高一數(shù)學必修第二冊同步學與練（人教版）第06講 總體離散程度的估計（解析版）

第06講9.2.4總體離散程度的估計

課程標準學習目標

①理解方差、標準差的含義，會計算方差和平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨

標準差。勢的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法．但僅

②.掌握求分層隨機抽樣總樣本的平均數(shù)及知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效

方差的方法。決策．這節(jié)課我們共同來研究總體離散趨勢的有關知

識．

知識點1：總體離散程度的估計

（1）極差

一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差稱為極差.

（2）方差與標準差

一組數(shù)據(jù)，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

x1x2x3xnx

1n

則這組數(shù)據(jù)的方差：22；

s(xix)

ni1

n

標準差：12

s(xix)

ni1

【即學即練1】（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預測）已知五個數(shù)2，7，8，5，a的平均數(shù)為5，則這五個

數(shù)的方差為（）

A．5.2B．5C．4.8D．4.6

【答案】A

1

【詳解】由題可知2785a5，得a3，

5

12222

則方差s22575850315.2.

5

故選：A.

【即學即練2】（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)據(jù)2,8,3,7,a,6的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的標準差

為（）

2814742

A．B．C．D．

5333

【答案】D

2837a6

【詳解】由題意得5，解得a4，

6

222222

25853575456514

故這組數(shù)據(jù)的方差為，

63

1442

故標準差為.

33

故選：D

（3）總體方差和標準差

1N

如果總體中所有個體的變量值分別為總體平均數(shù)為，則稱22

Y1,Y2,Y3YNYS(YiY)

Ni1

為總體方差，SS2為總體標準差．

（4）樣本方差和標準差

1n

如果一個樣本中個體的變量值分別為，，，樣本平均數(shù)為，則稱22

y1y2y3ynys(yiy)

ni1

為樣本方差，ss2為樣本標準差．

（5）加權方差

如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kN)個，記為Y1,Y2,Y3Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為

1N

，則總體方差為22

fi(i1,2,3k)Sfi(YiY).

Ni1

題型01計算幾個數(shù)據(jù)的極差，方差，標準差

【典例1】（多選）（2023上·四川成都·高二?？茧A段練習）已知一組數(shù)據(jù)4,2,a,7,10的平均數(shù)為5，則

此組數(shù)據(jù)的（）

A．眾數(shù)為2B．上四分位數(shù)為4

48

C．極差為3D．方差為

5

【答案】AD

42a107

【詳解】由題意可得5a2，所以A正確：

5

對于B，從小到大排列這組數(shù)為2,2,4,7,10，則575%3.75，故上四分位數(shù)為第4個數(shù)7，故B錯誤.

極差為1028，故C錯誤;

22222

4525251057548

對于D：S2，D正確．

55

故選：AD

【典例2】（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中?？计谀┠撑_機床生產(chǎn)一種零件，在10天中每天生產(chǎn)的次

品零件數(shù)依次是：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，中位數(shù)是，標

準差是.

1651

【答案】1.51.5/165

1010

0102203124

【詳解】由題意可知，x1.5.

10

將10天中每天生產(chǎn)的次品零件數(shù)從小到大的順序排列是0，0，0，1，1，2，2，2，3，4，

12

所以在10天中每天生產(chǎn)的次品零件數(shù)的中位數(shù)為1.5.

2

標準差為

122222

s301.5211.5321.531.541.5

10

1165

42.2550.256.25.

1010

165

故答案為：1.5；1.5；.

10

【典例3】（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本加

入新數(shù)據(jù)4，5，6，此時樣本容量為10，方差s2為.

