高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第02講 復(fù)數(shù)的幾何意義（解析版）

第02講7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起

1..理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來

點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)

表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

應(yīng)關(guān)系。

2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念；

②掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念。

3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法；

③.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方

法。

知識(shí)點(diǎn)01：復(fù)平面

建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面

①x軸——實(shí)軸

②y軸——虛軸

③實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

知識(shí)點(diǎn)02：復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)zabia,bR復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)

（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)zabia,bR平面向量OZ(a,b)

知識(shí)點(diǎn)03：復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)zabia,bR)的模，記為|z|或|abi|

公式：|z||abi|a2b2，其中a,bR

復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)zabi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離；

特別的，b0時(shí)，復(fù)數(shù)zabi是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于|a|(a的絕對(duì)值).

【即學(xué)即練1】（2024上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z2i（i是虛數(shù)單位），則z為（）

A．5B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】z22125.

故選：A

知識(shí)點(diǎn)04：共軛復(fù)數(shù)

（1）定義

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩

個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).

（2）表示方法

表示方法：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果zabi，則zabi.

【即學(xué)即練2】（2023上·上海浦東新·高三校考期中）已知復(fù)數(shù)z1i（其中i為虛數(shù)單位），則z.

【答案】1i/i1

【詳解】z1i，z1i.

故答案為:1i.

題型01復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示

2

【典例1】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)zm3i2i，其中m1，則復(fù)數(shù)z

3

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【詳解】因?yàn)閦m3i2i3m2m1i，實(shí)部為3m2，虛部為m1，

2

因?yàn)閙1，所以03m21，m10，

3

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3m2,m1位于第四象限.

故選：D

【典例2】（2023下·新疆哈密·高一?？计谀┧倪呅蜛BCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)分別是13i，2i，3i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．

【答案】45i/5i4

【詳解】依題意，因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是13i，2i，3i，

所以A1,3,B2,1,C3,1，

因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以ABDC，設(shè)Dx,y，

3x1x4

則1,43x,1y，故，解得，

1y4y5

所以D4,5，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為45i.

故答案為:45i.

【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上給定四個(gè)點(diǎn)O,A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，其中四個(gè)點(diǎn)對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zO0，zA1i，zC32i，則zB．

【答案】4+3i或2i或2i

【詳解】因?yàn)閦O0，zA1i，zC32i,又因?yàn)镺,A,B,C可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形,分情況可得

當(dāng)OABC為平行四邊形,則zBzAzC1+i+3+2i=4+3i;

當(dāng)OBAC為平行四邊形,則zAzBzC,即zBzAzC1i32i2i

當(dāng)OBCA為平行四邊形,則zCzBzA,即zBzCzA32i1i2i

故答案為:4+3i或2i或2i

【變式2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)作出表示下列復(fù)數(shù)的點(diǎn)：

(1)12i；

22

(2)i；

22

(3)3i；

(4)5．

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

(4)答案見解析

【詳解】（1）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)12i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1(1,2).

2222

（2）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(,).

22222

（3）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)3i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z3(0,3)

（4）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)5在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z4(5,0)

題型02在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征

【典例1】（2023下·遼寧大連·高一大連八中校考期中）復(fù)數(shù)z2sinicosR對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

則角是（）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【答案】B

sin0

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z2sinicosR對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則，

cos0

因此，角是第二象限角.

故選：B.

2

【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)zm6m2m3i，若在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二

象限，則m的取值范圍為．

【答案】,31,6

【詳解】由已知可得，zm6m22m3i.

m60

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，2，

m2m30

解得m3或1m6，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為,31,6.

故答案為：,31,6.

【典例3】（2023下·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zcos1sin1sin2cos2i,(i為虛數(shù)單

位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第象限.

【答案】三

【詳解】由復(fù)數(shù)zcos1sin1sin2cos2i,(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為：

zcos1sin1sin2cos2i，

所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為cos1sin1,sin2cos2，

ππ

因?yàn)?，

42

所以sin1cos1，所以cos1sin10，

π

因?yàn)?π，

2

所以sin2cos2，所以sin2cos20，

故復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

故答案為：三.

【變式1】（2023下·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)aa1i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)1B．a(chǎn)0C．a(chǎn)1D．0a1

【答案】C

a0

【詳解】由題意可得a1.

a10

故選：C

【變式2】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)0m1時(shí)，復(fù)數(shù)z1mm2mi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【詳解】∵0m1，

∴1m0，m2mmm10，

∴復(fù)數(shù)z1mm2mi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．

故選：D.

【變式3】（2022上·北京·高二北京二中校考階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z3mimR且z5，

z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，則z的虛部為.

