高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步學(xué)與練（人教A版）第01講 指數(shù)（解析版）

第01講4.1指數(shù)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能將初中的根式與本節(jié)課根式進(jìn)行

并且能進(jìn)行兩者之間的互化。

順利對(duì)接與延伸，條件的擴(kuò)充使指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容更

②掌握根式的性質(zhì)，并能運(yùn)用根式的運(yùn)算性

充實(shí)，條件更充分，運(yùn)算更徹底，因此本節(jié)課的內(nèi)容具

質(zhì)進(jìn)行根式的運(yùn)算。

有承上啟下的作用，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求掌握根式和

③掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)會(huì)化簡(jiǎn)較

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的具體運(yùn)算，并能進(jìn)行兩者的互化，運(yùn)用實(shí)

復(fù)雜的運(yùn)算式子。

數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

知識(shí)點(diǎn)01：整數(shù)指數(shù)冪

n

aaaaaaa

1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，nN

n個(gè)

2、正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：

①amanamn（m,nN）

②amanamn（a0，mn，m,nN）

③(am)namn（m,nN）

④(ab)mambm（mN）

aam

⑤()m（b0mN）

bbm

知識(shí)點(diǎn)02：根式

1、n次根式定義：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN.

特別的：

①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)表

示na.

②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表

示，叫做a的n次算術(shù)根；負(fù)的n次方根用符號(hào)na表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫(xiě)成

na(a0).

③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；

④0的任何次方根都是0，記作n00

2、根式：

式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．

在根式符號(hào)na中，注意：

①n1，nN

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，na對(duì)任意aR都有意義

③當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，na只有當(dāng)a0時(shí)才有意義.

3、(na)n與nan的區(qū)別：

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(na)na（aR）

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(na)na（a0）

③當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，且n1，nana

a,a0

④n為偶數(shù)時(shí)，且n1，nan|a|

a,a0

【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）n(3π)n(nN,n2)（）

A．3πB．π3

C．3πD．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，3π；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，π3

【答案】D

【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n(3π)n3π；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n(3π)n3ππ3.

故選：D

知識(shí)點(diǎn)03：分式指數(shù)冪

m

1、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，

annama0m,nNn1a0m,nN

n1下，根式都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.

m

11

2、正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，an（，，

mnma0m,nN

ana

n1）.

3、0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.

【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：(a25a3)(a10a9)=．（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）.

【答案】6

a5

【詳解】因?yàn)?/p>

3191371376

(a25a3)(a10a9)(a2a5)(a2a10)a5a5a55a5.

故答案為：6

a5.

知識(shí)點(diǎn)04：有理數(shù)指數(shù)冪

①arasars（a0，r,sQ）

②(ar)sars（a0，r,sQ）

③(ab)rarbr（a0，b0rQ）

知識(shí)點(diǎn)05：無(wú)理數(shù)指數(shù)冪

①arasars（a0，r,sR）

②(ar)sars（a0，r,sR）

③(ab)rarbr（a0，b0rR）

1111

73

【即學(xué)即練3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算(0.0081)4[3()0]1[810.25(3)3]2100.0273.

88

【答案】0

1111

333

【詳解】原式[()4]431{(34)0.25[()3]3}210[()3]3

10210

311313

()1[()1]210

1033210

101121

()230

3333

題型01根式的概念

【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）二次根式x2x成立的條件是（）

A．x0B．x0C．x0D．x是任意實(shí)數(shù)

【答案】C

【詳解】因?yàn)閤2|x|x，

所以x0.

故選：C.

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）81的4次方根是．

【答案】3

【詳解】81的4次方根是4814343.

故答案為：3

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）625的四次方根為.

【答案】5

4

【詳解】因?yàn)?625，所以625的四次方根為5.

故答案為：5.

【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）16的平方根為，27的5次方根為；已知x76，

則x；

【答案】452776

2

【詳解】416，16的平方根為4.