8

【答案】

5

xxx

【詳解】設這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為x,xx,則1275，

1277

222

x15x25x75

所以x1x2x735，2，

7

222

所以x15x25x7514.

xxx456

當加入新數(shù)據(jù)4，5，6后，平均數(shù)x1275，

10

1222222188

方差s2x5x5x545556514101故答案為：

101271055

【變式1】（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯(lián)考期末）已知一組數(shù)據(jù)1，3，9，5，7，則這組

數(shù)據(jù)的標準差為．

【答案】22

13957

【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，

5

(15)2(35)2(95)2(75)2164164

所以這組數(shù)據(jù)的方差為8，

55

所以這組數(shù)據(jù)的標準差為822．

故答案為：22.

【變式2】（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均

數(shù)為15，則其方差為.

4

【答案】/0.8

5

151414a1611114

【詳解】因為15，所以a16，所以s2.

555

4

故答案為：

5

【變式3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中?？计谀⒛尺x手的7個得分去掉1個最高分，去掉

1個最低分，5個剩余分數(shù)的平均分為22，現(xiàn)場作的7個分數(shù)的莖葉圖，后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，

在圖中以x表示，則5個剩余分數(shù)的方差為

【答案】17.2

【詳解】由題設7個得分為17,17,20,20,24,29,20x，易知最低分為17，最高分為29，

所以1720202420x110，即x9，

故剩余的5個得分為17,20,20,24,29，

(2217)2(2220)2(2220)2(2224)2(2229)2

其方差為s217.2.

5

故答案為：17.2

題型02根據(jù)方差，標準差求參數(shù)

【典例1】（2023下·江西贛州·高三統(tǒng)考階段練習）某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，

8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則xy（）

A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8

【答案】D

98.79.3xy

【詳解】因為平均數(shù)為9，

5

所以xy18.

(99)2(8.79)2(9.39)2(x9)2(y9)2

因為方差為0.1

5

所以(x9)2(y9)2x2y218x18y1620.32，

所以x2y2162.32，

又因為(xy)2x2y22xy324，

所以2xy161.68，

所以(xy)2x2y22xy0.64，

所以xy(xy)20.8.

故選：D.

【典例2】（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知如下的兩組數(shù)據(jù)：

第一組：10、11、12、15、14、13

第二組：12、14、13、15、a、16

若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實數(shù)a的值為.

【答案】11或17

101112131415

【詳解】第一組的平均數(shù)x12.5，

6

1213141516aa70

第二組的平均數(shù)x，

66

則第一組的方差為

222222

1012.51112.51212.51312.51412.51512.535

s2，

612

則第二組的方差為

22222222

21214131516aa705a28a20835

s，

663612

解得a11或17.

故答案為：11或17.

L2

【典例3】（2023下·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，，xn的平均值為x5，s32，

刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，方差比原來大4，則這組數(shù)據(jù)的個數(shù)n．

【答案】9

【詳解】由題意刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，所以刪除的數(shù)為5，

nn

2122

由題意sxi532，得xi532n，

ni1i1

n

122

刪除一個數(shù)后的方差為：xi55532436

n1i1

32n

得36，即n9，

n1

故答案為：9

【變式1】（2022上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）已知樣本9,10,11,m,n的平均數(shù)是9，方差是2，則mnmn

（）

A．41B．71C．55D．45

【答案】B

【詳解】9,10,11,m,n的平均數(shù)是9，

91011mn95，

即mn15①；

又方差是2，

1

(99)2(109)2(119)2(m9)2(n9)22，

5

即(m9)2(n9)25②；

由①②聯(lián)立，

m7m8

解得：或；

n8n7

mnmn71

故選：B.

【變式2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知a0，一組數(shù)據(jù)4，2，3a，

4a，7的方差為3.6，則a．

【答案】1

423a4a7

【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，

5

22222

44243a44a4742a22a14

所以這組數(shù)據(jù)的方差為3.6，

55

得a2a20，解得a2舍去，或a1.

故答案為：1.

2

【變式3】（2022下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)x6，方差s21，去掉

一個數(shù)據(jù)之后，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有變，方差變?yōu)?4，則這組數(shù)據(jù)的個數(shù)n.