【答案】4

【詳解】z3mimR，

z32m25，解得m4，

z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，m0，m4.

故答案為：4.

題型03實(shí)軸，虛軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)

【典例1】（2023下·高一單元測(cè)試）若復(fù)數(shù)zm2m2m23m2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，

則實(shí)數(shù)m的取值集合為.

【答案】1,2

【詳解】因?yàn)閙為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)zm2m2m23m2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)m2m2,m23m2

位于虛軸上，

所以m2m20，解得m2或m1.

故答案為：1,2.

【典例2】（2022上·廣東東莞·高二東莞市東華高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)

zm22m3m24m3imR在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，

(1)求點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；

(2)求點(diǎn)Z在虛軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；

(3)求點(diǎn)Z在第一象限時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)m=1或m=3；

(2)m=3或m1；

(3)m3或m1.

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)Z在實(shí)軸上，所以虛部m24m30，

解得m=1或m=3.

（2）點(diǎn)Z在虛軸上時(shí),復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，

所以m22m30，解得m=3或m1.

（3）點(diǎn)Z在第一象限，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都大于0，

m22m3>0

即，解得或

2m3m1.

m4m+3>0

【典例3】（2022下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？计谥校﹎R，復(fù)數(shù)zm2m2m21i在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z.

(1)點(diǎn)Z位于第二象限，求m的取值范圍；

(2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求m的值.

【答案】(1)(2,1)

(2)m2

【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)zm2m2m21i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于第二象限，

m2m202m1

所以，即，

2

m10m1或m1

解得2m1，即m的取值范圍為(2,1)

（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)z是純虛數(shù)，

m2m20

所以，解得，

2m2

m10

所以當(dāng)m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)

【變式1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)za22aa2a2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，求實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的

條件．

【答案】a＝0或2

【詳解】∵復(fù)數(shù)za22aa2a2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，

∴a22a0，解得a2或a0.

【變式2】（2023下·陜西榆林·高一?？计谥校┣髮?shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)zm2m2m21i

分別滿足：

(1)z是實(shí)數(shù)；

(2)z是純虛數(shù)；

(3)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.

【答案】(1)1

(2)2

(3)1m1

22

【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)zmm2m1i是實(shí)數(shù)，所以m210，所以m1；

m210

（）因?yàn)閺?fù)數(shù)22是純虛數(shù)，所以，

2zmm2m1i2

mm20

所以m2；

（3）復(fù)數(shù)zm2m2m21i在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為m2m2,m21，

m2m20

因?yàn)樵擖c(diǎn)位于第三象限，所以，所以1m1

2.

m10

【變式3】（2023下·天津河北·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)zm21m2m2i，mR.

(1)若z是實(shí)數(shù)，求m的值；

(2)若z是純虛數(shù)，求m的值；

(3)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍.

【答案】(1)m1或m2；

(2)m1；

(3)1m2

【詳解】（1）解：zm21m2m2i，且z是實(shí)數(shù)，

m2m20，

解得m1或m2；

（2）解：z是純虛數(shù)，

m210

，

2

mm20

解得m1；

（3）解：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

m210

，

2

mm20

解得1m2.

題型04求復(fù)數(shù)的模

【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若aR，z為純虛數(shù)，且2a1i2azi，則az（）

37

A．5B．5C．D．3

3

【答案】A

【詳解】因?yàn)閦為純虛數(shù)，

所以設(shè)zmimR,m0，

由2a1i2azi得2a1im2ai，

2ma1

所以，解得，

a12am2

所以z2i，則az12i5，

故選：A．

17

【典例2】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知zi，則z（）

55

A．1B．2C．3D．5

【答案】B

1717

【詳解】因?yàn)閦i，所以z()2()22.

5555

故選：B

【典例3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知zm3m1imR在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

則復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是（）

A．22,4B．2,4C．22,4D．2,4

【答案】A

【詳解】解：因?yàn)閦m3m1imR在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

m30

所以，解得3m1，

m10

222

zm3m12m24m102m18，

22

因?yàn)?m1，所以m10,2，則2m1822,4，

所以復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是22,4.

故選：A.