27的5次方根為527.

x76，x76.

故答案為：4；527；76.

題型02根式的化簡(jiǎn)(求值)

34

【典例1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若a33，b42，則ab的值為（）

A．1B．5C．1D．25

【答案】A

34

【詳解】依題意，a333，b42|2|2，

則ab(3)(2)1，

所以ab的值為1.

故選：A

【典例2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）當(dāng)2x有意義時(shí)，化簡(jiǎn)x24x4x26x9的結(jié)果是（）

A．2x－5B．－2x－1

C．－1D．5－2x

【答案】C

【詳解】因?yàn)?x有意義，可得2x0，即x2，

又由x24x4x26x9=(x2)2(x3)2

x2x32x(3x)1

故選：C.

【變式1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若2a3，化簡(jiǎn)(2a)24(3a)4的結(jié)果是（）

A．5－2aB．2a－5

C．1D．－1

【答案】C

【詳解】因?yàn)?a3，所以2a0,3a0，

所以(2a)24(3a)42a3aa23a1.

故選：C.

【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）有下列說(shuō)法：

①31255；②16的4次方根是2；

③4813；④(xy)2|xy|．

其中，正確的有(填序號(hào))．

【答案】②④

【詳解】n為奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，31255，故①錯(cuò)誤；

16的4次方根有兩個(gè)，為2，故②正確；

因?yàn)?813，故③錯(cuò)誤；

因?yàn)?xy)2是正數(shù)，故(xy)2|xy|，故④正確．

故答案為：②④

題型03分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算

【典例1】（多選）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（多選題）下列各式中一定成立的有（）

71

n74

A．nm7B．12333

m

3

33

C．4xyxy4D．3933

【答案】BD

71

n774

【詳解】nm，A錯(cuò)誤；1233333，B正確；

m

11

11213

4x3y3x3y34，C錯(cuò)誤；39939233，D正確

故選：BD

11

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）根式的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（）

aa

4433

．．．．

Aa3Ba3Ca4Da8

【答案】D

1

1111

2

【詳解】112224

aaaa

aa

33

a4a8.

故選D.

b2a4

【典例3】（2023秋·山西·高一校聯(lián)考期中）（1）化簡(jiǎn)：(a0,b0).（結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）

a3b6

211

（2）化簡(jiǎn)：8a3b22a6b2(a0,b0).（結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）

21

（3）求值：83273(21)0.

1155

16

【答案】（1）22；（2）62；（3）.

ab4ab3

11

b2a411

【詳解】（1）a3b2a4b62a3b2a2b3a1b12a2b2；

a3b6

21121155

2

（2）8a3b22a6b24a36b24a6b2；

2112

1

16

（3）83273(21)083333122311.

3

【變式1】（2023·高一單元測(cè)試）下列式子的互化正確的是（）

11

A．6y2y3y0B．x33xx0

55

11

C．x44x0D．xx2x0

x

【答案】C

【詳解】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可知，

155

111

311

6y2|y|3y3(y0)，xx0，x44x0，xx2x0，

3xx

故選：C

【變式2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）化簡(jiǎn)求值:

12

2

23

90272；

(1)9.6

483

13

(2)a2·3b2b4·a2（a0，b0）.

1

【答案】(1)

2

1

(2)

a

12

2

23

【詳解】（）90272

19.6

483

12

232

322323441

11.

2332992

13

（2）a2·3b2b4·a2

3

121

a2·b3b4a12

31

1

a2·b2b2a2a1b0

a

【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（式中字母均為正數(shù)）：

34

32mmm

ba11

（1）；（2）22；（3）1.

6aaa5

ab(6m)m4

【答案】（）；（）1；（）

112a231.