【答案】8

【詳解】因為去掉一個數(shù)據(jù)之后，數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有變，所以去掉的數(shù)據(jù)為6，

去掉6后方差變?yōu)?4，故得到24n121n，解得：n8

故答案為：8

題型03方差，標準差性質(zhì)

【典例1】（2024上·云南保山·高三統(tǒng)考期末）將x1,x2,,xn每個數(shù)均加上9，得到x19,x29,,xn9，

則兩組數(shù)數(shù)字特征不同的是（）

A．平均數(shù)B．方差

C．極差D．眾數(shù)的個數(shù)

【答案】A

nnn

111

【詳解】依題意，xxi，x19,x29,,xn9的平均數(shù)x(xi9)xi9x9，

ni1ni1ni1

因此兩組數(shù)的平均數(shù)不同，A是；

nnn

212212122

s(xix)，x19,x29,,xn9的方差s(xi9x)(xix)s，

ni1ni1ni1

因此兩組數(shù)的方差相同，B不是；

由于數(shù)據(jù)x1,x2,,xn中的最大與最小，同加9后，在數(shù)據(jù)x19,x29,,xn9中對應的數(shù)仍是最大與最小，

因此兩組數(shù)的極差相同，C不是；

顯然數(shù)據(jù)x1,x2,,xn中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，同加9后，在數(shù)據(jù)x19,x29,,xn9中對應的數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多，

因此兩組數(shù)的眾數(shù)的個數(shù)不變，D不是.

故選：A

【典例2】（2023上·吉林白城·高三?？茧A段練習）已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的極差為8，方差為6，則數(shù)

據(jù)3x11，3x21，…，3x101的極差和方差分別為（）

A．24，19B．25，19

C．24，54D．25，54

【答案】C

≤≤≤

【詳解】不妨設x1x2x10，則x10x18，且3x113x213x101，

所以3x1013x1124，所以數(shù)據(jù)3x11，3x21，…，3x101的極差為24．

222

xxxxxx

設x，x，，的平均數(shù)為，所以1210．

12…x10x6

10

又數(shù)據(jù)3x11，3x21，…，3x101的平均數(shù)為

3x13x13x1

12103x1，

10

所以數(shù)據(jù)3x11，3x21，…，3x101的方差為

222

3x13x13x13x13x13x1

21210

s

10

222

x1xx2xx10x

954．

10

故選：C．

【典例3】（多選）（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考階段練習）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn為不

全相等的n個正數(shù)，其中n4，若由yk3xk2k1,2,,n生成一組新的數(shù)據(jù)y1,y2,,yn，則這組新數(shù)

據(jù)與原數(shù)據(jù)中可能相等的量有（）

A．極差B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標準差

【答案】BC

【詳解】對于A，因為樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn為不全相等的n個正數(shù)，所以極差大于0，

所以由yk3xk2k1,2,,n生成一組新的yi的極差是xi極差的3倍，故A錯誤；

對于B，設x為x1,x2,,xn的平均數(shù)，y為y1,y2,,yn的平均數(shù)，可得y3x2，

當x1時，可得y1，故B正確；

對于C，當n為正奇數(shù)時，設樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的中位數(shù)為xk，

則數(shù)據(jù)y1,y2,,yn的中位數(shù)yk3xk2，當xk1時，yk3xk21，故C正確；

對于D，s1為x1,x2,,xn的標準差，因為樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn為不全相等的n個正數(shù)，

所以s10，設s2為y1,y2,,yn的標準差，可得y3x2，

222

xxxxxx

則s12n，

1n

222222

yyyyyy9xx9xx9xx

s12n12n3s，故D錯誤.

2nn1

故選：BC.

【典例4】（2023上·四川成都·高二四川省成都列五中學?？茧A段練習）數(shù)據(jù)x1，x2，，x8的平均數(shù)為6，

方差為4，若數(shù)據(jù)3x15，3x25，，3x85的平均數(shù)為a，方差為b，則ab．

【答案】49

【詳解】數(shù)據(jù)x1，x2，，x8的平均數(shù)為6，

數(shù)據(jù)3x15，3x25，，3x85的平均數(shù)a36513,

數(shù)據(jù)x1，x2，，x8的方差為4，

2

數(shù)據(jù)3x15，3x25，，3x85的方差b3436,

ab133649.

