高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第06講 平面向量基本定理（解析版）

第06講6.3.1平面向量基本定理

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解平面向量基本定理及其意義，了解向

量基底的含義。

1.在課本知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，加上初中階段對(duì)數(shù)軸的理

②掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平

解，以及物理知識(shí)中里的分解的知識(shí)，進(jìn)一步理解平面

面向量。

向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義；

③會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面

2.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐標(biāo)系，

向量的綜合問題。

更應(yīng)該學(xué)會(huì)用基底表示平面向量；

④能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示

3.在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)致用，會(huì)應(yīng)用平

兩個(gè)平面向量的夾角。

面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題；

⑤能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條

件。

知識(shí)點(diǎn)01：平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,

e1e2a12

使.

a1e12e2

若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

e1e2{e1,e2}

（2）對(duì)平面向量基本定理的理解

(1)這個(gè)定理告訴我們,平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內(nèi)的任一向

量都可用該組基底唯一表示.

(2)對(duì)于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.

e1e2

(3)同一個(gè)非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且

01e12e2

120.

(4)這個(gè)定理可推廣為:平面內(nèi)任意三個(gè)不共線的向量中,任何一個(gè)向量都可表示例示為其余兩個(gè)向量的線

性組合,且形式唯一.

知識(shí)點(diǎn)02：平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論

（1）設(shè),是平面內(nèi)一組基底，若，當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，與共

e1e2a1e12e210ae220ae1

線；當(dāng)120時(shí)，a0，同樣的a0時(shí)，120.

xx

（2）設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，若，則12.

a,bx1ay1bx2ay2b

y1y2

題型01基底的概念及辨析

【典例】（下高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，不共線，則下列向量不可以作為一組基底的是（）

12023·e1e2

A．e1e2和e1e2B．4e12e2和6e13e2

．和．和

C2e1e2e2De1e22e2e1

【答案】B

a1

【詳解】選項(xiàng)，設(shè)，則，無解，故和是不共線的向量，可作為一組

Ae1e2ae1e2e1e2e1e2

a1

基底，A錯(cuò)誤；

2

選項(xiàng)，∵，

B4e12e26e13e2

3

∴4e12e2和6e13e2共線，不能作為一組基底，故B正確；

20

C選項(xiàng)，設(shè)2eebe，則，無解，故2ee和e不共線，故可作為一組基底，C錯(cuò)誤；

122b1122

2c1

選項(xiàng)，設(shè)，則，無解，和不共線，可作為一組基底，錯(cuò)誤

De1e2c2e2e1e1e22e2e1D..

c1

故選：B

【典例2】（多選）（2023下·安徽阜陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下a,b

可作為該平面內(nèi)一組基底的是（）

A．a(chǎn)e1e2,be1

11

B．a(chǎn)2ee,bee

124122

C．a(chǎn)e1e2,be1e2

D．a(chǎn)e12e2,be14e2

【答案】ABD

【詳解】a不能用b表示，故a,b不共線，所以A符合；

a不能用b表示，所以a,b不共線，故B符合；

ab，故a,b共線，所以C不符合；

a不能用b表示，故a,b不共線，所以D符合.

故選：ABD.

【變式1】（2022下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)e1、e2是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組

向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（）

A．e1e2和e1e2B．e12e2和e22e1

．和．和

C3e12e24e26e1De2e2e1

【答案】C

【詳解】依題意，e1、e2不共線，

A選項(xiàng)，不存在R使e1e2e1e2，

所以e1e2和e1e2可以組成基底.

B選項(xiàng)，不存在R使e12e2e22e1，

所以e12e2和e22e1可以組成基底.

C選項(xiàng)，4e26e123e12e2，

所以3e12e2和4e26e1不能構(gòu)成基底.

D選項(xiàng)，不存在R使e2e2e1，

所以和可以組成基底

e2e2e1.

故選：C

【變式2】（多選）（2022下·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）如圖所示，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線

的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（）

A．AD與BCB．AC與BDC．CA與DCD．OD與OB

【答案】BC

【詳解】A項(xiàng)中AD與BC共線，D項(xiàng)中OD與OB共線，B，C項(xiàng)中兩向量不共線，

故選：BC

題型02用基底表示向量

【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，記AEa，CDb，則

AC（）

11112

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

32233

【答案】D

111

【詳解】由題意可知，aABAC，bABCAABAC．

222

32

兩式相減，得abAC，所以ACab．

23

故選：D．

【典例2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，且BD2AD，點(diǎn)E是CD的中

uurr

點(diǎn).設(shè)CAa，CBb，則AE（）

11112121

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

36363636

【答案】C

【詳解】

11111121

如圖，AEACADCAABCACBCAab，

22262636

故選：C.

