高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步學(xué)與練（人教A版）第02講 基本不等式（解析版）

第02講2.2基本不等式

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不

等式）的內(nèi)容，成立條件及公式的證明。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握基本不等式成立的條件，

②利用基本不等式的性質(zhì)及變形求相關(guān)函運(yùn)用基本不等式這一重要的工具解決與最值有關(guān)的問

數(shù)的最值及證明。題，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單問題的證明.

知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

基本不等式:a0,b0,ab2ab,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”號(hào)）其中ab叫做正數(shù)a，b的

ab

幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)a，b的算數(shù)平均數(shù)．

2

如果a,bR，有a2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”號(hào)）

特別的，如果a0,b0,用a,b分別代替a,b,代入a2b22ab，可得：ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)

ab時(shí)，“”號(hào)成立.

知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值

①已知x，y是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值2P；

S2

②已知x，y是正數(shù)，如果和xy等于定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，積xy有最大值；

4

知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈

2aba2b2

ab

11（其中a0，b0當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”號(hào)）

22

ab

知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式

abc

如果a0，b0，c0，那么3abc（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取“”號(hào)）

3

題型01對(duì)基本不等式的理解

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（）

1

A．x2B．a(chǎn)b2ab

x

222

abab22

C．D．a(chǎn)b2ab

22

【答案】D

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x0時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，ab2ab成立的條件為a0,b0，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)ab0時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D選項(xiàng)，由于a2b22abab0，故a2b22ab，正確.

故選：D

【典例2】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谀┮韵陆Y(jié)論正確的是（）

(x1)2

A．函數(shù)y的最小值是4

x

ba

B．若a,bR且ab0，則2

ab

1

C．若xR，則x23的最小值為3

x22

1

D．函數(shù)y2x(x0)的最大值為0

x

【答案】BD

(x1)2

【詳解】A.對(duì)于函數(shù)y，當(dāng)x0時(shí)，y0，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

x

ba

B.由于ab0，所以0,0，

ab

bababa22

所以22，當(dāng)且僅當(dāng),ab時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.

ababab

111

C.x23x2212x2213，

x22x22x22

1

但x22無(wú)解，所以等號(hào)不成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

x22

111

D.由于x0，所以y2x2x22x0，

xxx

1

當(dāng)且僅當(dāng)x,x1時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.

x

故選：BD

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列不等式中正確的是（）

423ab

A．a(chǎn)4B．x23C．a(chǎn)bD．a(chǎn)2b24ab

ax22

【答案】B

4

【詳解】A.當(dāng)a<0時(shí)，a0，故錯(cuò)誤；

a

3323

B.x22x223，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x43時(shí)，取等號(hào)，故正確；

x2x2x2

ab

C.當(dāng)a0,b0時(shí)，ab，故錯(cuò)誤；

2

D.由重要不等式得a2b22ab，故錯(cuò)誤；

故選：B

題型02由基本不等式比較大小

【典例1】（多選）（2022秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰O(shè)a,b為正實(shí)數(shù)，ab4，則下列

不等式中對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是（）

11

A．a(chǎn)b4B．a(chǎn)2b28C．1D．a(chǎn)b22

ab

【答案】AC

【詳解】A選項(xiàng)，由基本不等式得ab2ab4，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，a1,b4時(shí)，ab4，但a2b2178，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

111111

C選項(xiàng)，由基本不等式得21，，當(dāng)且僅當(dāng),ab2時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確.

ababab

D選項(xiàng)，a1,b4時(shí)，ab4，但ab322，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a,b(0,1)且a1b，下列各式中最大的是_____.(填序號(hào))

①a2b2；②2ab；③2ab；④ab.

【答案】④

【詳解】因?yàn)閍,b(0.1)，所以a2a，b2b，aa，bb，

所以a2b2ab，abab，當(dāng)a1b時(shí)，

ab

由基本不等式可知ab，所以ab2ab，

2

由上可知，ab2ab2ab，aba2b2，所以四個(gè)式子中ab最大．

故答案為：④.

