高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第02講 分層隨機(jī)抽樣、獲取數(shù)據(jù)的途徑（解析版）

第02講9.1.2分層隨機(jī)抽樣+9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①理解分層隨機(jī)抽樣的概念。

通過閱讀課本抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表

②掌握用分層隨機(jī)抽樣從總體中抽取樣本。

性．簡單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)

③掌握兩種抽樣的區(qū)別與聯(lián)系。

會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會(huì)出現(xiàn)比較“極

④知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括統(tǒng)計(jì)報(bào)表

端”的樣本．例如，在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)

和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、普查和抽樣、

查中，可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或

互聯(lián)網(wǎng)等．.知道獲取數(shù)據(jù)的途徑包括：統(tǒng)計(jì)

矮個(gè)子的情形．這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)大幅度地偏

報(bào)表和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、普查和

離總體平均數(shù)，從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差．能否利

抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等．了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性．。

用總體中的一些額外信息對(duì)抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢？

知識(shí)點(diǎn)01：分層隨機(jī)抽樣的概念及特點(diǎn)

（1）分層隨機(jī)抽樣的概念

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分為若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)

字總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法

稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么

稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

（2）分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)

①從分層隨機(jī)抽樣的定義可看出，分層隨機(jī)抽樣適用于總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成的情況.

②分層隨機(jī)抽樣是等可能抽樣.用分層隨機(jī)抽樣從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，在整個(gè)

n

抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，都等于.

N

③分層隨機(jī)抽樣是建立在簡單隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣

本更具有代表注，更能充分反映總體的情況，在實(shí)踐中的應(yīng)用也更廣泛.

（3）對(duì)分層抽樣的“層”的理解

在分層抽樣中，將具有某種共同特征的對(duì)象歸為同一層，不同層之間的對(duì)象要有明顯的差異，并且這

些特征的差異應(yīng)該是對(duì)所研究的問題有影響的例如，要從某中學(xué)抽取一些學(xué)生構(gòu)成一個(gè)樣本，如果研究他

們的視力情況，那么應(yīng)該按照年齡分層，或按照年級(jí)分層，都是合理的分層方式；但如果按照性別分層，

就不合適了，因?yàn)樾詣e對(duì)視力的影響可能是很小的，如果研究他們對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)的興趣，那么按照性別分層

就比按年齡或年級(jí)分層會(huì)更合理在實(shí)際中，對(duì)于一些復(fù)雜的問題，可能還需要對(duì)層內(nèi)再進(jìn)一步細(xì)分層.

知識(shí)點(diǎn)02：分層隨機(jī)抽樣的步驟

①根據(jù)己經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不相交的層；

n

②根據(jù)總體中的個(gè)體數(shù)N和樣本量n計(jì)算抽樣比k；

N

③確定第i層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù)目niNik（Ni為第i層所包含的個(gè)體數(shù)），使得各ni之和為n；

④在各個(gè)層中，按步驟③中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)抽取個(gè)體，合在一起得到容量為n的樣本.

【即學(xué)即練1】（2024上·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校高一、高二、高三分別有600人、500人、700

人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)中抽取18人參加全市主題研學(xué)活動(dòng)，則應(yīng)從高三抽?。ǎ?/p>

A．5人B．6人C．7人D．8人

【答案】C

【詳解】采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)中抽取18人，

已知高一、高二、高三分別有600人、500人、700人，

700

則應(yīng)從高三抽取的人數(shù)為187.

600500700

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)03：簡單隨機(jī)抽樣與分層隨機(jī)抽樣的比較

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

抽樣過總體中的個(gè)體

簡單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取

程中每數(shù)較少

個(gè)個(gè)體

被抽取各層抽樣時(shí)采用總體由差異明

將總體分成幾層，分層

分層抽樣的概率簡單隨機(jī)抽樣或顯的幾部分組

進(jìn)行抽取

是相同系統(tǒng)成

的

知識(shí)點(diǎn)04：分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)

在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量

分別為m和n.我們用X1,X2,,XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1,x2,,xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)

體的變量值；用Y1,Y2,,YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1,y2,,yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量

值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為

XXX1Mxxx1m

12M12m

XXi,xxi.

MMi1mmi1

第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為

YYY1Nyyy1n

12N12n

YYi,yyi.

NNi1nni1

總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為

MNmn

XYxy

iiii.

Wi1i1,i1i1

MNmn

由于用第1層的樣本平均數(shù)x可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)X，用第2層的樣本平均數(shù)y可以估計(jì)第2

MxNyMNmxnymn

層的總體平均數(shù)Y，因此可以用Wxyxy.

