高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步學(xué)與練（人教A版）第01講 函數(shù)的概念（解析版）

第01講3.1.1函數(shù)的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①函數(shù)的概念；

②了解函數(shù)的三要素；通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握函數(shù)概念及函數(shù)的三要素，會(huì)

③掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；判斷同一函數(shù)，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域及值域.

④掌握求函數(shù)的值；

⑤掌握區(qū)間的寫(xiě)法.

知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的概念

1、初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義

設(shè)在一個(gè)變化的過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x值，相應(yīng)地就有唯一確定的一個(gè)y值

與之對(duì)應(yīng)，那么我們就稱(chēng)y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.它們描述的是兩個(gè)變量之間的依賴(lài)

關(guān)系.

2、函數(shù)的近代定義

一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，

在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)

(function)，記作yf(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值

相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集.

函數(shù)的四個(gè)特征：

①非空性：A，B必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在

的.

②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)（可以多對(duì)一，不能一對(duì)多）.

④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定

的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.

【即學(xué)即練1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】ACD

【詳解】由函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的自變量x，有唯一的y值相對(duì)應(yīng)，

選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對(duì)多的情況，

其中選項(xiàng)A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).

故選：ACD

知識(shí)點(diǎn)02：函數(shù)的三要素

1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．

2、對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量x實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．

3、值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).

1

【即學(xué)即練2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數(shù)y3的定義域?yàn)開(kāi)_____．

x

1

【答案】,0,

3

1

【詳解】y3，

x

1

301

x，x或x0

3

x0

1

所以定義域?yàn)椋?0,.

3

1

故答案為：,0,

3

知識(shí)點(diǎn)03：函數(shù)相等

同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).

【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A．fxx與gxx

B．fx(x2)2與gx(x2)2

x

C．fxx與gx

x

D．fxx與gx3x3

【答案】D

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)閒xx定義域?yàn)镽，gxx定義域?yàn)镽，定義域相同，

但fxgx，所以fx，gx不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)閒x(x2)2定義域?yàn)镽，gxx2定義域?yàn)閤|x2，

定義域不同，所以fx，gx不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

x

對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)閒xx定義域?yàn)閤x0，gx定義域?yàn)閤|x0，

x

定義域不同，所以fx，gx不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)閒xx定義域?yàn)镽，gx3x3定義域?yàn)镽，

又gx3x3xfx，所以fx，gx是同一函數(shù)，故D正確.

故選：D

知識(shí)點(diǎn)04：區(qū)間的概念

1區(qū)間的概念

設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，且ab，滿(mǎn)足axb的實(shí)數(shù)x的全體，叫做閉區(qū)間，

記作[a,b]，即，[a,b]{x|axb}。如圖：a，b叫做區(qū)間的端點(diǎn)．在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間時(shí)，若

區(qū)間包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若區(qū)間不包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示．

集合{x|axb}{x|axb}{x|axb}{x|axb}

區(qū)間[a,b](a,b)(a,b][a,b)

2含有無(wú)窮大的表示

全體實(shí)數(shù)也可用區(qū)間表示為(,)，符號(hào)“”讀作“正無(wú)窮大”，“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，即

R(,)。

集合{x|xa}{x|xa}{x|xa}{x|xa}

區(qū)間[a,)(,a](a,)(,a)

【即學(xué)即練4】（2023秋·廣東廣州·高一西關(guān)培英中學(xué)校考期末）已知集合A{x0x3}，Bx1x4，

則AB（）

A．0,1B．1,3C．3,4D．0,4

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)榧螦x0x3，Bx1x4，

所以ABx1x3，即AB1,3，

故選：B.

題型01函數(shù)關(guān)系的判斷

【典例1】（2023秋·湖北襄陽(yáng)·高一襄陽(yáng)四中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)yfx的定義域?yàn)閤|3x8,x5，

值域?yàn)閥|1y2,y0，則yfx的圖象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)x8時(shí)，y0，不符合題意，排除A；選項(xiàng)C中，存在一個(gè)x對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，不是

函數(shù)的圖象，排除C；選項(xiàng)D中，x取不到0，不符合題意，排除D.