1

【典例3】（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎叫兴倪呅蜛BCD中，DEDC，若ACBEAE，

2

則（）

33

A．B．C．2D．2

22

【答案】D

1

【詳解】在YABCD中，DEDC，即E是DC的中點(diǎn)，則ACAD2AE，

2

1

又AEBEADDEBCCE2AD，即AD(AEBE)，

2

113

因此AC2AEAD2AE(AEBE)BEAE，

222

而ACBEAE，BE,AE不共線，

13

所以,，2.

22

故選：D

【變式1】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在ABC中，AD為BC邊上的中線，2AEED，

則BE（）

5115

A．ABACB．ABAC

6666

5115

C．ABACD．ABAC

6666

【答案】A

【詳解】

1

因?yàn)?AEED，所以AEAD

3

1

由已知可得，ADABAC，

2

1

所以，AEABAC，

6

151

所以，BEAEABABACABABAC.

666

故選：A.

【變式2】（2023上·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，AE和

BD相交于點(diǎn)F．記AB=a，ADb，則（）

2121

A．CFabB．CFab

3333

1212

C．CFabD．CFab

3333

【答案】A

【詳解】在平行四邊形

ABCD中AB//CD，AE和BD相交于點(diǎn)F，

所以ABF∽EDF，又E是CD的中點(diǎn)，

DFDE111

所以，所以DFDBABAD，

BFAB233

12121

所以CFCDDFABABADABADab.

33333

故選：A

【變式3】（2023上·山西朔州·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在ABC中，設(shè)AB=a，ACb，BD2DC，AE4ED，

則BE（）

11828

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)b

515315

28118

C．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

3151515

【答案】D

【詳解】由題意

444142181118

BEAEABADa(ABBD)aBDaBCa(ba)aab,

55555351551515

故選：D．

題型03用平面向量基本定理求參數(shù)

【典例1】（2023上·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）ABC是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等

邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若AF3EF，AF3，且AF=ABAC，則（）.

1569419

A．B．C．D．

19191919

【答案】A

2222

【詳解】由題設(shè)AFABBFABBDAB(BCCD)AB(BCCE)

3333

24248

ABBC(CAAE)ABBCCAAF

393927

248128

AB(ACAB)ACAFABACAF，

39273927

191296

所以AFABAC，即AFABAC，

27391919

15

又AF=ABAC，故.

19

故選：A

【典例2】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考期中）如圖，△BCD與ABC的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域ABCD

內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且APABAC,R，則的取值范圍是（）

A．0,1B．0,2C．0,3D．0,4

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)AD垂直平分BC于點(diǎn)O，

因?yàn)椤鰾CD與ABC的面積之比為2，則DO2AO，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，可得AP0，此時(shí)0，即的最小值為0；

1133

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，可得AP3AO3(ABAC)ABAC，

2222

3

此時(shí)，即，此時(shí)為最大值為3，

2

所以的取值范圍為0,3.

故選：C.

【典例3】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，D是BC的中

點(diǎn)，E在邊AB上，BE2EA，AD與CE交于點(diǎn)O，

(1)設(shè)DExAByAC，求xy的值；

AB

(2)若ABAC6AOEC，求的值．

AC

2

【答案】(1)xy

3

AB

(2)3

AC

121211

【詳解】（1）∵DEDBBECBABABACABABAC，

232362

112

∴x,yxy；

623

（2）因?yàn)镋，O，C三點(diǎn)共線，不妨設(shè)EOtEC,

1

所以AOAEtECAEtACAEtAC1tAB，

3

mmm

再設(shè)AOmAD，所以AOABACABAC，

222

m1

tt

24

所以，

1tm1

m

322

11

所以AOABAC，ECEAACABAC，

43

111232

因?yàn)?AOEC6ABACABACABABACACABAC，

4322

1232AB

∴ABAC0得AB3AC，即3．

22AC

【變式1】（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，G為ABC的重心，滿足

AGxAByADx,yR，則x2y（）

45

A．B．C．0D．1

33

【答案】A

【詳解】如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，G為ABC的重心，

可得O為BD的中點(diǎn)，BG2GO，

1111

所以AGAOOGAOOBAODBABADABAD

3626

21

ABAD，

33

因?yàn)锳GxAByADx,yR，

21214

所以x,y，則x2y2.

33333

故選：A.

【變式2】（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？计谥校┰谌切蜛BC中，點(diǎn)D是AB邊上的四等分點(diǎn)且

AD3DB，AC邊上存在點(diǎn)E滿足EACE0，直線CD和直線BE交于點(diǎn)F，若FCDF0，

則的值為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【詳解】由已知EACE0，

111

則BEBCCEBCCABCBABCBABC

1111

11

同理可得BFBCBDBCBA，

11141

因?yàn)橹本€CD和直線BE交于點(diǎn)F，

mm

所以設(shè)BFmBEBABC

11

m1

11

即

m

141

解得4.