故答案為：49.

【變式1】（2023上·云南保山·高一?？奸_學考試）若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，方差為3，那么

數(shù)據(jù)a12，a22，a32的平均數(shù)和方差分別是（）

A．4，3B．6，3C．3，4D．6，5

【答案】B

【詳解】若一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)a12，a22，a32的平均數(shù)和方差

分別是6，3，

故選：B

2

【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，方差為s，若樣本數(shù)據(jù)ax15，

2

ax25，…，axn5的平均數(shù)為3x，方差為4s，則x（）

5

A．5B．5C．1或5D．或5

7

【答案】C

222

【詳解】由方差的性質(zhì)，得ax15，ax25，…，axn5的方差為as，故a4，解得a2．

由平均數(shù)的性質(zhì)，得ax15，ax25，…，axn5的平均數(shù)為ax5，故ax53x，

5

解得x1或5.

3a

故選：C．

【變式3】（2023下·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學蘇州附屬中學校考階段練習）已知一組數(shù)據(jù)

1

x,x,x,x,x的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1,2x1,2x1,2x1,2x1的平均數(shù)，方差

12345312345

分別為，

41

【答案】3/1

33

1

【詳解】∵一組數(shù)據(jù)x,x,x,x,x的平均數(shù)是2,方差是，

123453

∴另一組數(shù)據(jù)2x11,2x21,2x31,2x41,2x51的平均數(shù)為：2213，

14

方差為：22.

33

4

故答案為：3；

3

【變式4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）設一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)

10x16，10x26，，10xn6的方差為．

【答案】1

2

【詳解】因為數(shù)據(jù)axibi1,2,,n的方差是數(shù)據(jù)xii1,2,,n的方差的a倍，

所以所求數(shù)據(jù)的方差為1020.011，

故答案為：1.

題型04用方差，標準差說明數(shù)據(jù)波動程度

【典例1】（2023上·黑龍江雞西·高三密山市第一中學?？计谀榱肆私饧住⒁覂蓚€工廠生產(chǎn)的輪胎的寬

度是否達標，分別從兩廠隨機選取了10個輪胎，將每個輪胎的寬度（單位：mm）記錄下來并繪制出折線

圖：

(1)分別計算甲、乙兩廠提供10個輪胎寬度的平均值；

(2)輪胎的寬度在194,196內(nèi)，則稱這個輪胎是標準輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標

準輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個廠的

輪胎相對更好?

【答案】(1)195mm；194mm

(2)乙廠的輪胎相對更好

【詳解】（1）記甲廠提供的10個輪胎寬度的平均值為x1，乙廠提供的10個輪胎寬度的平均值為x2，

19521942196219321972

x195mm，

110

195419419619321922

x194mm.

210

（2）甲廠10個輪胎寬度在194,196內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195，

195194196194196195

則平均數(shù)為195，

6

1222

所以方差s20211211202；

163

乙廠10個輪胎寬度在194,196內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,196,195,194,195,195，

195196195194195195

則平均數(shù)為195，

6

121

所以方差s202120210202；

263

因為甲、乙兩廠生產(chǎn)的標準輪胎寬度的平均值一樣，但乙廠的方差更小，

所有乙廠的輪胎相對更好.

【典例2】（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┠炒髮W共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、

大二、大三、大四分別有100個、200個、300個、400個.為挑選優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機抽

樣的方法，從以上團隊中抽取20個.