故選：B.

【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合A{0,1,2}，B{1,1,3}，

下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，從A到B的函數(shù)為（）

A．f：xyxB．f：xyx2

C．f：xy2xD．f：xy2x1

【答案】D

【詳解】解：對(duì)A：當(dāng)x0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的yx為0,1,2，所以選項(xiàng)A不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)B：當(dāng)x0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y=x2為0,1,4，所以選項(xiàng)B不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)C：當(dāng)x0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y2x為0,2,4，所以選項(xiàng)C不能構(gòu)成函數(shù)；

對(duì)D：當(dāng)x0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y2x1為1,1,3，所以選項(xiàng)D能構(gòu)成函數(shù)；

故選：D.

【變式1】（多選）（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？计谀┫铝袑?duì)應(yīng)中是函數(shù)的是（）．

A．xy，其中y2x1，x1,2,3,4，y{x|x10,xN}

B．xy，其中y2x，x0,，yR

C．xy，其中y為不大于x的最大整數(shù)，xR，yZ

D．xy，其中yx1，xN，yN

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A，對(duì)集合{1,2,3,4}中的每個(gè)元素x，按照y2x1，在{x|x10,xN}中都有唯一元素y與

之對(duì)應(yīng)，A是；

對(duì)于B，在區(qū)間0,內(nèi)存在元素x，按照y2x，在R中有兩個(gè)y值與這對(duì)應(yīng)，如x1，與之對(duì)應(yīng)的y1，

B不是；

對(duì)于C，對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，按照“y為不大于x的最大整數(shù)”，都有唯一一個(gè)整數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，C是；

對(duì)于D，當(dāng)x1時(shí)，按照yx1，在N中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，D不是.

故選：AC

題型02集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化

e

【典例1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知全集Ux2x3,集合Ax1x1,則UA

（）

A．1,1B．2,11,3

C．1,1D．2,11,3

【答案】B

【詳解】解:由題知Ax1x1,

Ux2x3,

故eUA{x2x1或1x3}.

故選:B

【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市海珠中學(xué)?？计谀┤艏螦x1x3，Bxx0，

則AB（）

A．1,3B．1,C．0,3D．2,

【答案】C

【詳解】由集合交集運(yùn)算可得AB0,3.

故選：C.

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）全集UR，集合AxR∣22x1，集合B{xR|x1}，

e

則UAB（）

11

A．,1,B．1,

22

11

C．,1,D．1,

22

【答案】A

11

【詳解】由A中不等式22x1變形得：1x，即A[1,]，

22

由B中不等式x1解得：1x1，即B(1,1)，

1

AB(1,]，

2

e1

又全集UR，則UAB,1,,

2

故選：A.

題型03同一個(gè)函數(shù)

【典例1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）

20

A．fxx2和gxxB．fx=1和gxx

x,x0,x21

C．fxx和g(x)D．fxx1和gx

x,x0x1

【答案】C

【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)f(x)x2的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)(x)2的定義域?yàn)閇0,)，兩個(gè)函數(shù)的定義

域不同，所以表示不同的函數(shù)；

對(duì)于B中，函數(shù)f(x)1的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)x0的定義域?yàn)?,0)(0,)，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，

所以表示不同的函數(shù)；

x,x0x,x0

對(duì)于C中，函數(shù)f(x)x與g(x)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；

x,x0x,x0

x21

對(duì)于D中，函數(shù)f(x)x1的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|x1}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，

x1

所以表示不同的函數(shù).

