小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)教程-第十二講

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)教程第十二講相遇問(wèn)題第1頁(yè)

在小學(xué)數(shù)學(xué)處理問(wèn)題部分，行程問(wèn)題是其中一大主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都離不開(kāi)這類問(wèn)題。它內(nèi)容豐富，形式多樣，改變多端，貼近生活，同學(xué)們學(xué)起來(lái)饒有興趣，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一大快餐。

行程問(wèn)題所包括基本數(shù)量關(guān)系式是：

速度×?xí)r間=旅程，旅程÷時(shí)間=速度，旅程÷速度=時(shí)間相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是行程問(wèn)題中兩種主要類型。這一講我們先來(lái)學(xué)習(xí)相遇問(wèn)題。相遇問(wèn)題有兩種情況：相向相遇和反向相離。普通情況，相向相遇形式多一些，作為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。它特點(diǎn)是：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著物體從兩地出發(fā)，相向運(yùn)動(dòng)，越行越靠近，到一定時(shí)候二者能夠相遇，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同時(shí)起行，相遇時(shí)所用時(shí)間相同。第2頁(yè)例1：小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭，兩家相距810米。兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行，小秋每分鐘走40米，小冬每分鐘走50米。問(wèn)：

①他們經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)是相遇？②5分鐘時(shí)，他們還相距多少米？③15分鐘時(shí)他們相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇處810米分析：①如圖，小秋和小冬家相距810米，稱為總旅程。小秋每分走40米，小冬每分走50米，可知小秋和小冬同時(shí)走1分鐘共行旅程是40+50=90（米），我們把它稱為速度和。810米里有幾個(gè)90米就是走了幾分鐘。解：810÷（40+50）=810÷90=9（分）這個(gè)時(shí)間既是小秋到相遇處時(shí)用時(shí)間，也是小冬到相遇處時(shí)用時(shí)間，我們稱它為相遇時(shí)間。第3頁(yè)例1：小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭，兩家相距810米。兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行，小秋每分鐘走40米，小冬每分鐘走50米。問(wèn)：

①他們經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)是相遇？②5分鐘時(shí)，他們還相距多少米？③15分鐘時(shí)他們相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇處810米分析：②依據(jù)題意，小秋和小冬每分鐘共行40+50=90（米），5分鐘能夠行90×5=450（米），用總旅程減去兩人行了旅程就是還沒(méi)有行旅程，也就是他們還相距多少米。解：810-[（40+50）×5]=810–[90×5]=810-450=360（米）第4頁(yè)例1：小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭，兩家相距810米。兩人同時(shí)從家中出發(fā)相向而行，小秋每分鐘走40米，小冬每分鐘走50米。問(wèn)：

①他們經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)是相遇？②5分鐘時(shí)，他們還相距多少米？③15分鐘時(shí)他們相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇處810米分析：③依據(jù)題意，15分鐘時(shí)他們相距多少米，就是他們相向走了9分鐘相遇，這時(shí)他們相距為0，然后相背（反向）而行，又走了15-9=6（分），這時(shí)兩人反向相離旅程。解：（40+50）×（15-9）=90×6=540（米）第5頁(yè)依據(jù)以上例子，我們能夠總結(jié)出相遇問(wèn)題中數(shù)量之間基本關(guān)系式是：速度和×相遇時(shí)間=總旅程總旅程÷速度和=相遇時(shí)間總旅程÷相遇時(shí)間=速度和總旅程÷相遇時(shí)間-一個(gè)速度=另一個(gè)速度