11131

b3a22b32a24b2a2

【詳解】（1）原式1；

ab6ab613

a2b2

111

11211411141

（2）原式a2a2aa4a2aa4a8a2a2；

111

11151

m2m3m4

（）原式234640

351mm1.

m6m4

題型04條件求值

【典例1】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀┮阎猘a13，下列各式中正確的個(gè)數(shù)是

（）

11

22331

①aa7；②aa18；③22；④aa25；

aa5aa

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】①a2a2(aa1)22927,正確；

②a3a3(aa1)(a21a2)3(71)18，正確；

1111

因?yàn)?可知，，21，

③aa3a0a2a20(a2a2)a2a5

11

所以，故錯(cuò)誤；

a2a25

3311

1

④aaa2a2(a2a2)(a1a1)5(a1a1)25，正確.

aa

故選：C

1

1

03

【典例】（秋江蘇南通高一江蘇省南通中學(xué)?？计谥校ǎ┣?8的值；

22022··18153

27

11

22

（2）已知xx114，求xx4的值.

x2x2200

84

【答案】（1）；（2）

33

11

113

033

【詳解】（）4844228；

181533131

27333

112

1111

（）221，，，

2xxxx216x2x20x2x24

11

2

221x2x24444

xxxx2194，．

x2x22001942003

【典例3】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高一江西省蓮花中學(xué)?？计谥校┯?jì)算下列各式

103

6

73

(1)0.001316423；

8

(2)已知xx13，求下列各式的值：

11

；

①x2x2

33

．

②x2x2

【答案】(1)89；

(2)①5；②25.

1311

66

【詳解】（1）原式10331244223310187289；

112121112

（2）①∵x2x2x22x2x2x2x1x12325，

11

∴x2x25，

又由xx13得x0，

11

∴，

x2x20

11

所以；

x2x25

②（法一）

33131311121112

x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2

11

221

xxxx153125，

（法二）

333333

(x2x2)2(x2)2(x2)22x2x2x3x32，

而x3x3xx1x2x21

2

xx1xx13332318，

332

∴x2x220，

又由xx130得x0，

33

∴，

x2x20

33

所以

x2x22025.

1

11

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）計(jì)算0.0273()2810.75()031；

69

11

（）若，求22的值．

2x2x26xx

【答案】（1）-5；（2）14.

1

11﹣1101

【詳解】（1）0.0273()2810.75()0310.31﹣36+33+136+27+15．

69333

11

112﹣22﹣2

（2）若22，∴x2＝6，x4，∴x+x+2＝16，∴x+x＝14．

xx6xx

22

11xx2

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知22，則33．

xx3

x2x23

【答案】3

11

【詳解】解：因?yàn)椋?/p>

x2x23

112

所以x2x2xx129，

即xx17，

2

所以xx1x2x2249，

即x2x247，

x2x22x2x2247245

33113

所以36315，

x2x23x2x2x1x13

故答案為：3．

11

【變式】（秋廣西玉林高一校考期中）已知，則22．

32022··x2x23xx

【答案】215

112

11

【詳解】由可得221，

x2x23xxx2x9

即xx17，

22

又因?yàn)閤x1xx14，

22

即72xx14，可得xx145

即xx135，

所以x2x2xx1xx1735215．

故答案為：215

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

2112

2

1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)4a3b3a3b3的結(jié)果為（）

3

2a8a6a

A．B．C．D．6ab

3bbb

【答案】C

21122112

223316a

【詳解】4a3b3a3b34ab336ab

33b

故選：C.

2．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）化簡(jiǎn)4m6(m0)的結(jié)果為（）

A．mmB．mm

C．mmD．mm

【答案】D

3

【詳解】m0，4m6mmm.

故選：D

1

(4)01

3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算22(15)0，結(jié)果是（）

221

1

．．．．

A1B22C2D22

【答案】B

1

(4)0111

【詳解】22(15)0(21)122.