故選：C

【典例2】（都選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫旅娓鹘M函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）

20

A．fxx2，gxxB．fx1（x0），gxx

3x21

C．fx3x3，gx3xD．fxx1，gx

x1

【答案】BC

2

【詳解】對(duì)于A，fxx2x，gxxx,x0，定義域和對(duì)應(yīng)法則不一樣，故不為同一函數(shù)；

對(duì)于B，fx1,x0，gxx01,x0，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；

3

對(duì)于C，fx3x3x，gx3xx，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；

x21

對(duì)于D，fxx1,xR，gxx1,x1，定義域不同，故不為同一函數(shù)；

x1

故選:BC

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）

2

A．fxx，gxxB．ftt，gxx2

x29

C．fx2x3，gx2xD．fx，gxx3

x3

【答案】B

【詳解】對(duì)于A，函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，函數(shù)gx的定義域?yàn)閇0，+∞），所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函

數(shù)；

對(duì)于B，因?yàn)間xx2x，且f(t)，gx的定義域均為R，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于C，fx2x3x2x，fx和gx的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于D，函數(shù)fx的定義域?yàn)閧xxR，且x3}，函數(shù)gx的定義域?yàn)镽，

所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).

故選：B.

題型04求函數(shù)值

x31

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)fx，則f2f_________．

x12

【答案】4

1

3

1x3xx33x14x4

【詳解】因?yàn)閒xf4,

1

xx11x1x1x1

x

1

所以f2f4,

2

故答案為：4.

【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若f(x)x22x，則ff(1)＝______．

【答案】3

【詳解】解：因?yàn)閒(x)x22x，

所以f(1)12211，

2

所以ff(1)f11213，

故答案為：3

1

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxx1x，則ff（）

2

11

A．B．1C．D．0

22

【答案】B

1111

【詳解】f10，fff00101.

2222

故選：B.

x2

【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知fx，xR．

1x2

1

（1）計(jì)算：faf____________；

a

111

（2）計(jì)算：f1f2ff3ff4f____________．

234

7

【答案】1/3.5

2

2

1

211

aa

【詳解】（1）fa，f22，

1a2a11a

1

a

1

所以faf1．

a

1

（2）由（1）知faf1，

a

111

從而f2ff3ff4f1，

234

111

故f2ff3ff4f3，

234

1211117

而f1，所以f1f2ff3ff4f．

11222342

7

故答案為：1；.

2

題型05根據(jù)函數(shù)值請(qǐng)求自變量或參數(shù)

11

【典例1】（2022秋·福建廈門(mén)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)y的值域是(,0),，則此

x12

函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A．(,3]B．(,1)(1,3)C．(,1)U[3,)D．(,1)(1,3]

【答案】D

11

【詳解】由函數(shù)y的值域是(,0),，

x12

1

所以當(dāng)y(,0)時(shí)，y0x1，

x1

111112x13x

當(dāng)y,時(shí)，y000

2x12x122x12x1

3xx10

即，解得1x3，

x10

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1)(1,3]，

故選：D

【典例2】（多選）（2022秋·湖南岳陽(yáng)·高一湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)x24x1

在定義域A上的值域?yàn)閇3,1]，則區(qū)間A可能為（）

A．[1,4]B．[0,3]C．[1，4]D．[1,3]

【答案】BC

【詳解】∵函數(shù)f(x)x24x1的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸方程為x2，

故f(x)minf(2)3，又f(0)f(4)1，

故要定義域A上的值域?yàn)?,1，滿(mǎn)足題意的選項(xiàng)是：BC.

故選：BC.