解相遇問(wèn)題時(shí)，我們必須熟練掌握相關(guān)數(shù)量關(guān)系式，另外，應(yīng)借助于線段圖來(lái)直觀地分析和了解題意，以突破題意難點(diǎn)。第6頁(yè)例2：甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，甲每分鐘行200米，乙每分鐘行220米，15分鐘后兩人相遇，求A、B兩地距離。分析：此題依據(jù)數(shù)量關(guān)系就能直接求出，求A、B兩地距離就用速度和×相遇時(shí)間=總旅程。解：（200+220）×15=420×15=6300（米）第7頁(yè)例3：一輛客車和一輛貨車同時(shí)從630千米兩地相向而行，客車速度是每小時(shí)50千米，貨車速度是每小時(shí)55千米，問(wèn)幾小時(shí)后兩車相距105千米？分析：兩車在相距630千米兩地相向而行，距離逐步縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車相距105千米，這時(shí)兩車共行旅程是630-105=525（千米），然后依據(jù)總旅程÷速度和=相遇時(shí)間，便可求出所用時(shí)間。另外，還有一個(gè)情況，當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車之間距離會(huì)從零逐步增大，到某一時(shí)刻，兩車再一次相距105千米。這時(shí)兩車共行旅程為630+105=735（千米），一樣，利用總旅程÷速度和=相遇時(shí)間，便可求出所用時(shí)間。解：第一個(gè)，兩車相遇前情況。（630-105）÷（50+55）=525÷105=5（小時(shí)）第二種，兩車相遇后情況。（630+105）÷（50+55）=735÷105=7（小時(shí)）第8頁(yè)例4：慢車從甲地開(kāi)往乙地，開(kāi)出1小時(shí)后，離甲地40千米，這時(shí)，快車從乙地開(kāi)往甲地，快車開(kāi)出3小時(shí)后兩車相遇。已知甲、乙兩地相距340千米，求快車速度。分析：如圖，慢車開(kāi)出1小時(shí)后，離甲地40千米，說(shuō)明慢車速度為每小時(shí)40千米。也說(shuō)明慢車比快車先出發(fā)1小時(shí)，行了40千米后，快車才出發(fā)。那么快車用了3小時(shí)與慢車相遇，這個(gè)3小時(shí)是兩車共同用時(shí)間。共同行旅程為340-40=300（千米），然后用共同旅程÷相遇時(shí)間-一個(gè)速度=另一個(gè)速度，從而求出快車速度。解法一：（340-40）÷3-40=300÷3-40=100-40=60（千米）解法二：[340-40×（3+1）]÷3=[340-40×4]÷3=[340-160]÷3=180÷3=60（千米）慢車快車每時(shí)40千米每時(shí)？千米相遇處340千米甲地乙地3小時(shí)3小時(shí)第9頁(yè)例5：甲、乙兩列火車從相距770千米兩地相向而行，甲車每小時(shí)行41千米，乙車每小時(shí)行45千米，甲車先出發(fā)2小時(shí)后，乙車才出發(fā)。乙車行幾小時(shí)后與甲車相遇？分析：如圖，甲車先出發(fā)2小時(shí)，所行旅程是41×2=82（千米），這時(shí)乙車才出發(fā)，那么甲、乙同時(shí)相向而行旅程是770-82=688（千米），然后用共同旅程÷速度和=相遇時(shí)間，便可求出快車時(shí)間。解：（770-41×2）÷（41+45）=（770-82）÷86=688÷86=8（小時(shí)）每時(shí)41千米每時(shí)45千米相遇處770千米甲車乙車2小時(shí)？小時(shí)？小時(shí)第10頁(yè)例6：甲、乙兩城之間公路長(zhǎng)840千米，兩輛汽車同時(shí)從甲城開(kāi)往乙城，每一輛汽車每小時(shí)行28千米，第二輛汽車每小時(shí)行42千米，第二輛汽車抵達(dá)乙城后馬上返回，兩輛汽車從開(kāi)出到相遇共用了幾小時(shí)？分析一：從圖可知，兩輛車開(kāi)始時(shí)是同向行走，第二輛車開(kāi)得快，當(dāng)?shù)诙v車從甲到乙后，所用時(shí)間是840÷42=20（小時(shí)），當(dāng)?shù)诙v車從乙城返回時(shí)，與第一輛車運(yùn)動(dòng)方向變成了同時(shí)相對(duì)而行，只要求出第二輛車返回時(shí)與第一輛車相遇用時(shí)間，然后與20相加，便可得出所求問(wèn)題。解：①第二輛車抵達(dá)乙城所用時(shí)間：840÷42=20（小時(shí)）②第一輛車用20小時(shí)所行旅程是：28×20=560（千米）③第一輛車和第二輛車相對(duì)而行旅程是：840-560=280（千米）④第一輛車和第二輛車相對(duì)而行時(shí)間是280÷（42+28）=4（小時(shí)）⑤從出發(fā)點(diǎn)到相遇時(shí)用時(shí)間是：20+4=24（小時(shí)）每一輛車840千米甲乙第二輛車相遇處第11頁(yè)例6：甲、乙兩城之間公路長(zhǎng)840千米，兩輛汽車同時(shí)從甲城開(kāi)往乙城，每一輛汽車每小時(shí)行28千米，第二輛汽車每小時(shí)行42千米，第二輛汽車抵達(dá)乙城后馬上返回，兩輛汽車從開(kāi)出到相遇共用了幾小時(shí)？分析二：我們用轉(zhuǎn)化思想，讓第二輛車由與第一輛車同向而行變成從另一城丙出發(fā)，與第一輛車相向而行，那么兩車從開(kāi)出到相遇所行旅程，恰好是兩城間公路長(zhǎng)2倍，所以，兩車從開(kāi)出到相遇所用時(shí)間相當(dāng)于兩車從相距840×2=1680（千米）兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，直到相遇所用時(shí)間。如圖解：①第一輛車和第二輛車共行旅程是：840×2=1680（千米）②兩輛車從出發(fā)到相遇所用時(shí)間：1680÷（42+28）=1680÷70=24（小時(shí)）每一輛車相遇處840千米甲乙第二輛車840千米丙第12頁(yè)例7：小陳和小王兩人同時(shí)分別從兩地騎車相向而行。小陳每分鐘行320米，小王每分鐘行310米，兩人相遇距全程中點(diǎn)50米。求全程長(zhǎng)多少米？分析：從圖上能夠看出，兩人相遇地點(diǎn)距離中點(diǎn)50米，也就是小陳走了全程二分之一后又走了50米，小王走了全程二分之一減50米地方，小陳比小王多走了50+50=100（米）。已知小陳每分鐘行320米，小王每分鐘行310米，小陳每分鐘比小王多行320-310=10（米）。多少分鐘小陳比小王多行100米？用100÷10=10（分），這就是相遇時(shí)間，再速度和×相遇時(shí)間=總旅程。解：①相遇時(shí)小陳比小王多行旅程是：50+50=100（米）②相遇時(shí)間：100÷（320-310）=10（分鐘）③全程：（320+310）×10=6300（米）