22122

故選：B

4．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）有下列四個(gè)命題：

①正數(shù)的偶次方根是一個(gè)正數(shù)；

②正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)；

③負(fù)數(shù)的偶次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；

④負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A．0B．1

C．2D．3

【答案】C

【詳解】正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且一正一負(fù)，負(fù)數(shù)的偶次方根不存在；

正數(shù)的奇次方根為一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根為一個(gè)負(fù)數(shù)；

①③錯(cuò)誤，②④正確．

故選：C

3ab2a2b2

5．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)114（a，b為正數(shù)）的結(jié)果是（）

3ba6b4

b2a2

A．B．C．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)b

a2b2

【答案】C

1

232278

3ab2a2b2ababa3b3

22

【詳解】112ab

11412233.

333ab

64bab

bab

故選：C.

6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2021年5月15日，中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在火星成功著陸.

截至目前，祝融號(hào)火星車(chē)在火星上留下1900多米的“中國(guó)腳印”，期待在2050年實(shí)現(xiàn)載人登陸火星.已知所

有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都

相等.若火星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為9:5，則地球運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸與火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸的比值約

為（）

258159

A．3B．3C．3D．3

812595

【答案】A

【詳解】設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為5T，則火星的公轉(zhuǎn)周期為9T.

設(shè)地球?火星運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸分別為m，n，

m3n3

則，

25T281T2

m25

于是3.

n81

故選:A.

33

1122

．（全國(guó)高一假期作業(yè)）已知，則mm的值是（）

72023··2211

mm4

m2m2

A．15B．12C．16D．25

【答案】A

11

【詳解】因?yàn)椋?/p>

m2m24

11

所以mm1(m2m2)2216214，

331111

2222221

又由立方差公式，mm(mm)(mmmm)1，

1111m1m15

m2m2m2m2

故選：A．

13

0.52

44

．（全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）923322（）

82023··(2π)2

1633

A．πB．2πC．4πD．6π

【答案】B

13

0.52

44

【詳解】92332242

(2π)2π242π.

163333

故選：B

二、多選題

9．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（）

A．16的4次方根是2

B．416的運(yùn)算結(jié)果是±2

C．當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，na對(duì)任意aR都有意義

D．當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，na只有當(dāng)a0時(shí)才有意義

【答案】CD

【詳解】對(duì)于A(yíng)，由于(2)416，所以16的4次方根是2，故A不正確．

對(duì)于B，4162，故B不正確．

對(duì)于C，由根式的意義知，當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，na對(duì)任意aR都有意義，故C正確．

對(duì)于D，由根式的意義知，當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，na只有當(dāng)a0時(shí)才有意義，故D正確．

故選：CD．

10．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知a2a23，則aa1等于（）

A．5B．5C．1D．1

【答案】AB

2

12121

【詳解】令aat,taa2,

aa2

t2325,t5.

故選：AB

三、填空題

12

1

23

．（高一課時(shí)練習(xí)）求值：40643．

112023·(5.6)0.125

927

178

【答案】/1

99

12

1

23

【詳解】40643

(5.6)0.125

927

12

222433121617

33

213212

33399

17

故答案為:.

9

a3a3a3a3a21a42

12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）

a4a41aa1aa1

【答案】2a

a6a6a22aa1a2

【詳解】原式

a4a41aa1aa1

2

a2a2a41a4aa1

aa1a41a4aa1

aa1aa1

aa1aa1aa12a.

aa1

故答案為：2a.

四、解答題

13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）計(jì)算：

1

1

31

120；

(1)0.0021052π

27

23

116

(2)83()2()4(21)0

281

【答案】(1)22

19

(2)

8

1

1

31

【詳解】（）120

10.0021052π

27

3105105201

22；

23

116

（2）83()2()4(21)0

281

23

324()2719

234()41441.

388

14．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求值：

2

0.5

3

2749220；

(1)(0.2)(0.081)

8925

2221

(2)π0－83＋52×45.

8

【答案】(1)

9

(2)13

2

8492478

【詳解】（1）原式32511；

27925939

214

（）原式32

21232525124213.

B能力提升

1．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)校考二模）閱讀下段文字：“已知