【變式1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)yx23x3(x0)的值域是[1,7]，則x的取值范圍是（）

A．(0,4]B．[1,4]C．[1,2]D．(0,1][2,4]

【答案】D

2

233

【詳解】yx3x3x，畫(huà)出圖像，如圖所示，

24

令y1，則x23x31，解得x1或x2，

令y7，則x23x37，解得x=1（舍去）或x4，

3

對(duì)于A：當(dāng)x(0,4]時(shí)，結(jié)合圖像，得y[,7]，故A錯(cuò)誤；

4

3

對(duì)于B：當(dāng)x[1,4]時(shí)，結(jié)合圖像，得y[,7]，故B錯(cuò)誤；

4

3

對(duì)于C：當(dāng)x[1,2]時(shí)，結(jié)合圖像，得y[,1]，故C錯(cuò)誤；

4

對(duì)于D：當(dāng)x(0,1][2,4]時(shí)，結(jié)合圖像，得y[1,7]，故D正確；

故選：D．

題型06函數(shù)的定義域（具體函數(shù)的定義域）

1

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxx3的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

7x

A．3,7B．3,7C．，3D．7,

【答案】B

x30

【詳解】由題意得，解得3x7，故定義域?yàn)?,7.

7x0

故選：B

1

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)yx2x6的定義域?yàn)開(kāi)_____．

x1

【答案】2,11,3

1x2x60

【詳解】由yx2x6，得x2,11,3，

x1x10

故函數(shù)的定義域?yàn)椋簒2,11,3．

故答案為：2,11,3

x1

【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______.

x21

【答案】xx1

x1

【詳解】令0，可得x10，解得x1.

x21

x1

故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤x1.

x21

故答案為:xx1.

題型07函數(shù)的定義域（抽象函數(shù)的定義域）

1

【典例1】（2023秋·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎瘮?shù)f2x的定義域?yàn)閇,2]，則函數(shù)fx2

2

的定義域?yàn)開(kāi)_____.

【答案】2,11,2

11

【詳解】因?yàn)閤[,2]，即x2，所以12x4，所以1x24，所以x2,11,2.

22

故答案為：2,11,2.

【典例2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）若fx的定義域?yàn)?,4，求g(x)f(2x1)fx2的定

義域．

3

【答案】2,.

2

【詳解】由函數(shù)yfx的定義域?yàn)?,4，則要使函數(shù)g(x)f(2x1)fx2有意義，

42x14

則2，

4x4

3

解得2x,

2

3

∴函數(shù)g(x)f(2x1)fx2的定義域?yàn)?,.

2

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知函數(shù)fx2的定義域?yàn)?,3，則函數(shù)fx的定義域?yàn)?/p>

______．

（2）已知函數(shù)fx1的定義域?yàn)?,8，則函數(shù)fx2的定義域?yàn)開(kāi)_____．

【答案】3,53,22,3

【詳解】（1）令ux2，則fx2fu，

因?yàn)楹瘮?shù)fx2的定義域?yàn)?,3，所以u(píng)x23,5，

所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?,5．

2

（2）令ux1，vx2，則fx1fu，fxfv．

因?yàn)楹瘮?shù)fx1的定義域?yàn)?,8，所以u(píng)x14,9，

所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?,9，

所以vx24,9，所以x3,22,3，

所以函數(shù)fx2的定義域?yàn)?,22,3．

故答案為：3,5；3,22,3

題型08函數(shù)的定義域（復(fù)合函數(shù)的定義域）

【典例1】（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學(xué)校考期末）若函數(shù)fx的定義域?yàn)?,4，則函

1

數(shù)gxfx2的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

x1

A．1,2B．1,4C．1,2D．1,4

【答案】C

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)?,4，

10x24

對(duì)于函數(shù)gxfx2，則，解得1x2，

x1x10

1

即函數(shù)gxfx2的定義域?yàn)?,2.

x1

故選：C

【典例2】（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x2)）的定義域

為

f(x)

(3,4)，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

3x1

11

A．（，4）B．[，4）

33

11

C．（，6）D．（，2）

33

【答案】C

【詳解】由函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)?3,4)，即3x4，得1x26，

11

所以f(x)定義域?yàn)?1,6)，又3x10，x，取交集得g(x)的定義域?yàn)?，6)．

33

故選：C．

2

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx4x，gx2x1，則函數(shù)yfgx的

定義域?yàn)開(kāi)_____.