【變式1】（多選）（2022秋·廣東汕頭·高一汕頭市聿懷中學(xué)?？计谥校┤鬭0,b0．且ab4，則下

列不等式恒成立的是（）

11

A．0B．a(chǎn)b2

ab4

1111

C．1D．

aba2b28

【答案】CD

2

aba2b2

【詳解】ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立，

22

22

44a2b2

則ab4或，

222

1111

則,ab2,a2b28,，

ab4a2b28

即AB錯(cuò)誤，D正確.

11ab41

對(duì)于C選項(xiàng)，41，C選項(xiàng)正確.

ababab4

故選：CD

題型03由基本不等式證明不等關(guān)系

【典例1】（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a,b是實(shí)數(shù).

(1)求證：a2b22a2b2，并指出等號(hào)成立的條件；

(2)若ab1，求a24b2的最小值.

【答案】(1)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)a1，b=-1時(shí)，不等式等號(hào)成立

(2)4

【詳解】（1）證明：因?yàn)閍2b2(2a2b2)a2b22a2b2

(a1)2(b1)20，

所以a2b22a2b2，

當(dāng)且僅當(dāng)a1，b=-1時(shí)，不等式中等號(hào)成立.

（2）a24b2a2(2b)22a(2b)4ab4，

a2a2

當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即2或2時(shí)，不等式中等號(hào)成立.

bb

22

所以a24b2的最小值為4.

【典例2】（2023秋·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知a0，b0.

1b

(1)若b6，求的最大值；

aa

(2)若a29b22aba2b2，證明：ab8.

【答案】(1)9

(2)證明見解析

11

【詳解】（1）因?yàn)閎6，所以b6.

aa

2

1

b

b1

ba9，

aa2

11

當(dāng)且僅當(dāng)b，a，b3時(shí)，等號(hào)成立，

a3

b

故的最大值為9.

a

（2）證明：因?yàn)閍29b22ab2a29b22ab8ab，

所以a2b28ab，又a0,b0，

解得ab8，

26

當(dāng)且僅當(dāng)a26,b時(shí)，等號(hào)成立.

3

故ab8.

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x,y都是正數(shù)，且xy.

yx

求證：（1）+>2；

xy

2xy

（2）xy.

x+y

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

xyyxyxyx

【詳解】（1）x>0,y>0，>0,>0，+22，由于當(dāng)且僅當(dāng)，即xy時(shí)取等號(hào)，

yxxyxyxy

yx

但xy，因此不能取等號(hào)，+>2；

xy

2xy2xy

（2）x>0,y>0，x+y2xy，xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，但xy，因此不能取等

x+y2xy

2xy

號(hào)，xy.

x+y

題型04利用基本不等式求積的最大值

1

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知0x，則函數(shù)yx(12x)的最大值是（）

2

1111

A．B．C．D．

2489

【答案】C

1

【詳解】∵0x，12x0,

2

112x(12x)1

∴x(12x)2x(12x)[]2，

2228

1

當(dāng)且僅當(dāng)2x12x時(shí)，即x時(shí)等號(hào)成立，

4

11

因此，函數(shù)yx(12x),(0x)的最大值為,

28

故選：C．

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）3aa6，6a3的最大值為_________.

9

【答案】/4.5

2

【詳解】因?yàn)?a3，所以3a0，a60，由基本不等式可得

3aa693

3aa6，當(dāng)且僅當(dāng)3aa6，即a時(shí)，等號(hào)成立．所以3aa6，

222

9

6a3的最大值為.

2

9

故答案為：.

2

2

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知0x，則x12x2的最大值為________.

2

【答案】2

4

2

【詳解】0x,x20,12x20，

2

2222x212x22

x12x22x212x22x212x2，

22224

1

當(dāng)且僅當(dāng)2x212x2，即x時(shí)等號(hào)成立.

2

2

故答案為：.

4

題型05利用基本不等式求和的最小值

a4

【典例1】（2023春·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）設(shè)a0，則a的最小值為（）

a

A．5B．3C．4D．9

【答案】A

a444

【詳解】因?yàn)閍0，所以aa12a15，

aaa

4

當(dāng)且僅當(dāng)a，即a2時(shí)取等號(hào)，

a

a4

所以a的最小值為5，

a

故選：A.