【變式1】（2023上·安徽·高三安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若a2ib12i43i，其中a，

bR，i是虛數(shù)單位，則abi（）

A．2B．5C．3D．5

【答案】B

【詳解】若a2ib12i43i，即2aba2bi43i，

2ab4a1

得，解得，

a2b3b2

所以abi12i5．

故選：B

【變式2】（2023下·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)z68i，則z（）

1416

A．5B．10C．D．

99

【答案】B

【詳解】復(fù)數(shù)z68i，則|z|628210，

故選：B

【變式3】（多選）（2022上·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)za1a2i，i為虛數(shù)單位，aR，

則下列正確的為（）

A．若z是實(shí)數(shù)，則a1B．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于一條拋物線上

3

C．zD．若z2z1，則a1

2

【答案】BC

2

【詳解】選項(xiàng)A：由復(fù)數(shù)za1ai是實(shí)數(shù)可知1a20，解之得a1.選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：復(fù)數(shù)za1a2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(a,1a2)，其坐標(biāo)滿足方程y1x2，即點(diǎn)Z(a,1a2)位于

拋物線y1x2上.判斷正確；

選項(xiàng)C：由za1a2i，可得

2

222422133

za1aaa1a.判斷正確；

242

22

選項(xiàng)D：z2z1即a1ai=2a121ai

a2a1

可得22，解之得a1.選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.

1a21a

故選：BC

題型05根據(jù)復(fù)數(shù)的模求參數(shù)

【典例1】（2023下·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)zababi為純虛數(shù)（a,bR，

i是虛數(shù)單位），且z2，則（）

A．a(chǎn)1且b1B．a(chǎn)1且b=-1C．a(chǎn)1或b=-1D．b1或b=-1

【答案】D

ab0

【詳解】復(fù)數(shù)zababi為純虛數(shù)，則，即ab0，故z2bi，

ab0

2

由z2b2b2，則b1或b=-1．

故選：D．

ππ

【典例2】（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┰O(shè)復(fù)數(shù)zcos2sin（ii為虛數(shù)單位）且,0，

22

若z1，則tan2．

【答案】22

2

【詳解】由題設(shè)zsin2sini，則|z|(sin)22sin1，

21π36

所以sin，又,0，則sin，cos，

3233

2tan

2

所以tan，則tan2222.

21tan

故答案為：22

【典例3】（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)zaa4iaR（i為虛數(shù)單位），若z22，則實(shí)數(shù)

a的值為（）

A．2B．0C．1D．2

【答案】D

【詳解】由題意zaa4iaR，z22，

22

可得a2a422，整理得a20，所以a20，所以a2，

故選：D．

【典例4】（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2(2m1)xm210的一個(gè)虛數(shù)根，

且||5，若向量a(2m1,3m)，則向量|a|的取值范圍為

513

【答案】5,

4

【詳解】不妨設(shè)abi，abi，

因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程x2(2m1)xm210的一個(gè)虛數(shù)根，

22

所以也是x(2m1)xm10的一個(gè)虛數(shù)根，

從而a2b2||2m215①，

又因?yàn)閤2(2m1)xm210無實(shí)根，

所以[(2m1)]24(m21)0②，

3

由①②可得，m2，

4

因?yàn)閍(2m1,3m)，所以|a|2(2m1)2(3m)25(m1)25，

由一元二次函數(shù)性質(zhì)易知，

32325

當(dāng)m1時(shí)，2有最小值5；當(dāng)m時(shí)，|a|；當(dāng)m2時(shí)，2，

|a|416|a|10

32325513

故當(dāng)m2時(shí)，5|a|，即5|a|，

4164

513

故向量|a|的取值范圍為：5,.

4

513

故答案為：5,.

4

【變式1】（2023下·北京海淀·高一清華附中?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)z3ai(a0)的模為5，則a.

【答案】4

【詳解】由題意，可得a9a25，且a0，解得a4.

故答案為：4.

【變式2】（2022下·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)zacos2asini(i為虛數(shù)單位)，若對(duì)任

意實(shí)數(shù)，z2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

555

A．1,B．1,1C．0,2D．,

555

【答案】D

【詳解】解：由zacos2asini，得zcosisina2ai2，

由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，cosisina2ai表示復(fù)平面上的點(diǎn)Pcos,sin與點(diǎn)Aa,2a間的距

離，

而點(diǎn)P在單位圓x2y21上，要使PA2恒成立，則點(diǎn)A必在圓x2y21上或其內(nèi)部，故

2255

a2a1，解得a.

55

故選：D.

【變式3】（2023下·福建·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為3，且z2，則復(fù)數(shù)z的虛部為．

【答案】1

【詳解】由復(fù)數(shù)z的實(shí)部為3，可設(shè)復(fù)數(shù)z3bi,bR，

因?yàn)閦2，可得(3)2b22，可得b21，解得b1.

故答案為：1.

【變式4】（2023下·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)zm2m6m2m2i(mR)在復(fù)平面內(nèi)所

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A.