31

【答案】,

22

【詳解】解法1：由函數(shù)fx4x2，則滿(mǎn)足4x20，可得2x2，

即函數(shù)fx的定義域?yàn)?,2，

31

對(duì)于函數(shù)yfgx，令2gx2，即22x12，解得x，

22

31

即函數(shù)yfgx的定義域?yàn)?.

22

解法2：由fx4x2，gx2x1，

22

可得fgx42x14x4x3，

23131

令4x4x30，解得x，所以fgx的定義域?yàn)?.

2222

31

故答案為：,.

22

題型09函數(shù)的定義域（實(shí)際問(wèn)題中的定義域）

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40cm，底邊長(zhǎng)ycm是腰長(zhǎng)xcm的函

數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)

A．10,20B．0,10C．5,10D．5,10

【答案】A

【詳解】由題設(shè)有y402x，

402x0

由得10x20，故選A.

xx402x

【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）周長(zhǎng)為定值a的矩形，它的面積S是這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)x的函數(shù)，則這

個(gè)函數(shù)的定義域是（）

aaa

A．a(chǎn),B．,C．,aD．0,

222

【答案】D

a2xa

【詳解】依題意知，矩形的一邊長(zhǎng)為x，則該邊的鄰邊長(zhǎng)為x，

22

x0

aa

由a得0x，故這個(gè)函數(shù)的定義域是0,.

x022

2

故選：D

【變式1】（2022秋·山東煙臺(tái)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角

形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長(zhǎng)為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于336m2，

則x的取值范圍為_(kāi)_____.

【答案】{x|12x28}

【詳解】設(shè)矩形另一邊的長(zhǎng)為ym，

x40y

由三角形相似得：，（0x40,0y40）,

4040

所以xy40,

所以矩形草坪的面積Sxyx(40x)336，

解得：12x28.

故答案為：{x|12x28}

題型10函數(shù)的值域（常見(jiàn)（一次，二次，反比例）函數(shù)的值域）

【典例1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一?？计谥校┖瘮?shù)f(x)x22x4,x[2,3]，則f(x)的值域?yàn)?/p>

（）

A．[11,4]B．[11,5]C．[4,5]D．[4,5]

【答案】B

2

【詳解】解：fxx22x4x15，又x[2,3]

所以函數(shù)fx在2,1上單調(diào)遞增，在1,3上單調(diào)遞減

則，又，所以

fxmaxf15f24,f311fxmin11

所以f(x)的值域?yàn)閇11,5].

故選：B.

【典例2】（2022·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域、值域，并畫(huà)出圖象：

(1)f(x)3x；

(2)f(x)3x1；

1

(3)f(x)；

x

1

(4)f(x)1；

x

(5)f(x)1x2；

(6)f(x)x22x．

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

(3)答案見(jiàn)解析

(4)答案見(jiàn)解析

(5)答案見(jiàn)解析

(6)答案見(jiàn)解析

【詳解】（1）f(x)3x定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽，

列表如下：

x1012

fx3036

作出圖象如圖：

（2）f(x)3x1的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽，

列表如下：

x1012

fx4125

作出圖象如圖：

.

1

（3）f(x)的定義域?yàn)閤|x0，

x

列表如下：

11

x2112

22

11

fx1221

22

作出圖象如圖：

由圖知：值域?yàn)閥|y0.

1

（4）f(x)1的定義域?yàn)閤|x0，

x

列表如下：

11

x43211234

22

543123

fx2310

432234

作出圖象如圖：

由圖知：值域?yàn)閥|y1；

（5）f(x)1x2的定義域?yàn)镽，開(kāi)口向下的拋物線，最大值為1，所以值域?yàn)?1，

列表如下：

x21012

fx30103

作出圖象如圖：

（6）f(x)x22x的定義域?yàn)镽，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，開(kāi)口向上，

f(x)minf1121，所以值域?yàn)?,；

列表如下：

x32101

fx30103

作出圖象如圖：

【變式1】例題3．（2022秋·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.