MNMNMNmnmnmn

【即學(xué)即練2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校高一年級(jí)在校人數(shù)為600人，其中男生320人，女生280

人，為了解學(xué)生身高發(fā)展情況，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名男生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為

170.2cm，抽取50名女生身高為一個(gè)樣本，其樣本平均數(shù)為162.0cm，則該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值

為．

【答案】166.4cm

【詳解】由題意可知，x170.2,y162.0，且M320,N280,

MN320280

所以樣本平均數(shù)wxy170.2162.0166.4(cm)，

MNMN320280320280

故該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值為166.4cm．

故答案為：166.4cm.

知識(shí)點(diǎn)05：獲取數(shù)據(jù)的途徑

在實(shí)際統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，一般先要確定調(diào)查的目的、對(duì)象，即統(tǒng)計(jì)調(diào)查要解決的問題和需要調(diào)查的總體；

還要確定好調(diào)查的項(xiàng)目，也就是要統(tǒng)計(jì)的變量.接下來就開始收集數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)的基本途徑如下：

（1）通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)

設(shè)計(jì)調(diào)查問卷：

調(diào)查問卷一般由一組有目的、有系統(tǒng)、有順序的題目組成.問題由調(diào)查人員根據(jù)調(diào)查的目的、項(xiàng)目進(jìn)行設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)調(diào)查問卷的注意事項(xiàng)：

①問題要具體，有針對(duì)性，使受調(diào)查者能夠容易作答.

②語言簡單、準(zhǔn)確，含義清楚，避免出現(xiàn)有歧義或意思含混的句子

③題目不能出現(xiàn)引導(dǎo)受調(diào)查者答題傾向的語句

④設(shè)計(jì)問題時(shí)要注意“如何得到敏感性問題的誠實(shí)回答”.

（2）通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)

根據(jù)調(diào)查項(xiàng)目的要求設(shè)計(jì)一些合適的試驗(yàn)，能夠直接地獲得樣本數(shù)據(jù).試驗(yàn)時(shí)要注意準(zhǔn)備好試驗(yàn)用具

（或組織好觀測的對(duì)象)、指定專門的記錄人員等.做試驗(yàn)通常能得到可靠的數(shù)據(jù)資料，但需花費(fèi)的人力、

物力、時(shí)間較多，有時(shí)帶有破壞性.

（3）通過觀察獲取數(shù)據(jù)

對(duì)于有些現(xiàn)象，不能用試驗(yàn)或者抽樣等方法來獲取數(shù)據(jù)，只能通過長久持續(xù)的觀察獲取，主要是一些

自然現(xiàn)象，如地震、降水、大氣污染、宇宙射線等.一般地，通過觀察自然現(xiàn)象所獲取的數(shù)據(jù)性質(zhì)比較復(fù)雜，

其中蘊(yùn)含著所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)信息，需要通過統(tǒng)計(jì)學(xué)理論和方法來挖掘.

（4）通過查詢獲得數(shù)據(jù)

有些數(shù)據(jù)資料不容易直接調(diào)查得到，這時(shí)可以通過查閱統(tǒng)計(jì)年鑒、圖書館文獻(xiàn)等方法獲得所需或相關(guān)

的數(shù)據(jù)，比如全國歷次人口普查的數(shù)據(jù)都可以在統(tǒng)計(jì)年鑒中查閱到；還可以通過互聯(lián)網(wǎng)上的資源得到數(shù)據(jù)

資料.

題型01分層隨機(jī)抽樣概念的理解及應(yīng)用

【典例1】（2024上·安徽阜陽·高一期末）2010年某高校有2400名畢業(yè)生參加國家公務(wù)員考試，其中?？?/p>

生有200人，本科生有1000人，研究生有1200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法調(diào)查這些學(xué)生利用因特網(wǎng)查找學(xué)習(xí)

資料的情況，從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從?？粕谐槿〉娜藬?shù)為10人，則n等于（）

A．100B．200C．120D．240

【答案】C

1011

【詳解】每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，則n2400120.

2002020

故選：C.

【典例2】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）某校高中生共有2700人，其中高一年級(jí)900人，高二年級(jí)1200人，

高三年級(jí)600人，現(xiàn)采取分層抽樣法抽取容量為27的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的人數(shù)分別

為（）

A．6，12，9B．9，9，9

C．3，9，15D．9，12，6

【答案】D

9001200600

【詳解】依題意高一抽取279人，高二抽取2712人，高三抽取276人.