相遇處小陳50米小王中點(diǎn)第13頁(yè)例8：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條長(zhǎng)2900米長(zhǎng)水渠，甲隊(duì)天天修80米，乙隊(duì)天天修65米，兩隊(duì)人各從一端同時(shí)相向施工，相遇時(shí)，甲隊(duì)超出中點(diǎn)多少米？分析一：這道題與例7運(yùn)動(dòng)方向是相同，只是把條件和問(wèn)題換了換。能夠用以下思緒來(lái)處理問(wèn)題。要求甲隊(duì)超出中點(diǎn)多少米，只要求出甲隊(duì)修米數(shù)，再減去小渠二分之一便可得出。要求甲隊(duì)修米數(shù)，必須知道甲隊(duì)速度和甲隊(duì)用時(shí)間，速度已知是天天修80米，時(shí)間就是兩隊(duì)相遇時(shí)間，用總旅程除以速度和便能夠求出。解：①相遇時(shí)間：2900÷（80+65）=2900÷145=20（天）②甲隊(duì)修米數(shù)：80×20=1600（米）③甲隊(duì)超出中點(diǎn)米數(shù)：1600-2900÷2=1600-1450=150（米）第14頁(yè)例8：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合修一條長(zhǎng)2900米長(zhǎng)水渠，甲隊(duì)天天修80米，乙隊(duì)天天修65米，兩隊(duì)人各從一端同時(shí)相向施工，相遇時(shí)，甲隊(duì)超出中點(diǎn)多少米？分析二：甲隊(duì)超出中點(diǎn)米數(shù)，也是乙隊(duì)距中點(diǎn)米數(shù)。用甲隊(duì)修米數(shù)減去乙隊(duì)修米數(shù)再除以2，就求出甲隊(duì)超出中點(diǎn)米數(shù)。所以用第一個(gè)思緒先求出相遇時(shí)間，再分別求出甲隊(duì)和乙隊(duì)修米數(shù)。解：①相遇時(shí)間：2900÷（80+65）=2900÷145=20（天）②甲隊(duì)修米數(shù)：80×20=1600（米）③乙隊(duì)修米數(shù)：65×20=1300（米）