(1)若點(diǎn)A在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求|z|的最小值及此時(shí)實(shí)數(shù)m的值.

【答案】(1)3m2或1m2

117

(2)|z|的最小值為22，m

2

m2m60

【詳解】（）由，解得或

123m21m2.

mm20

22

（2）|z|2m2m6m2m2，

2

2199

令mm2t，∵tm，∴t,，

244

2

則|z|22t28t162t28，

117

所以當(dāng)t2，即m時(shí)，有最小值22.

2

題型06判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限

【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)z1i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)z1i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(1,1)位于第四象限.

故選：D.

【典例2】（2022下·高一?？紗卧獪y(cè)試）歐拉公式eixcosxisinx（i為虛數(shù)單位）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)

大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．當(dāng)xπ時(shí)，eiπ10.根據(jù)歐拉公式可知，e4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在復(fù)平面內(nèi)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

4i

【詳解】解析：因?yàn)閑ixcosxisinx，所以ecos4isin4,

3

π4π，所以cos40,sin40，

2

故e4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于第三象限．

故選：C.

【典例3】（多選）（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)mR，復(fù)數(shù)z3m25m21mi，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)可能在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】ABD

【詳解】由題意得：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3m25m2,1m；

令fm3m25m23m2m1，

①當(dāng)1m0，即m1時(shí)，

22

若m，則fm0，3m5m2,1m位于第一象限；

3

2

若m1，則fm0，3m25m2,1m在第二象限；

3

②當(dāng)1m0，即m1時(shí)，fm0，3m25m2,1m位于第四象限；

綜上所述：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在第一、第二和第四象限.

故選：ABD.

【變式1】（2023上·四川成都·高二校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z33i，則z在復(fù)平面上的點(diǎn)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【詳解】復(fù)數(shù)z33i在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3,3，

所以z在復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限.

故選：D.

1

【變式2】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)zxx3i(xR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）

x

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

1

【詳解】根據(jù)題意可知，復(fù)數(shù)z的實(shí)部ax，虛部bx3.

x

1

當(dāng)x0時(shí)，ax0，bx3231，故點(diǎn)a,b可能在一、四象限；

x

1

當(dāng)x0時(shí)，ax0，bx3235，故點(diǎn)a,b在第三象限.

x

1

綜上，復(fù)數(shù)zxx3i(xR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限.

x

故選：B.

題型07根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出復(fù)數(shù)

【典例1】（2023下·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛

軸對(duì)稱，若z132i，i為虛數(shù)單位，則z2（）

A．32iB．32iC．32iD．23i

【答案】B

【詳解】z132i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為3,2，

因?yàn)閦1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，

所以z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為3,2，

故z232i.

故選：B.

【典例2】（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，一個(gè)正方形的3個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋

2i，－2＋i，0，則第4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

1

A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．3i

2

【答案】B

【詳解】復(fù)數(shù)1＋2i，－2＋i，0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），

由題意可知ABOD，正方形以O(shè)A,OB為鄰邊，設(shè)另一點(diǎn)為D（x，y），

所以AB(3,1),OD(x,y),OA(1,2),BD(x2,y1),

ABOD03xy0x1

則，解得，

OABD1(y1)2(x2)y3

∴z13i.

故選：B．

【典例3】（2022下·陜西西安·高二統(tǒng)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)分別是1+3i,-i,2+i,則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

【答案】3+5i

【詳解】試題分析：A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是13i,i,2i，A(1,3),B(0,1),C(2,1)，

設(shè)D(x,y)，則：AB(1,4),DC(2x,1y)，

在平行四邊形ABCD中，有ABDC，即(1,4)(2x,1y)，

2x1x3

{{，即D(3,5)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：35i.

1y4y5

故答案應(yīng)填：35i．

【變式1】（2022上·廣西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)abia,bR與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)a,b一一對(duì)應(yīng)，則復(fù)平

面內(nèi)的點(diǎn)2,3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A．23iB．1iC．4iD．5i

【答案】A

【詳解】復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)2,3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為23i.

故選：A

【變式2】（2022下·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為35i，32i.若C

為靠近點(diǎn)B的線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

A．13iB．13iC．5iD．14i

【答案】A

【詳解】解：設(shè)C(x,y)，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為35i，32i，

A(3,5)，B(3,2)，則AC(x3,y5)，AB(6,3)，

C為靠近點(diǎn)B的線段AB的三等分點(diǎn)，

2x34x1

ACAB，，解得，

3y52y3

C(1,3)，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為13i．

故選：A．

【變式3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z112i,z22i,z312i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)正方

形的3個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

【答案】2i

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z112i,z22i,z312i在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A1,2,B2,1,C1,2

設(shè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是D(x,y),則其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為xyi,則ADBC,

又AD(x1,y2),BC(1,3)

(x1,y2)(1,3)

x11,y23

x2,y1

故這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i

題型08根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)

22

【典例1】（2022下·廣東清遠(yuǎn)·高一校聯(lián)考期中）已知mR，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)m2m3m4mi的

點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，則m的取值范圍是.