270027002700

故選：D

【典例3】（2024上·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谀┠承聦W(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生950名，為

了了解同學(xué)們的興趣愛好，計(jì)劃采用分層抽樣的方法，從這950名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本容量為190的樣本，

若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好組成一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列，則此學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為

3

人.

【答案】450

2

【詳解】因?yàn)楦咭?、高二、高三抽取的人?shù)恰好組成一個(gè)以為公比的等比數(shù)列，

3

設(shè)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為x人，

32

則從高二、高三年級(jí)抽取的人數(shù)分別為x,x，

23

323

由題意可得xxx190，解得x60，x90，

232

N90

設(shè)我校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為N，再根據(jù)，求得N450.

950190

故答案為：450.

【變式1】（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）樹人中學(xué)高一年級(jí)有712名學(xué)生，男生有326名，

女生有386名，想抽取樣本了解高一年級(jí)的平均身高，為減少“極端”樣本的出現(xiàn)，你認(rèn)為比較合適的抽樣方

法為（）

A．抽簽法B．隨機(jī)數(shù)法C．分層抽樣D．其他方法

【答案】C

【詳解】為減少“極端”樣本的出現(xiàn)，可按照男生與女生的比例抽取，因此用分層抽樣.

故選：C.

【變式2】（2024上·全國·高三期末）某學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣方法，抽取一定數(shù)量的高中學(xué)生參加安全知

識(shí)競賽，若得到的樣本中高二的學(xué)生數(shù)量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三學(xué)生數(shù)之比為

2:3，則樣本容量為（）

A．120B．160C．180D．460

【答案】D

【詳解】設(shè)樣本中高二的學(xué)生數(shù)量為x，

則樣本中高一的學(xué)生數(shù)量為x40，樣本中高三的學(xué)生數(shù)量為x20，

因?yàn)槿８咭?、高三學(xué)生數(shù)之比為2:3，

x+203

所以=，解得x160，

x-402

則樣本容量為120+160+180=460，

故選：D.

【變式3】（2024上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）某校高二年級(jí)選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”

組合的學(xué)生人數(shù)分別為480，40，120和80，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中選出72人參加一項(xiàng)活動(dòng)，

則“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為.

【答案】8

72721

【詳解】由題意，，

480401208072010

設(shè)在“史政生”組合中應(yīng)選出的學(xué)生人數(shù)為x，

1x

則根據(jù)按比例分配分層抽樣可得，解得x8.

1080

故“史政生”組合中選出的學(xué)生人數(shù)為8.

故答案為：8.

題型02分層隨機(jī)抽樣中的相關(guān)運(yùn)算

【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校高三年級(jí)有男生640人，女生360人．為了解高三學(xué)生參加體育

運(yùn)動(dòng)的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學(xué)生中共抽取50名學(xué)生，則男、女學(xué)生的樣本容

量分別為（）

A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18

【答案】D

640360

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義，知男生共抽取5032（人），女生共抽取5018（人）．

640360640360

故選：D．

【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測）以“塑造軟件新生態(tài)，賦能發(fā)展新變

革”為主題的第二十五屆中國國際軟件博覽會(huì)于2023年8月31日在天津開幕.本次參會(huì)人員分不同區(qū)域落座，

其中某個(gè)區(qū)域的男性參會(huì)人員有25人，女性參會(huì)人員有15人，現(xiàn)按性別比例進(jìn)行分層抽樣，若從該區(qū)域

隨機(jī)抽取16位參會(huì)人員，則女性參會(huì)人員應(yīng)抽取的人數(shù)為.

【答案】6

3

【詳解】由題意得分層比為5:3，則女性參會(huì)人員應(yīng)抽取的人數(shù)為166.

53

故答案為：6

【典例3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某高中學(xué)校共有學(xué)生3600人，為了解某次數(shù)學(xué)文化知識(shí)競賽的

得分情況，采用分層抽樣的方法從這3600名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為48的樣本，若從高一、高二、高三抽

取的人數(shù)組成一個(gè)以4為公差的等差數(shù)列，則該學(xué)校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為人．

【答案】1500

【詳解】設(shè)從高二抽取的人數(shù)為x，則高一抽取的人數(shù)為x4，高三抽取的人數(shù)為x4.

所以3x=48，解得x16，所以高三年級(jí)抽取了20人，由分層抽樣的概念可知高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為：

20

36001500.

48

故答案為：1500.