故選：C.

1

【變式3】（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AEAC

，若DEABBC，

3

則.

1

【答案】

6

11111111

【詳解】因?yàn)镈EDAAEBAACBABCBABABCABBC,

23236363

111

所以,,故;

636

1

故答案為：.

6

題型04平面向量基本定理的綜合應(yīng)用

【典例1】（2023上·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，M，N分別為AB，AC邊上的

中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，ADAB，AEAC，

11

則的最小值為（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

【詳解】設(shè)MPtMN，則t0,1，

1

因?yàn)镸，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以MNBC，AMMB,ANNC，

2

1

故MPtBC，

2

1

因?yàn)镈MP∽△DBC，所以DMtBD，

2

11

設(shè)BDx，則DMtx,MBxtx，ADAMDMxtx，

22

ADxtx1t1t

故，故，

AB2xtx2t2t

1

同理可得NP1tMN，NP1tBC，

2

1

因?yàn)镋NP∽ECB，所以EN1tEC，

2

111

設(shè)ECy，則EN1ty,CNy1ty1ty，

222

AC1ty，AE1tyyty，

AEtt

故，，

AC1t1t

112t1t11111

則1122

1tt1tt1ttt1t

2

t1t1

因?yàn)閠0,1，由基本不等式得t1t，

24

1

當(dāng)且僅當(dāng)t1t，即t時(shí)，等號(hào)成立，

2

111

故2246.

t1t

故選：C

【典例2】（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若

OAOBOC0,AMxAB,ANyAC,MOON,x,y均為正數(shù)，則xy的最小值為（）

144

A．B．C．1D．

293

【答案】B

【詳解】因?yàn)镺AOBOC0，所以點(diǎn)O是ABC的重心，

211

所以AOABACABAC.

323

11

因?yàn)锳MxAB,ANyAC，所以ABAM,ACAN，

xy

11

所以AOAMAN.

3x3y

1111

又因?yàn)镸OON，所以M,O,N三點(diǎn)共線，所以1，即3.

3x3yxy

11113

因?yàn)閤,y均為正數(shù)，所以3=2，即，

xyxyxy2

41132

所以xy（當(dāng)且僅當(dāng)，即xy時(shí)取等號(hào)），

9xy23

4

所以xy的最小值為，

9

故選：B

【典例3】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等邊ABC外接圓圓心為O，半徑為2,O上有點(diǎn)

M,BMxBAyBC．

(1)若M為弧AC中點(diǎn)，求xy；

(2)求AMAB最大值．

4

【答案】(1)；

3

(2)643．

【詳解】（1）設(shè)D是AC的中點(diǎn)，則BDAC，且B,O,D三點(diǎn)共線，

若M為弧AC中點(diǎn)，則B,O,D,M四點(diǎn)共線，

由于OAOMOC,AOMMOC60，

所以三角形AOM和三角形MOC是等邊三角形，所以O(shè)AOCAMCM2，

所以四邊形AOCM是菱形，ODMD，

44122

所以BMBDBABCBABCxBAyBC，

33233

24

所以xy,xy.

33

（2）因?yàn)镺AOBOC2，

23

所以COAB2，AB23，

32

AMABAOOMABAOABOMAB

AOABcos30OMABcosOM,AB

3

223223cosOM,AB643cosOM,AB，

2

所以當(dāng)OM,AB同向時(shí)，AMAB取得最大值為643.

3

【變式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中?？计谥校〢BC中，D為AC上一點(diǎn)且滿足CDCA，若P

4

為BD上一點(diǎn)，且滿足APABAC，,為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A．的最小值為B．的最大值為1

16

1111

C．的最大值為16D．的最小值為4

44

【答案】D

3

【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)镃DCA，所以AC4AD，

4

故APABACAB4AD，

因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線，設(shè)PBmBD，即ABAPmADmAB，

故AP1mABmAD，

令1m,4m，故41，

1

,為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得41244，解得，

16

111

當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，AB錯(cuò)誤；

2816

111144

CD選項(xiàng)，411224，

4444

411

當(dāng)且僅當(dāng)，即,時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤，D正確.

428

故選：D

【變式2】（2023上·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）在ABC中，點(diǎn)D,E是線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

y12

ADAExABAC，則的最小值為（）．

2xy

24

A．B．C．2D．8

33

【答案】C

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)CDCB,01，則ADACCDACCBACCAABAB1AC，

同理設(shè)CECB,01，則AEACCEACCBACCAABAB1AC，

所以ADAEAB1ACAB1ACAB2AC

y

又由題意ADAExABAC，

2

yy

所以x,2,x22,0x2,0y4，

22

xy

從而1,0x2,0y4，

24

12xy12yxyx

當(dāng)x0,y0時(shí)，由基本不等式可得1122，

xy24xy4xy4xy

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x1,y2.