(1)應從大三團隊中抽取多少個團隊？

(2)將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的

成績?nèi)缦拢?/p>

甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142

乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140

從甲、乙兩組中選一組強化訓練，備戰(zhàn)機器人大賽.分別計算兩組成績的平均數(shù)和方差，并分析應選擇哪一

組參賽，理由是什么？

【答案】(1)6

22

(2)x甲130，x乙131，s甲104.2，s乙128.8，甲組或乙組，理由見解析

3003

【詳解】（1）由題意知，大三團隊個數(shù)占總團隊個數(shù)的，

10020030040010

3

則應從大三中抽取206(個)團隊．

10

1

（2）甲組成績的平均數(shù)x甲(125141140137122114119139121142)130，

10

1

乙組成績的平均數(shù)x乙(127116144127144116140140114140)131，

10

甲組數(shù)據(jù)的方差

21222222

s甲[(125130)(141130)(140130)(137130)(122130)(114130)

10

(119130)2(139130)2(121130)2(142130)2]104.2，

乙組數(shù)據(jù)的方差

21222222

s乙[(127131)(116131)(144131)(127131)(144131)(116131)

10

(140131)2(140131)2(116131)2(140131)2]128.8，

22

選甲組理由：甲、乙兩組平均數(shù)相差不大，但s甲s乙，由此可以估計甲組比乙組成績穩(wěn)定；

選乙組理由：x甲x乙，在比賽中，估計獲勝的可能性大．

【典例3】（2023下·四川南充·高三四川省南充市高坪中學?？奸_學考試）某果園試種了A，B兩個品種的

桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平

22

均數(shù)分別為x和y，方差分別為s1和s2.

A（單位/kg）60504060708070305090

B（單位/kg）40605080805060208070

(1)分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；

22

(2)求x，y，s1，s2；

(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結果分析選種哪個品種更合適，并說明理由.

【答案】(1)A品種極差為60，中位數(shù)為60；B品種極差為60，中位數(shù)為60

22

(2)x60，y59，s1300，s2349

(3)應該選種A品種桃樹，理由見解析

【詳解】（1）這10棵A品種桃樹的產(chǎn)量從小到大分別為30，40，50，50，60，60，70，70，80，90，

6060

這10棵A品種桃樹產(chǎn)量的極差為903060，中位數(shù)為60，

2

這10棵B品種桃樹產(chǎn)量從小到大分別為20，40，50，50，60，60，70，80，80，80，

6060

這10棵B品種桃樹產(chǎn)量的極差為802060，中位數(shù)為60.

2

1

（2）x3040505060607070809060，

10

1

y2040505060607080808059，

10

12222222222

s23060406050605060606060607060706080609060300

110

12222222222

s22059405950595059605960597059805980598059349

210

22

（3）由第一問可知這兩個品種極差和中位數(shù)都相等，由第二問可知xy，s1s2，

則A品種桃樹平均產(chǎn)量高，波動小，

所以應該選種A品種桃樹.

【變式1】（2023下·山西呂梁·高一校聯(lián)考階段練習）某果園試種了A，B兩個品種的桃樹各10棵，并在

桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為x和y，

22

方差分別為s1和s2.

A（單位kg）55505060708080808590

B（單位kg）45606080755580807095

22

(1)求x，y，s1，s2；

(2)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結果分析選種哪個品種更合適？并說明理由.

22

【答案】(1)x70，y70，s1205，s2200

(2)選擇B品種，理由見解析

1

【詳解】（1）x5050556070808080859070，

10

212222222

s1220151003101520205，

10

1

y4555606070807580809570，

10

212222222

s225152100310525200.

10

（2）由xy70可得A，B兩個品種平均產(chǎn)量相等，

22

又s1s2，則B品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇B品種.

【變式2】（2023·高一單元測試）某賽季甲、乙兩名運動員在若干場比賽中的得分情況如下：

甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；

乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：

(1)分別計算甲、乙兩人每場得分的平均數(shù)；

(2)計算甲、乙兩人每場得分的中位數(shù)；

(3)計算甲、乙兩人得分的標準差，并回答誰的成績比較穩(wěn)定．

【答案】(1)甲每場得分的平均數(shù)為26，乙每場得分的平均數(shù)為26；

(2)甲每場得分的中位數(shù)為26.5，乙每場得分的中位數(shù)為26；

(3)甲的得分的標準差4.97；乙的得分的標準差為12.05；甲的成績穩(wěn)定.