4

【典例2】（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若x0，則x的最小值為__________．

x1

【答案】3

444

【詳解】因?yàn)閤0，由基本不等式得：xx112x113，

x1x1x1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x1，且x0，即x1時(shí)等號(hào)成立．

x1

故答案為：3

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知m,nR，若mn29，則mn的最小值為______

【答案】8

999

【詳解】因?yàn)閙,nR，且mn29，所以n2，則mnm22m28，當(dāng)且僅當(dāng)

mmm

9

m，即m3時(shí)等號(hào)成立，則mn的最小值為8．

m

故答案為:8

題型06利用基本不等式求二次與二次（一次）商式的最值

a23a11

【典例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知a1，則的最小值為___________.

a1

【答案】5

【詳解】令ta1(t0)，則at1，

a23a11(t1)23(t1)11t2t9999

所以t12t15，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t3時(shí)取等號(hào)，

a1ttttt

a23a11

所以的在最小值為5.

a1

故答案為：5.

4

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)yxx1的最小值及此時(shí)x的值；

x1

x25x10

（2）已知函數(shù)y，x2,，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值.

x2

【答案】（1）函數(shù)y的最小值為5，此時(shí)x3；（2）函數(shù)y的最小值為5，此時(shí)x0.

【詳解】（1）∵x1，

444

∴yxx112x11415，

x1x1x1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x1即x3時(shí)，等號(hào)成立.

x1

故函數(shù)y的最小值為5，此時(shí)x3；

（2）令tx2t0，

將xt2代入得：

2

t25t2104

yt1，

tt

∵t0，

44

∴yt12t1415，

tt

4

當(dāng)且僅當(dāng)t，

t

4

即x2，

x2

即x0時(shí)，等號(hào)成立.

故函數(shù)y的最小值為5，此時(shí)x0.

x5x2

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y(x1)的最小值為___________.

x1

【答案】9

【詳解】因?yàn)閤1，則x10，

x27x10(x1)25(x1)4

所以y

x1x1

44

(x1)52(x1)59，

x1x1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x1即x1時(shí)等號(hào)成立，

x1

∴已知函數(shù)的最小值為9.

故答案為：9.

題型07利用基本不等式求條件等式求最值

【典例1】（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2ab9ab0，則a2b的最小值

為（）

1

A．3B．1C．9D．

3

【答案】B

12

【詳解】因?yàn)?ab9ab0，變形得9.

ab

122b2a

(a2b)52b2a1

由題意ab524，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)，等號(hào)成立．

a2bab1ab3

999

故選：B.

【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知x0，y0，若x3y4xy6，則x3y的最小值為______.

【答案】3

【詳解】因?yàn)閤0，y0，x3y4xy6，

4

所以4xy6x3y，即x3y6x3y；

3

2

44x3y

因?yàn)閤3y，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)取到等號(hào)，

332

2

x3y

所以6x3y，

3

解得x3y3或x3y6（舍）

31

所以當(dāng)x,y時(shí)，x3y有最小值3.

22

故答案為：3

【變式1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)x，y滿足xyxy，則x2y的最小值是（）

A．6B．3+22C．232D．2+23

【答案】B

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足xyxy，

xy11

所以1，

xyyx

11x2yx2y

所以x2yx2y323223，

yxyxyx

x2y22

當(dāng)且僅當(dāng)，即x21,y時(shí)，等號(hào)成立，

yx2

所以x2y的最小值為3+22

故選：B

題型08基本不等式中的恒成立問題

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x0，y0，且xyxy3，若不等式xym2m恒

成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A．2m1B．1m2

C．m2或m1D．m1或m2

【答案】B

2

xy

【詳解】xy3xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)等號(hào)成立，

4

解得，即

xy2xymin2.

因?yàn)椴坏仁絰ym2m恒成立，

所以2，即2，解得

mmxyminmm21m2.

故選：B

14

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a、b0,，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值

abab

范圍為（）

A．5B．9C．5D．9

【答案】D

14

【詳解】因?yàn)閍、b0,，由已知可得ab，

ab

14b4ab4a

因?yàn)閍b5259，當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)等號(hào)成立，

ababab

故實(shí)數(shù)的取值范圍為,9，

故選：D．

x

【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若對(duì)任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_____．

x23x1

1

【答案】a

5

【詳解】x>0，

x111

1

x23x1115，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)等號(hào)成立，

x32x3x

xx

1

a.