【變式1】（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）某校讀書節(jié)期間，共120名同學(xué)獲獎(jiǎng)（分金、銀、銅三個(gè)等級(jí)），

從中隨機(jī)抽取24名同學(xué)參加交流會(huì)，若按高一、高二、高三分層隨機(jī)抽樣，則高一年級(jí)需抽取6人；若按

獲獎(jiǎng)等級(jí)分層隨機(jī)抽樣，則金獎(jiǎng)獲得者需抽取4人．下列說法正確的是（）

A．高二和高三年級(jí)獲獎(jiǎng)同學(xué)共80人B．獲獎(jiǎng)同學(xué)中金獎(jiǎng)所占比例一定最低

C．獲獎(jiǎng)同學(xué)中金獎(jiǎng)所占比例可能最高D．獲金獎(jiǎng)的同學(xué)可能都在高一年級(jí)

【答案】D

6

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：高二和高三年級(jí)獲獎(jiǎng)同學(xué)共12012090，錯(cuò)誤；

24

對(duì)選項(xiàng)B：不能確定銀獎(jiǎng)和銅獎(jiǎng)的人數(shù)，錯(cuò)誤；

4

對(duì)選項(xiàng)C：金獎(jiǎng)人數(shù)為12020，銀獎(jiǎng)和銅獎(jiǎng)的人數(shù)和為100人，

24

故獲獎(jiǎng)同學(xué)中金獎(jiǎng)所占比例不可能最高，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：高一年級(jí)人數(shù)為30，金獎(jiǎng)人數(shù)為20，故獲金獎(jiǎng)的同學(xué)可能都在高一年級(jí)，

正確；

故選：D

【變式2】（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃┠承８呷昙?jí)有女生520名，男生480名，若用分層隨機(jī)

抽樣的方法從高三年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則男生應(yīng)抽取名.

【答案】96

【詳解】由已知得女生與男生的比例為：52:48，

48

根據(jù)分層抽樣的定義，男生應(yīng)該抽取的人數(shù)為：20096（人）

100

故答案為：96.

【變式3】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某學(xué)校為了解教師身體健康情況，從高考學(xué)科和非高考學(xué)科教

師中采用分層抽樣的方法抽取部分教師體檢.已知該學(xué)校高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師的比例是5：1，且被抽

到參加體檢的教師中，高考學(xué)科教師比非高考學(xué)科教師多64人，則參加體檢的人數(shù)是.

【答案】96

5nn

【詳解】設(shè)參加體檢的人數(shù)為n，則64，解得n96，所以參加體檢的人數(shù)是96人.

66

故答案為：96.

題型03分層隨機(jī)抽樣的方案設(shè)計(jì)

【典例1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）某家電視臺(tái)在因特網(wǎng)上征集某電視節(jié)目現(xiàn)場參與的觀眾，報(bào)名的

總?cè)藬?shù)為12000人，分別來自4個(gè)城區(qū)，其中A區(qū)2400人，B區(qū)4600人，C區(qū)3800人，D區(qū)1200人，

從中抽取60人參加現(xiàn)場的節(jié)目，應(yīng)當(dāng)如何抽?。繉懗龀槿∵^程．

【答案】采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，過程見解析

【詳解】解：采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，步驟如下：

第一步：分層．按城區(qū)分為四層：A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)、D區(qū)．

第二步：確定每個(gè)個(gè)體被抽到的概率．樣本容量n60，總體容量N12000，故每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為

n601

．

N12000200

第三步：按比例確定每層抽取的個(gè)體數(shù)．

11

在A區(qū)抽取240012（人），在B區(qū)抽取460023（人），

200200

11

在C區(qū)抽取380019（人），在D區(qū)抽取12006（人）．

200200

第四步：在各層分別用簡單隨機(jī)抽樣法抽取樣本，將各區(qū)抽取的觀眾合在一起組成樣本．

【典例2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）某中學(xué)舉行了體育運(yùn)動(dòng)會(huì)，同時(shí)進(jìn)行了全校精神文明擂臺(tái)賽，為

了解這次活動(dòng)在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別對(duì)全校500名教職工、3000名初中生、4000名高中生進(jìn)行問

卷調(diào)查．

(1)如果要在所有問卷中抽出120份用于評(píng)估，請(qǐng)說明如何抽取才能得到比較客觀的評(píng)估結(jié)論，并寫出抽樣

過程．

(2)要從3000份初中生的問卷中抽取一個(gè)容量為48的樣本，如果采用簡單隨機(jī)抽樣，應(yīng)選什么方法？請(qǐng)說

明理由．

【答案】(1)采取分層抽樣的方法，過程見解析

(2)采用隨機(jī)數(shù)法，理由見解析

【詳解】（1）由于總體容量較大，這次活動(dòng)對(duì)教職工、初中生、高中生產(chǎn)生的影響差異較大，故采取分層

抽樣的方法進(jìn)行抽樣才能得到比較客觀的評(píng)估結(jié)論．

因?yàn)闃颖救萘繛?20，總體容量為500300040007500，

1202222

則抽樣比為，5008，300048，400064，

7500125125125125

所以在教職工、初中生、高中生中抽取的個(gè)體數(shù)分別是8，48，64．

分層抽樣的步驟如下：

①分層：分為教職工、初中生、高中生，共三層；

②確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)：在教職工、初中生、高中生中抽取的個(gè)體數(shù)分別是8，48，64；