【詳解】（1）設甲運動員的各場比賽得分的平均數(shù)為x，乙運動員的各場比賽得分的平均數(shù)為y，

因為甲運動員的12場比賽得分依次為18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；

1

所以x18202122232528293030323426，

12

因為乙運動員的11場比賽得分依次為8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48，

1

所以y81314162326283338394826，

11

所以甲每場得分的平均數(shù)為26，乙每場得分的平均數(shù)為26；

2528

（2）由中位數(shù)定義可得甲每場得分的中位數(shù)為26.5，乙每場得分的中位數(shù)為26；

2

（3）設甲運動員的各場比賽得分的標準差為s1，乙運動員的各場比賽得分的標準差為s2，

222222

因為182620262126222623262526151

222222

282629263026302632263426145

1

s1511454.97，

112

222222

82613261426162623262626746，

22222

28263326382639264826850，

1

s74685012.05，

211

因為甲運動員的各場比賽得分的標準差小于乙運動員的各場比賽得分的標準差，

所以甲運動員的成績比乙運動員的成績穩(wěn)定.

【變式3】（2022上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）在一個文藝比賽中,由10名專業(yè)評審、10名媒體評審和

10名大眾評審各組成一個評委小組,給參賽選手打分.打分均采用100分制,下面是三組評委對選手小明的打

分:

小組A85918793888497949586

小組B84879296899592919490

小組C95899596979392908994

(1)選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量,并對每組評委的打分計算度量值;

(2)你能依據(jù)(1)的度量值判斷小組A,B與C中哪一個更象是由專業(yè)人士組成的嗎？

2

(3)已知選手小華專業(yè)評審得分的平均數(shù)和方差分別為x195,s18,媒體評審得分的平均數(shù)和方差分別為

22

x293,s212,大眾評審得分的平均數(shù)和方差分別為x391,s320,將這30名評審的平均分作為最終得分,

求該選手最終的得分和方差.

【答案】(1)答案見解析

(2)C組

(3)90分;160

【詳解】（1）（1）可以用方差來度量每一組評委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.

1

小組A的平均數(shù)x(85918793888497949586)90,

A10

2122222

小組A的方差s[(8590)(9190)(8790)(9390)(8890)

A10

(8490)2(9790)2(9490)2(9590)2(8690)2]19,

1

小組B的平均數(shù)x(84879296899592919490)91,

B10

1

小組B的方差s2[(8491)2(8791)2(9291)2(9691)2(8991)2

B10

(9591)2(9291)2(9191)2(9491)2(9091)2]12.2,

1

小組C的平均數(shù)x(95899596979392908994)93,

C10

1

小組C的方差s2[(9593)2(8993)2(9593)2(9693)2(9793)2

C10

(9393)2(9293)2(9093)2(8993)2(9493)2]7.6.

（2）由于專業(yè)評委給分更符合專業(yè)規(guī)則,相似程度應該高,即方差小,因而C組評委更像是專業(yè)人士組成的.

101010101010

（3）小華的得分xxxx95939193分.

301302303303030

222

21222

方差s10s1x1x10s2x2x10s3x3x,

30

1

s2108(9593)21012(9393)21020(9193)2,

30

s2160.

題型05估計總體的方差，標準差

【典例1】（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）某學校高一高二年級共1000人，其中高一年級400人，

現(xiàn)按照年級進行分層隨機抽樣調(diào)查學生身高，得到高一、高二兩個年級的樣本平均數(shù)分別為165cm，170cm

和樣本標準差分別為3，4，則總體方差S2（）

A．18.5B．19.2C．19.4D．20

【答案】B