5

1

故答案為：a.

5

21

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且＋＝1，若x2ym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的

xy

取值范圍是（）

A．m≤－22或m≥22B．m≤－4或m≥2

C．－2＜m＜4D．－22＜m＜22

【答案】D

21

【詳解】∵x>0，y>0且1，

xy

214yx4yx

x2y(x2y)4428,

xyxyxy

4yx

當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝4，y＝2時(shí)取等號(hào)，

xy

∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，

只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得22m22.

故選：D

1

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)x2時(shí)，不等式xa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

x2

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)4D．a(chǎn)4

【答案】D

111

【詳解】當(dāng)x2時(shí)，xx222x224（當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)取等號(hào)），a4，

x2x2x2

即a的取值范圍為,4.

故選：D.

3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y，不等式x4ymxy恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是（）

A．0m4B．0m2C．m4D．m2

【答案】C

【詳解】解：x4ymxy，

x4y

即m，

xy

x4y

即m

xymin

x4yx4yx4y

又24

xyyxyx

x4y

當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“x2y”時(shí)等號(hào)成立，

yx

即m4，

故m(,4].

故選：C.

題型09基本不等式的應(yīng)用

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)

品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25xN，則每

臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元.

【答案】8.

y25y

【詳解】每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為18x，而x0，故182258，當(dāng)且僅當(dāng)x5

xxx

時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元.

故答案為：8

【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報(bào)告指出：我們要推進(jìn)美麗中國(guó)建設(shè)，

堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對(duì)氣候變化，

協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長(zhǎng)，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生

態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)．若鄉(xiāng)財(cái)政下?lián)芤豁?xiàng)?？?00百萬(wàn)元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)

目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金x（單位：百萬(wàn)元）的函數(shù)Mx（單位：百萬(wàn)

80x

元）：Mx；處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金x（單位：百萬(wàn)元）的函數(shù)Nx

20x

1

（單位：百萬(wàn)元）：Nxx．

4

(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為x（百萬(wàn)元），則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來的收益總和為y（百萬(wàn)元），

寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目的投資開始利潤(rùn)薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出y的最大值，并

求出此時(shí)對(duì)兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？

80x1

【答案】(1)yx100，x0,400

20x4

(2)y的最大值為145（百萬(wàn)元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為60（百萬(wàn)元），340（百

萬(wàn)元）．

【詳解】（1）解：由題意可得處理污染項(xiàng)目投放資金為400x百萬(wàn)元，

80x11

則Mx，N400x400x100x

20x44

80x1

yx100，x0,400．

20x4

80x111600

（2）解：由（1）可得，yx100180x

20x4420x

1640016400

185x2018520x145，

420x220x

6400

當(dāng)且僅當(dāng)20x，即x60時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)400x340．

20x

所以y的最大值為145（百萬(wàn)元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為60（百萬(wàn)元），340

（百萬(wàn)元）．

【變式1】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積

為1800平方米的矩形ABCD，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行

通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（）

A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米

【答案】C

【詳解】設(shè)ABx米,(x0)，

18007200

則種植花卉區(qū)域的面積Sx422x1808．

xx

7200

因?yàn)閤0，所以2x214400240，當(dāng)且僅當(dāng)x60時(shí)，等號(hào)成立，

x

則S24018081568，即當(dāng)AB60米，BC30米時(shí)，

種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是1568平方米,

故選：C

【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）為了豐富全校師生的課后學(xué)習(xí)生活，共建和諧美好的校園文化，重

慶十一中計(jì)劃新建校園圖書館精品閱讀區(qū)A1B1C1D1，該項(xiàng)目由圖書陳列區(qū)ABCD（陰影部分）和四周休息區(qū)

組成．圖書陳列區(qū)ABCD的面積為1000m2，休息區(qū)的寬分別為2m和5m（如圖所示）.當(dāng)校園圖書館精品

閱讀區(qū)A1B1C1D1面積最小時(shí)，則圖書陳列區(qū)BC的邊長(zhǎng)為（）

A．20mB．50mC．1010mD．100m

【答案】B

1000

【詳解】設(shè)BCxm,x0,則ABm,

x

1000

所以閱讀區(qū)ABCD的面積S(x10)(4)

1111x

10000

10404x

x

10000

104024x1440.

x

10000

當(dāng)4x,即x50時(shí)取等號(hào)，

x

當(dāng)校園圖書館精品閱讀區(qū)A1B1C1D1面積最小時(shí)，則圖書陳列區(qū)BC的邊長(zhǎng)為50m，

故選：B.