③各層分別按簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本；

④綜合每層抽取的個(gè)體，組成樣本．

這樣便完成了整個(gè)抽樣過程，就能得到比較客觀的評(píng)估結(jié)論；

（2）簡單隨機(jī)抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．

若用抽簽法，則要做3000個(gè)號(hào)簽，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，因此應(yīng)采用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本．

【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）學(xué)校要在高一年級(jí)450名同學(xué)中隨機(jī)選取45人參加暑假的夏令營，

試完成以下工作：

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)抽樣方案；

(2)設(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案，使得選取出男生23名，女生22名；

(3)如果全年級(jí)有9個(gè)班，設(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案，使得各班隨機(jī)選取5人．

【答案】(1)以全體學(xué)生的學(xué)籍號(hào)為編號(hào)，用計(jì)算機(jī)在450名學(xué)生的學(xué)籍號(hào)中隨機(jī)抽取45個(gè)學(xué)籍號(hào)，這45

個(gè)學(xué)籍號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生就是要抽取的對(duì)象；

(2)將總體450名同學(xué)分為男、女兩部分，把所有男生進(jìn)行編號(hào)，再進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽取23人，再把

所有女生進(jìn)行編號(hào)，進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣抽取22人；

(3)將每班男女進(jìn)行分層抽樣，如果第i個(gè)班的人數(shù)為Mi，則5:Mi為抽取的比例數(shù)，按照此比例對(duì)男生和女

生進(jìn)行抽取.

【詳解】（1）以全體學(xué)生的學(xué)籍號(hào)為編號(hào)，用計(jì)算機(jī)在450名學(xué)生的學(xué)籍號(hào)中隨機(jī)抽取45個(gè)學(xué)籍號(hào)，這

45個(gè)學(xué)籍號(hào)對(duì)應(yīng)的學(xué)生就是要抽取的對(duì)象；

（2）將總體450名同學(xué)分為男、女兩部分，把所有男生進(jìn)行編號(hào)，再進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽取23人，

再把所有女生進(jìn)行編號(hào)，進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣抽取22人；

（3）將每班男女進(jìn)行分層抽樣，如果第i個(gè)班的人數(shù)為Mi，則5:Mi為抽取的比例數(shù)，按照此比例對(duì)男生

和女生進(jìn)行抽取.

【變式2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）A中學(xué)高一年級(jí)的500名同學(xué)中有218名女生，在調(diào)查全年級(jí)同

學(xué)的平均身高時(shí)，預(yù)備抽樣調(diào)查50名同學(xué).

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)合理的分層抽樣方案.

(2)你的設(shè)計(jì)中，第一層和第二層分別是什么？

(3)分層抽樣是否在得到全年級(jí)同學(xué)平均身高的估計(jì)時(shí)，還分別得到了男生和女生的平均身高的估計(jì)？

【答案】(1)答案見解析.

(2)答案見解析.

(3)答案見解析.

【詳解】（1）因?yàn)槟猩?、女生身高有差異性，故按男生、女生在總?cè)藬?shù)中所占比例采取分層抽樣.

218

因?yàn)?00名同學(xué)中有218名女生，故女生抽取人數(shù)為5022人；

500

282

500名同學(xué)中有282名男生故男生抽取人數(shù)為5028人.

500

然后測量這50人的身高數(shù)據(jù)，從而得到50人的身高數(shù)據(jù)樣本.

（2）第一層為總體500名學(xué)生中的所有女生的身高數(shù)據(jù)，第二層為總體500名學(xué)生中的所有男生的身高數(shù)

據(jù).

（3）是的，可以用男、女生身高數(shù)據(jù)之和除以各自樣本中的人數(shù)，得到男、女生平均身高的估計(jì)值.

題型04分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)

【典例1】（2022上·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┠硨W(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生300人，女生

200人．有人為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值

（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為175，方差為20，女生樣本均值為165，方差為30

(1)如果已知男、女的樣本量按比例分配，請(qǐng)計(jì)算總樣本的均值為多少?

(2)如果已知男、女的樣本量都是25，請(qǐng)計(jì)算總樣本均值為多少?

【答案】(1)總樣本的均值為171cm，總樣本的方差為48cm2

(2)總樣本的均值為170cm，總樣本的方差為50cm2；

【詳解】（1）男、女的樣本量按比例分配，

300200

總樣本的均值為175165171cm，

500500

（2）男、女的樣本量都是25，

2525

總樣本的均值為175165170cm，

5050

【典例2】（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）高二年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進(jìn)行分層，

通過分層隨機(jī)抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.

（1）如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100，那么在男生、女生中分別抽取了多少名？在這

種情況下，請(qǐng)估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高.

（2）如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計(jì)高二年級(jí)全體

學(xué)生的平均身高更合理？

【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm（2）見解析

490510

【詳解】（1）抽取男生人數(shù)為10049，抽取女生人數(shù)為10051.

490510490510

4951

高二年級(jí)全體學(xué)生的平均身高估計(jì)為170.2160.8165.406165.4（cm）.

100100

4951

（2）仍按（1）方式進(jìn)行估計(jì)，即170.2160.8165.4（cm）.

100100

【變式1】（2023下·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知總體劃分為3層，通過分層抽樣，

得到各層的平均數(shù)分別為45，48，50，各層的樣本容量分別為30，50，20,則估計(jì)總體平均數(shù)為.

95

【答案】/47.5

2

304548505020

【詳解】總體平均數(shù)為47.5,

305020

故答案為：47.5

【變式2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.為了獲得

全體高中生身高的信息，按照分層隨機(jī)抽樣原則抽取樣本，男生樣本量為32，女生樣本量為18，通過計(jì)算

得男生身高樣本均值為173.5cm，方差為17，女生身高樣本均值為163.83cm，方差為30.03，求所有數(shù)據(jù)的

樣本均值.

【答案】170.02（cm），43.24

【詳解】依題意，以樣本估計(jì)總體，

3218

所有數(shù)據(jù)的樣本均值為173.5163.83170.02（cm），

5050

題型05兩種抽樣方法的選取及綜合應(yīng)用

【典例1】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀僦参锔鶕?jù)植株的高度及分枝部位等

可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對(duì)其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行

測量；②檢測員擬對(duì)一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測；上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法

是（）

A．①用簡單隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣B．①用簡單隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣

C．①用分層隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣D．①用分層隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣

【答案】C

【詳解】①喬木、灌木、草木，分類明顯，可以采用分層隨機(jī)抽樣；

②并未有明顯分層特點(diǎn)，且樣本容量較小，可以采用簡單隨機(jī)抽樣；

故選：C.

【典例2】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：

①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查．

②某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從

全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．

③某中學(xué)共有320名教職工，其中教師240名，行政人員32名，后勤人員48名，為了了解教職工對(duì)學(xué)校

在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為40的樣本．

較為合理的抽樣方法的選擇是（）

A．①簡單隨機(jī)抽樣，②分層隨機(jī)抽樣，③分層隨機(jī)抽樣

B．①簡單隨機(jī)抽樣，②分層隨機(jī)抽樣，③簡單隨機(jī)抽樣

C．①分層隨機(jī)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣，③分層隨機(jī)抽樣

D．①分層隨機(jī)抽樣，②抽簽法，③簡單隨機(jī)抽樣

【答案】A

【詳解】①總體和樣本量都很小，用簡單隨機(jī)抽樣；

②③總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，用分層隨機(jī)抽樣．

故答案為：A.

【典例3】（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）對(duì)下面三個(gè)事件最適宜采用的抽樣方法判斷正確的有

（）

①從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；

②一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人的成績?cè)?10分以上，40人的成績?cè)?0～110分，10人的成績低于90

分，現(xiàn)在從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況；

③運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道．

A．①②適宜采用分層抽樣B．②③適宜采用分層抽樣

C．②適宜采用分層抽樣D．③適宜采用簡單隨機(jī)抽樣

【答案】CD

【詳解】對(duì)于①，從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，不滿足分層抽樣的條件，且樣本

容量比較大，適合采用等距抽樣；

對(duì)于②，總體由差異明顯且互不重疊的幾部分組成，若要從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況，適合采用分

層抽樣的方法；

對(duì)于③，運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學(xué)安排跑道，具有隨機(jī)性，且樣本容量小，適合用簡單

隨機(jī)抽樣．故A，B錯(cuò)誤.

故選：CD.