【答案】0,3

【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(m22m3,m24m)，該點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，

m22m30

則滿足

2,

m4m0

1m3

得,所以0m3,

0m4

故答案為：0,3

【典例2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知z1cosisin2,z23sinicos，當(dāng)θ為何值時(shí)，

(1)z1z2；

(2)z1,z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱；

(3)z22．

【答案】(1)2k(kZ)

6

7

(2)2k(kZ)

6

(3)kk(kZ)

44

【詳解】（1）解：因?yàn)閦1z2，

3

3tan

cos3sintan3

所以，即3，則，

sin2cos1

2sincoscossin

2

所以2k(kZ)；

6

（2）解：因?yàn)閦1,z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，

3

3tan

cos3sintan3

所以，即3，則，

sin2cos1

2sincoscossin

2

7

所以2k(kZ)；

6

（3）解：由z22，

2

得3sincos22，

即3sin2cos22，

2122

所以sin，所以sin，

222

所以kk(kZ).

44

22

【變式1】（2022下·陜西延安·高二子長(zhǎng)市中學(xué)校考期末）已知復(fù)數(shù)zm2mmm6i，mR，i是

虛數(shù)單位．

(1)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求m的值；

(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍．

【答案】(1)0

(2)0,3

m22m0,

【詳解】（）∵復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，∴解得，

12m0

mm60,

∴m的值為0．

（2）∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

m22m0,

∴解得，

20m3

mm60,

故m的取值范圍為0,3．

【變式2】（2022下·廣西柳州·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)zm25m6m23mimR

(1)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【答案】(1)2；

(2)0m2.

m25m60

【詳解】（）復(fù)數(shù)22是純虛數(shù)，則有，

1zm5m6m3mimR2

m3m0

解得m2，

所以實(shí)數(shù)m的值是2.

（2）復(fù)數(shù)zm25m6m23mimR在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，

m25m60

于是得，解得：，

20m2

m3m0

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是0m2.

題型09共軛復(fù)數(shù)

【典例1】（2023下·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)z34i，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

（）

A．一象限B．二象限

C．三象限D(zhuǎn)．四象限

【答案】A

【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z34i，

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為3,4，位于第一象限.

故選：A.

【典例2】（多選）（2022下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)z43i，則下列命題中正確的為（）

A．|z|5B．z43iC．z的虛部為3iD．z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限

【答案】AB

【詳解】因?yàn)閦43i，

2

所以z4235，故A正確；z43i，故B正確；z的虛部是-3，故C錯(cuò)誤；z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)是4,3，在第四象限，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

【變式1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z2i33i2的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

【詳解】解：z2i33i2-3-2i，z=-32i，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3,2在第二象限

故選：B

【變式2】（2022下·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z34i，那么z的虛部是.

【答案】-4

【詳解】z34i,z34i,

z的虛部是4.

故答案為：4

題型10復(fù)數(shù)與三角函數(shù)、集合的綜合問題

【典例1】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的，由棣莫弗定理可以

2023

nnππ

導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：rcosisinrcosnisinn．根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式，復(fù)數(shù)2cosisin

55

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

2023

ππ20232023π2023π20233π3π

【詳解】由題意得2cosisin2cosisin2cosisin，

555555

20233π3π

因?yàn)?0，cos0，sin0，

55

2023

ππ

所以復(fù)數(shù)2cosisin在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．

55

故選：D

2

【典例2】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z1m4mi，

mR.

(1)若點(diǎn)A位于第四象限，求m的取值范圍；

(2)若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(3)若z22cos4sini，且z1z2，求的取值范圍.

【答案】(1)m>2

(2)24m2i

(3)[1,8]

2

【詳解】（1）由題意z1m4mi對(duì)應(yīng)點(diǎn)A位于第四象限，

m0

故2，解得m>2，

4m0

即m的取值范圍m>2.

22

（2）點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1m4mi，則關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zm4mi，

222

則AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zz1m4mi[m4mi]24mi，

（3）z1z2，

m2cos212

2，即4sin4sin4(sin)1，

4m4sin2

1

由1sin1，可知4(sin)21[1,8]，

2

故的取值范圍為[1,8].

【變式1】（2023下·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn)