0

當B＝{﹣1}時，，解得a＝﹣2，b＝1；

1ab0

a

1+1=

1

②當B中有兩個元素時，B＝A，即B＝{﹣1，1}，，解得a＝0，b＝﹣1；

b

(1)1

1

③當B時，只需滿足a2﹣4b＜0，

題型09新定義題

【典例1】（2023·全國·高一專題練習）給定集合S1,2,3,4,5,6,7,8，對于xS，如果x1S,x1S，

那么x是S的一個“好元素”，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________

個．

【答案】6

【詳解】若不含好元素，則集合S中的3個元素必須為連續(xù)的三個數(shù)，

故不含好元素的集合共有1,2,3,{2,3,4},{3,4,5},4,5,6,5,6,7,6,7,8，

共有6個.

故答案為：6．

【典例2】（2023·高一課時練習）設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，若k1A且k1A，則

k是A的一個“孤立元”，給定S1,2,3,4,5,6,7,8,9，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”

的集合共有_________個．

【答案】7

【詳解】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合S不含“孤立元”，

則集合S中的三個數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，

6,7,8，7,8,9，共7個．

故答案為：7.

本節(jié)重點方法（數(shù)軸輔助法）

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知集合Ax|x4或x5，Bx|a1xa3，若BA，

則實數(shù)a的取值范圍_________．

【答案】a|a8或a3

【詳解】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，

或

要使BA，只需a35或a14，解得a8或a3．

所以實數(shù)a的取值范圍a|a8或a3.

故答案為：a|a8或a3

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知集合Axx1或x4，Bx2axa3，若BA，

則實數(shù)a的取值范圍是________．

【答案】aa4或a2

【詳解】當B時，2aa3，即a3，滿足要求；

a32aa32a

當B時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或，

a312a4

解得a<-4或2a3．

綜上，實數(shù)a的取值范圍為aa4或a2.

故答案為aa4或a2.

本節(jié)數(shù)學思想方法（分類討論法）

【典例1】（2023·高一課時練習）已知集合Axx2ax40，B1,4，且AB，求實數(shù)a的取

值范圍．

【答案】{a∣4a4或a5}

【詳解】由題意知AB，若A，則a2440，解得4a4，

若A，a2160，解得a4或4，

當a4時，則方程為x24x40，解得x2，此時A{2}，不合題意，舍去，

當a4時，則方程為x24x40，解得x2，A{2}，不合題意，舍去，

當0，即a2160，解得a4或a<-4，則由題意知A{1,4}，

則1,4為方程x2ax40兩根，根據(jù)韋達定理得a145，

綜上所述a的范圍是{a∣4a4或a5}.

【典例2】（2023·高一課時練習）已知集合Mx2x5.

(1)若Nxm1x2m1，NM，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)若Nxm6x2m1，MN，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)mm3

(2)m3m4

【詳解】（1）①若N，則m12m1，即m2，此時NM；

m12m1

②若N，則2m1，解得2m3.

2m15

綜合①②，得實數(shù)m的取值范圍是mm3.

m62

（2）（2）若MN，則，解得3≤m≤4，

2m15

所以實數(shù)m的取值范圍是m3m4.

本節(jié)易錯題（忽略空集）

【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）集合A{x|x1或x3}，

Bx|ax10,aZ，若BA，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．1B．0,1C．0D．

【答案】C

【詳解】因為A{x|x1或x3}，Bx|ax10,aZ，

當a0時B，此時BA，符合題意；

當a0時，

1

若a0則Bx|x,aZ，因為BA，

a

1

所以1，解得0a1，又aZ，所以a，

a

1

若a<0則Bx|x,aZ，因為BA，

a

11

所以3，解得a0，又aZ，所以a，

a3

綜上可得a0，即實數(shù)a的取值范圍是0.

故選：C

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知集合Mxx2x60，Nxmx10，若NM，

則實數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為___________.

11

【答案】0,,

23

【詳解】∵集合Mxx2x60，

∴集合M2,3，

∵NM，Nxmx10，

∴N，或N2，或N3三種情況，

當N時，可得m0；

11

當N2時，∵Nxmx10，∴x2，∴m；

m2

11

當N3，x3，∴m；

m3

11

∴實數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為0,,，

23

11

故答案為：0,,

23

1.2集合間的基本關(guān)系

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知集合Ax|0x5,且xN，則集合A的子集的個數(shù)為（）

A．15B．16C．31D．32

【答案】D

【詳解】因為Ax|0x5,且xN0,1,2,3,4，可知，集合A中含有5個元素，所以集合A的子集個

數(shù)為2532.

故選：D.

2．（2023·全國·高一專題練習）已知集合Axyx2，Bxxa，若AB，則a的取值范圍為

（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)0D．a(chǎn)0

【答案】A

【詳解】由題意得x20，解得x2，故Axx2，

因為AB，所以a2.

故選：A

3．（2023春·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學考試）下面五個式子中：①aa；②a；③aa,b；

④aa；⑤ab,c,a，正確的有（）

A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤

【答案】C

【詳解】解：①中，a是集合a中的一個元素，aa，所以①錯誤；

②中，空集是任一集合的子集，所以②正確；

③中，a是a,b的子集，aa,b，所以③錯誤；

④中，任何集合是其本身的子集，所以④正確；

⑤中，a是b,c,a的元素，所以⑤正確.

故選：C.

4．（2023春·云南紅河·高二校考階段練習）已知集合A{x|0x3}，B{x|x4}，則下列說法正確的

是（）

A．ABB．BAC．ABD．AB

【答案】C

【詳解】因為A{x|0x3}，B{x|x4}，

所以由數(shù)軸法可知AB.

故選：C．

5．（2023·北京東城·高三專題練習）已知集合A{2,3,1}，集合B{3,m2}.若BA，則實數(shù)m的取值集

合為（）

A．{1}B．{3}

C．{1,1}D．{3,3}

【答案】C

【詳解】由于BA，所以m21m1，

所以實數(shù)m的取值集合為{1,1}.

故選：C

2

6．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？茧A段練習）已知集合A0,1,2,B1,，且BA，

x

則實數(shù)x（）

A．1B．2C．1或2D．0

【答案】A

2

【詳解】因為集合A0,1,2,B1,，且BA，

x

222

所以{0,2,1}，且1，則2，解得：x1，

xxx

故選：A.

二、多選題

7．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（）

A．0

B．若aZ，則aZ

C．集合yy2x,xQ是無限集

D．集合x1x2,xN的子集共有4個

【答案】BCD

【詳解】對于A：是指不含任何元素的集合，故A錯誤；

對于B：若aZ，則aZ，故B正確；

對于C：有理數(shù)有無數(shù)個，則集合yy2x,xQ是無限集，故C正確；

對于D：集合x1x2,xN0,1元素個數(shù)為2個，

故集合x1x2,xN的子集共有224個，故D正確．

故選：BCD．

8．（2023秋·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學?？计谥校┮阎螦xRx23x180，

BxRx2axa2270，則下列命題中正確的是（）

A．若AB，則a3B．若AB，則a3

C．若B，則a6或a6D．若BüA時，則6a3或a6

【答案】ABC

【詳解】AxR3x6，若AB，則a3，且a22718，故A正確.

a3時，AB，故D不正確.

2

若AB，則3a3a2270且626aa2270，解得a3，故B正確.

當B時，a24a2270，解得a6或a6，故C正確.

故選：ABC．

三、填空題

9．（2023·全國·高一專題練習）已知集合M滿足0,1M0,1,3,5,6則集合M的個數(shù)為______．

【答案】7

【詳解】因為0,1üM0,1,3,5,6，

所以M可以為：0,1,3，0,1,5，0,1,6，0,1,3,5，0,1,3,6，0,1,5,6，

0,1,3,5,6共計7個，

故答案為：7.

10．（2023·高一單元測試）已知集合Ax2ax22a8x10有且僅有兩個子集，則a的取值集合為

___________.

【答案】0,2,8

2

【詳解】由題意，集合Ax2ax2a8x10有且僅有兩個子集，則集合A只有一個元素，

1

當a0時，8x10，解得x=，符合題意；

8

2

當a0時，2a842a10，解得a2或a8，

1

當a2時，Ax4x24x10，符合題意，

2

1

當a8時，Ax16x28x10，符合題意.

4

綜上所述，a的取值集合為0,2,8.

故答案為：0,2,8.

四、解答題

11．（2023·高一課時練習）設集合Axx210，B{x|x2axb0}，且B．

(1)若AB，求實數(shù)a,b的值；

(2)若AC，且C1,2m1,m2，求實數(shù)m的值．

【答案】(1)a0，b=-1

(2)m0或1

【詳解】（1）由x2-1=0解得x1，所以A{1,1}，

因為AB，所以1,1是集合B中元素，

1ab0

所以將x1代入x2axb0得，解得a0，b=-1.

1ab0

（2）因為AC，由（1）得1,1是集合C中元素，

當2m11即m0時，此時C{1,1,0}符合題意；

當m21時，①m1，此時C{1,3,1}符合題意；

②m1，此時不滿足集合元素的互異性，舍去；

綜上m0或1.

1

12．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B?A，求實數(shù)a

2

的取值范圍．

1

【答案】實數(shù)a的取值范圍,2.

2

1

【詳解】解：a0時，A＝R，B＝{x|－<x≤2}，滿足B?A，符合題意；

2

14114

a0時，Axx，因為B?A，所以,2，解得0a2，

aaa2a

414111

a<0時，Axx，因為B?A，所以,2，解得a0，

aaa2a2

1

故綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為,2.

2

B能力提升

141

1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┤艏螦x|x2k1,kZ，Bx|xk,kZ，則

999

集合A，B之間的關(guān)系表示最準確的為（）

A．ABB．BAC．A=BD．A與B互不包含

【答案】C

41

【詳解】對于集合A，當k2nnZ時，Ax|xn,nZ，當k2n1nZ時，

99

41

Ax|xn,nZ，所以A=B.

99

故選：C.

2．（2023·全國·高三專題練習）設a，b是實數(shù)，集合Axxa1,xR，Bx||xb|3,xR，且AB，

則ab的取值范圍為（）

A．0,2B．0,4C．2,D．4,

【答案】D

【詳解】集合Axxa1,xRx|a1xa1，

Bxxb3,xRx|xb3或xb3

又AB，所以a1b3或a1b3

即ab4或ab4，即ab4

所以ab的取值范圍為4,

故選：D

3．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知集合Ax∣ax22xa0,aR，若集合A有且僅有2個

子集，則a的取值有（）

A．-2B．-1C．0D．1

【答案】BCD

【詳解】因為集合A僅有2個子集，所以集合A中僅有一個元素，

當a0時，2x0，所以x0，所以A0，滿足要求；

當a0時，因為集合A中僅有一個元素，所以44a20，所以a1，此時A1或A1，滿足

要求，

故選：BCD.

4．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎狝＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，

若AB，則實數(shù)a的取值范圍是______