5x4

(1)fx;

x2

(2)fxx22x3,x1,4.

【答案】(1),55,(2)4,5

【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?22,,

5x45x21414

fx5,

x2x2x2

所以函數(shù)fx的值域?yàn)?55,.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)fxx22x3的對(duì)稱(chēng)軸為x1,

所以函數(shù)fx在1,1單調(diào)遞減,1,4單調(diào)遞增,

所以函數(shù)fx的值域?yàn)?,5.

題型11函數(shù)的值域（根式型函數(shù)的值域）

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y1x12x的值域?yàn)椋ǎ?/p>

3333

A．,B．,C．,D．,

2222

【答案】A

22

1t1t112

【詳解】設(shè)12xt，則t0,x，所以y1tt22t3t12，因?yàn)閠0，

2222

33

所以y，所以函數(shù)y1x12x的值域?yàn)?.

22

故選：A．

x1

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)y20x0x20的值域?yàn)開(kāi)________.

82

【答案】5,3

【詳解】令t20x(0t25)，則x20t2，

20t2111

yt(t24t20)(t2)23

8288

容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為t2，

0t25，所以該函數(shù)在t2時(shí)取到最大值3，當(dāng)t25時(shí)，函數(shù)取得最小值5，

x1

所以函數(shù)y20x0x20值域?yàn)閥5,3.

82

故答案為：5,3

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)yx21x的值域是___________.

【答案】[1,)

【詳解】設(shè)1xt則x1t2,t0

所以yx21xt212t(t1)22t0

因?yàn)楹瘮?shù)y(t1)22在0,上單調(diào)遞增，

當(dāng)t0，y1，

所以函數(shù)yx21x的值域?yàn)閇1,)

故答案為：[1,).

題型12函數(shù)的值域（分式型函數(shù)的值域）

2x

【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）

43x

11

A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）

22

1111

C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）

3333

【答案】D

110

43x

【詳解】解：2x110，

y33

43x43x3343x

1

∴y，

3

11

∴該函數(shù)的值域?yàn)?，，?/p>

33

故選：D．

x2x1

【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀?）求函數(shù)y的值域；

x

（2）求函數(shù)yx22x的值域.

【答案】（1）,13,；（2）,3

x2x11

【詳解】（1）yx1，x0，

xx

11

當(dāng)x0時(shí)，yx12x13，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立；

xx

11

當(dāng)x0時(shí)，yx12x11，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

xx

故函數(shù)值域?yàn)?13,；

2

（2）函數(shù)定義域?yàn)閤2，令t=2-x,t30，則y=2-t2+2t=-(t-1)+3￡3，故函數(shù)值域?yàn)?3.

2x1

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)y的值域______________．

x22x2

313313

【答案】[,]

22

【詳解】由解析式知：函數(shù)的定義域?yàn)閤R，且y(x22x2)2x1，

∴整理可得：yx22(y1)x2y10，即該方程在xR上有解，

1

∴當(dāng)y0時(shí)，x，顯然成立；

2

22313313

當(dāng)y0時(shí)，有4(y1)4y(2y1)0，整理得y3y10，即y，

22

313313

∴綜上，有函數(shù)值域?yàn)閇,].

22

313313

故答案為：[,].

22

x2x1

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx的值域是___________.

x2x2

3

【答案】,1

7

x2x1

【詳解】解：fx，

x2x2

2

217

因?yàn)閤x2x0

24

所以函數(shù)fx的定義域?yàn)閤R

2

xx12

令y，整理得方程：y1x1yx2y10

x2x2

當(dāng)y1時(shí)，方程無(wú)解；

2

當(dāng)y1時(shí)，Δ1y4y12y10

不等式整理得：7y210y30

3

解得：y,1

7

x2x13

所以函數(shù)fx的值域?yàn)?1.

x2x27

3

故答案為：,1

7

題型13根據(jù)函數(shù)的