④甲隊(duì)超出中點(diǎn)米數(shù)：（1600-1300）÷2=300÷2=150（米）第15頁(yè)例9：甲、乙兩車站相距8250米，A公交車速度為每分鐘280米，B公交車速度為每分鐘270米，A、B兩車分別從甲、乙兩站相向開(kāi)出，兩車到站后都要停留5分鐘，然后返回，它們第一次相遇后要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間第二次相遇？分析：從圖中能夠看出，A、B兩車從出發(fā)到第一次相遇經(jīng)過(guò)總旅程是甲、乙兩站長(zhǎng)8250米。A、B兩車從出發(fā)到第二次相遇經(jīng)過(guò)總旅程是甲、乙兩站8250米3倍，也就是第一次相碰到第二次相遇時(shí)，兩車經(jīng)過(guò)總旅程是8250米2倍。又已知兩車速度，可求得兩車行這兩個(gè)全程共用時(shí)間，最終加上停站時(shí)間，就求出了最終結(jié)果。解：①?gòu)牡谝淮蜗嗯龅降诙蜗嘤鼋?jīng)過(guò)總旅程：8500×2=16500（米）②從第一次相碰到第二次相遇所用時(shí)間：16500÷（280+270）=30（分鐘）30+5=35（分鐘）第一次相遇甲8250米乙A車B車停留5分鐘停留5分鐘第二次相遇第16頁(yè)例10：小春、小夏兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩人在離A地50米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)前行，而且在各自抵達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后馬上沿原路返回，途中兩人在距B地25米處第二次相遇。問(wèn)A、B兩地相距多少米？分析：從圖上看，小春和小夏運(yùn)行情況與例9題兩輛汽車運(yùn)行情況相同，只是小春、小夏到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)時(shí)沒(méi)有停，返回即走，那么我們能夠用例9思緒來(lái)想：小春、小夏第一次相遇時(shí)，合行旅程是A、B之間距離，此時(shí)，小春行了50米。從圖中能夠看出，他們到第二次相遇時(shí)共行了A、B之間距離3倍，也就是小春和小夏各行了從出發(fā)到第一次相遇時(shí)自己所行旅程3倍，即小春共行了3個(gè)50米。用小春共行路減去他返回時(shí)又行25米，就得到A、B兩地間距離。解：50×3-25=150-25=125（米）

第一次相遇AB小春小夏50米第二次相遇25米第17頁(yè)例11：甲、乙、丙3人做走路游戲。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走60米。甲、乙兩人從A地、丙從B地，3人同時(shí)相向出發(fā)，丙先遇見(jiàn)乙，再經(jīng)過(guò)2分鐘碰到甲、問(wèn)A、B兩地相距多遠(yuǎn)？分析：從圖上看出，乙、丙相遇時(shí)，甲、乙相差旅程恰好是丙再行2分鐘與甲相遇時(shí)，甲、丙2分鐘共走旅程。這個(gè)旅程能夠求出：（40+60）×2=200（米）。即乙比甲多行了200米。而乙每分鐘比甲每分鐘快50-40=10（米），那么200米里有幾個(gè)10米就是在幾分鐘內(nèi)行出來(lái)，用200÷10=20（分），這個(gè)時(shí)間是乙與丙相遇時(shí)，甲、乙、丙各用時(shí)間，也能夠看成是乙、丙相遇時(shí)間，用乙、丙速度和×相遇時(shí)間=總旅程，便可求出A、B兩地相距多遠(yuǎn)。解：①乙、丙相遇時(shí)，甲、乙旅程差：（40+60）×2=200（米）

②乙、丙相遇時(shí)間：20