【變式1】（2023上·陜西榆林·高三陜西省子洲中學(xué)?？计谥校┠彻炯?、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150

個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為60

的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情

況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）

A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B．分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法

C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D．簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)情況不同，即總體中的個(gè)體差異較大，

符合分層抽樣的概念與方法，應(yīng)采用分層抽樣的抽法進(jìn)行抽?。?/p>

第②項(xiàng)調(diào)查中，從丙地區(qū)20個(gè)特大型銷售點(diǎn)中抽7個(gè)，數(shù)量較小，且無差異，

可采用簡單的隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽取.

故選：B.

【變式2】（2021上·高一課時(shí)練習(xí)）使用簡單隨機(jī)抽樣從1000件產(chǎn)品中抽出50件進(jìn)行某項(xiàng)檢查，合適的

抽樣方法是（）

A．抽簽法B．隨機(jī)數(shù)表法

C．分層抽樣法D．以上都不對(duì)

【答案】B

【詳解】由于總體容量相對(duì)較大，且沒有明顯差異，樣本容量較小，故采用隨機(jī)數(shù)表法較為合適.

故選：B.

【變式3】（2022上·新疆·高三?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：

①從10盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查．

②科技報(bào)告廳有32排，每排有40個(gè)座位，有一次報(bào)告會(huì)恰好坐滿了聽眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束后，為了聽取意見，

需要請(qǐng)32名聽眾進(jìn)行座談．

③高新中學(xué)共有160名教職工，其中一般教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對(duì)學(xué)

校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本．

較為合理的抽樣方法是（）

A．①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣

B．①簡單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣

C．①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣，③分層抽樣

D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機(jī)抽樣

【答案】A

【詳解】解；觀察所給的四組數(shù)據(jù)，

①個(gè)體沒有差異且總數(shù)不多可用隨機(jī)抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣，

②將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編

號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)，系統(tǒng)抽樣，

③個(gè)體有了明顯了差異，所以選用分層抽樣法，分層抽樣，

觀察所給的四組數(shù)據(jù)，根據(jù)四組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，把所用的抽樣選出來①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分

層抽樣．

故選：A．

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1．（2024上·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知某校高三有900名學(xué)生，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從中

隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，則樣本容量是（）

A．45B．55C．100D．900

【答案】C

【分析】根據(jù)樣本容量的定義得到答案.

【詳解】因?yàn)槌槿?00人進(jìn)行調(diào)查，所以樣本容量是100.

故選：C

2．（2024上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）渭南市教育局想了解全市所有學(xué)生對(duì)電影《長津湖之水門橋》的評(píng)

價(jià)，決定從全市所有學(xué)校中選取3所學(xué)校按學(xué)生人數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，若3所學(xué)校學(xué)生人

數(shù)之比為2:3:4，且學(xué)生人數(shù)最少的一個(gè)學(xué)校抽出120人，則這個(gè)樣本的容量為（）

A．560B．540C．450D．400

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出分層抽樣的抽樣比，再列式計(jì)算即得.

1202

【詳解】設(shè)樣本的容量為n，依題意，，解得n540，

n234

所以這個(gè)樣本的容量為540.

故選：B

3．（2023下·陜西西安·高一期中）某班有50人，其中30名男生，20名女生，現(xiàn)調(diào)查平均身高，已知男、

女生身高明顯不同，抽取一個(gè)容量樣本為10的樣本，則抽出的男、女生人數(shù)之差為（）

A．5B．4

C．3D．2

【答案】D

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念求出抽出的男、女生人數(shù)，進(jìn)而求出答案.

3020

【詳解】抽出的男生人數(shù)為106，女生人數(shù)為104，

30203020

故抽出的男、女生人數(shù)之差為642.

故選：D

4．（2024上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校有高中學(xué)生1500人，初中學(xué)生1000人．學(xué)生社團(tuán)創(chuàng)辦文創(chuàng)

店，想了解初高中學(xué)生對(duì)學(xué)校吉祥物設(shè)計(jì)的需求，用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取若干人進(jìn)行問卷調(diào)查．已知

在初中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，則在高中學(xué)生中抽取了（）

A．150人B．200人C．250人D．300人

【答案】A

【分析】根據(jù)各層的抽樣比相同求解出結(jié)果.

1001

【詳解】因?yàn)槌踔袑W(xué)生1000人抽取了100人，所以抽樣比為，

100010

1

所以高中生抽取1500150人，

10

故選：A.