12

綜上所述：的最小值為2.

xy

故選：C.

【變式3】（2023上·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在ABC中，ABC1200,ABBC，△ABD

xy

是正三角形，點(diǎn)M是△ABD的中心，若xMAyMBzMC0，則

z

【答案】4

【詳解】如圖，MC交AB于點(diǎn)E，ABC120,ABBC

MAEBAC30，設(shè)AB=a，則AC3a，

AMME1

因?yàn)锳B是MAC的角平分線，所以，

ACEC3

3a1

所以AM，MEMCmMAnMB，

34

因?yàn)镋，A，B三點(diǎn)共線，所以mn1，

1

MEMCmMAnMB，MC4mMA4nMB

4

xy

由題干可知xMAyMBzMC0，即MC=MAMB

zz

xy

所以4m，4n

zz

xy

4

z

故答案為：4.

題型05運(yùn)用平面向量基本定理解決證明問題

【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B

的三等分點(diǎn)．

(1)分別用向量AB，AD表示向量AC，BE；

(2)若點(diǎn)N滿足4AN2AB3AC，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．

3

【答案】(1)AC2AB3AD，BE2ABAD

2

(2)證明見解析

【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

所以CD2DB,AEEC，

則ACABBCAB3BDAB3(ADAB)2AB3AD，

113

BEBAAEABACAB(2AB3AD)2ABAD.

222

13

（2）因?yàn)?AN2AB3AC，所以ANABAC，

24

1313

則ANAB2AEABAE，

2422

所以2ANAB3AE,AEAB2(ANAE)，即BE2EN，所以BE//EN，

又因?yàn)锽E,EN有公共點(diǎn)E，

所以B，N，E三點(diǎn)共線.

【典例2】（2023下·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知m0,n0，如圖，在ABC中，點(diǎn)M,N滿足AMmAB，

1

ANnAC,D是線段BC上一點(diǎn)，BDBC，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，且M,N,E三點(diǎn)共線．

3

(1)求3m6n的最小值．

(2)若點(diǎn)O滿足2AOOBOC，證明：OE//BC．

【答案】(1)4

(2)證明見解析

1121

【詳解】（1）由題可知ADABBDABBCABACABABAC，

3333

111

因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以AEADABAC.

236

11

AMmAB,ANnAC,AEAMAN，

3m6n

11

因?yàn)镸,N,E三點(diǎn)共線，所以1，

3m6n

116n3m

3m6n3m6n2224，

3m6n3m6n

21

當(dāng)且僅當(dāng)m,n時(shí)，等號(hào)成立．

33

所以3m6n的最小值為4.

（2）

1

由2AOOBOC，則2AOOAABOAAC，即AOABAC，

4

111111

OEAEAOABACABACABACCB，

364121212

所以O(shè)E//CB，又E,C,B三點(diǎn)不共線，所以O(shè)E//BC．

1

【變式1】（2023下·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ADAB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，設(shè)

3

ABa,ACb，

(1)用a,b表示CD,AE；

rr

(2)如果a3b，CD,AE有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.

111

【答案】(1)CDab，AEab.

362

(2)CDAE，證明見解析

111

【詳解】（1）解：因?yàn)锳DAB，所以CDADACABACab，

333

因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，

1111111

可得AEADACABACABACab.

2236262

（2）解：CDAE.

因?yàn)閍3b，

1111211121212

則CDAEababaababbab

36218662182

12121212

|a||b|(3|b|)|b|0

182182

以CDAE，所以CDAE.

【變式2】（2023下·河南南陽(yáng)·高一社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在ABC中，CD2DB,AEEC．

(1)用AB，AD表示AC，BE；

13

(2)若點(diǎn)M滿足AMABAC，證明：B，M，E三點(diǎn)共線．

24

3

【答案】(1)AC2AB3AD，BE2ABAD

2

(2)證明見解析

【詳解】（1）因?yàn)镃D2DB,AEEC，

ACABBCAB3BD

AB3ADAB2AB3AD，

1

BEBAAEABAC

2

111

ABBCBAABBC

222

1111

AB3BDAB3ADAB

2222

3

2ABAD.

2

13

（2）由AMABAC，

24

1313

可得AMAB2AEABAE，

2422

所以2AMAB3AE，AEAB2AMAE，即BE2EM，

所以B，M，E三點(diǎn)共線.

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1

1．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）在ABC中，AB=a，ACb，若BDBC，M為線段AD的中點(diǎn)，