題型10對(duì)鉤函數(shù)

m

【典例1】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二北票市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）“m4”是“函數(shù)yxx0

x

的最小值大于4”的（）．

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

m

【詳解】解：若m4，則fxxx0的最小值為2m244；

x

m

若yxx0的最小值大于4，則m0，且2m4，則m4，

x

故選：C．

1

【典例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)2x0，則x的取值范圍是______．

x

【答案】,2

115

【詳解】設(shè)函數(shù)f(x)x，則當(dāng)x[2,1]時(shí)，f(x)x單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)[,2]；

xx2

1

當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x單調(diào)遞減，此時(shí)fx,2，

x

1

故x2,0，則x的取值范圍是,2，

x

故答案為：,2

4

【變式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省萬(wàn)安中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)yx(x0)，則下列結(jié)論正確

x

的是（）

A．y有最小值4B．y有最大值4C．y有最小值4D．y有最大值4

【答案】D

【詳解】解：Qx0，x0，

444

fxxx2x4，

xxx

4

當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)取等號(hào)，

x

\f(x)有最大值4.

故選：D．

x22x4

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxx2取得的最小值時(shí)，x的值為___________．

x2

【答案】4

444

【詳解】fxxx222426.當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時(shí)，

x2x2x2

等號(hào)成立.故fx的最小值為6.

故答案為：4

題型11重點(diǎn)方法之湊配法

11

【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足0x，則y8x的最大值為（）

22x1

A．4B．0C．4D．8

【答案】B

1

【詳解】由0x得到12x10，則012x1，

2

1111

y8x4(2x1)4[4(12x)]424(12x)40，

2x12x112x12x

11

當(dāng)且僅當(dāng)x上式取等號(hào)，則y8x的最大值為0.

42x1

故選：B.

【典例2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式ax26x30對(duì)xR恒成立，則a的取值范圍是

9

__________，a的最小值為__________．

a1

【答案】(3,)7

【詳解】當(dāng)a0時(shí)，不等式6x30對(duì)xR不恒成立，不符合題意（舍去）；

當(dāng)a0時(shí)，要使得ax26x30對(duì)xR恒成立，

a0

則滿足，解得a3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,).

Δ3612a0

99

因?yàn)閍3，可得a30，所以aa112917，

a1a1

9

當(dāng)且僅當(dāng)a4時(shí)，等號(hào)成立，所以a的最小值為7．

a1

故答案為：(3,)；7.

8

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)xa時(shí)，2x的最小值為10，則a（）

xa

A．1B．2C．22D．4

【答案】A

【詳解】當(dāng)xa時(shí)

888

2x2xa2a22xa2a82a,

xaxaxa

即82a10，故a1.

故選:A.

4

【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知x0，則x4的最小值為（）

x

A．－2B．0C．1D．22

【答案】B

444

【詳解】∵x0，∴x42x40，當(dāng)且僅當(dāng)x即x2時(shí)等號(hào)成立．

xxx

故選：B．

題型12重點(diǎn)方法之換元法

xy

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足3x22xyy21，則的最大值為

5x22xyy2

___________.

【答案】2

4

2222222

【詳解】令xyt，則3x2xyy4xx2xyy4xt1，即4x21t2，

xyxytt

所以，

5x22xyy24x2x22xyy21t2t212t2

t

當(dāng)t0時(shí)，0；

12t2

t1

當(dāng)t0時(shí)，21，

12t2t

t

1112

因?yàn)?t22t22，當(dāng)且僅當(dāng)2t，即t時(shí)，等號(hào)成立，

ttt2

xy112

所以221.

5x2xyy2t224

t

xy2

所以22的最大值為.

5x2xyy