5．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某高中為了解本校學(xué)生考入大學(xué)一年后的學(xué)習(xí)情況，對(duì)本校上一年考入

大學(xué)的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)學(xué)生所屬的專業(yè)類型，制成如圖所示的餅圖．現(xiàn)從這些學(xué)生中抽出100人進(jìn)

行進(jìn)一步調(diào)查，已知張三為理學(xué)專業(yè)，李四為工學(xué)專業(yè)，則下列說法不正確的是（）

A．若按專業(yè)類型進(jìn)行分層抽樣，則張三被抽到的可能性比李四大

B．若按專業(yè)類型進(jìn)行分層抽樣，則理學(xué)專業(yè)和工學(xué)專業(yè)應(yīng)分別抽取30人和20人

C．采用分層抽樣比簡單隨機(jī)抽樣更合理

D．該問題中的樣本容量為100

【答案】A

【分析】由分層抽樣的特點(diǎn)以及它的定義判斷選項(xiàng)A、B、C,利用樣本容量的定義判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，理學(xué)比工學(xué)抽取的人數(shù)多，但張三和李四作為一個(gè)個(gè)體被柚到的概率相等，

故張三與李四被抽到的可能性一樣大，故A錯(cuò)誤；

3020

對(duì)于選項(xiàng)B，理學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為10030，工學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為10020，故B正確；

100100

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)楦鲗I(yè)差異比較大，所以采用分層抽樣比簡單隨機(jī)抽樣更合理，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，該問題中的樣本容量為100，故D正確．

故選：A．

6．（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某大學(xué)共有教師1000人，其中教授、副教授、講師、助教的人數(shù)比

為1:4:3:2，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校所有教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，如果樣本按比例分配，那么

講師應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A．16B．12C．8D．4

【答案】B

【分析】根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系計(jì)算得到答案.

3

【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，樣本按比例分配，講師應(yīng)抽取的人數(shù)為4012，

1432

故選：B．

7．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都在家進(jìn)行網(wǎng)上上課，某校高

一，高二，高三共有學(xué)生6000名，為了了解同學(xué)們對(duì)某授課軟件的意見，計(jì)劃采用分層抽樣的方法從這6000

名學(xué)生中抽取一個(gè)容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則

該校高二年級(jí)的人數(shù)為（）

A．1000B．1500C．2000D．1000

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合樣本容量進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閺母咭弧⒏叨?、高三抽取的人?shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，

所以設(shè)高三抽取的人數(shù)為2a，則高二抽取的人數(shù)為2a2，高一抽取的人數(shù)為2a4，

因?yàn)闃颖救萘繛?0，所以2a2a22a4602a22，

設(shè)我校高二年級(jí)的人數(shù)為x，

x222

根據(jù)分層抽樣得：x2000，

600060

故選：C

8．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校在校學(xué)生有2000人，為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，

每人都參加且只參加其中一項(xiàng)比賽，高一、高二、高三年級(jí)參加跑步的人數(shù)分別為a，b，c，且a:b:c2:5:3，

1

全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．為了了解學(xué)生對(duì)本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法從中抽取一

4

個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從高三年級(jí)參加跑步的學(xué)生中抽取（）

A．15人B．30人C．40人D．45人

【答案】D

3

【分析】由題知全校參加跑步的人數(shù)為20001500，再根據(jù)分層抽樣的方法求解即可得答案.

4

3

【詳解】解：由題意，可知全校參加跑步的人數(shù)為20001500，

4

3

所以abc1500．因?yàn)閍:b:c2:5:3，所以c1500450．

253

因?yàn)榘捶謱映闃拥姆椒◤闹谐槿∫粋€(gè)容量為200的樣本，

200

所以應(yīng)從高三年級(jí)參加跑步的學(xué)生中抽取的人數(shù)為45045．

2000

故選：D

二、多選題

9．（2020下·山東泰安·高一期末）某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛為

檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取57輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（）

A．應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣抽取

B．應(yīng)采用抽簽法抽取

C．三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛

D．這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

【答案】ACD

【分析】根據(jù)分層抽樣逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】因?yàn)槿N型號(hào)轎車的產(chǎn)量具有明顯的差異性，所以應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣抽取，故A正確；B錯(cuò)誤；

又因?yàn)槿N型號(hào)轎車的產(chǎn)量之比為1500:6000:20003:12:4，

3124

所以三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取579輛，5736輛，5712輛，故C正

312431243124

確；

根據(jù)隨機(jī)抽樣可知：每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均等，即每一輛被抽到的概率都是相等的，故D正確；

故選：ACD.

10．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例從各層獨(dú)

立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有

甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢數(shù)多少衰出之，

問各幾何？”其譯文為今有甲持錢560，乙持錢350，丙持錢180，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共計(jì)100

錢，要按照各人帶錢多少的比率進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則（）

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