高中數(shù)學(xué)第六章推理與證明章末歸納

本章歸納整合知識網(wǎng)絡(luò)第六章推理與證實(shí)第1頁學(xué)習(xí)合情推理時，要經(jīng)過實(shí)例分析歸納，搞清歸納推理和類比推理含義、特點(diǎn)以及相互間區(qū)分．進(jìn)行歸納推理時，要重視發(fā)覺特例共性或普通規(guī)律，這是猜測基礎(chǔ)；進(jìn)行類比推理時，要善于在兩類不一樣事物間對比中，盡可能多找出相同或相同點(diǎn)，以推測在其它方面也可能存在相同或相同之處．進(jìn)行演繹推理時，要準(zhǔn)確把握演繹推理主要形式——三段論，明確大前提、小前提和結(jié)論邏輯關(guān)系，從而形成言之有理、論之有據(jù)習(xí)慣．關(guān)鍵點(diǎn)歸納1．合情推理與演繹推理第2頁直接證實(shí)與間接證實(shí)使用綜正當(dāng)進(jìn)行證實(shí)時，要明確推證方向，選擇最正確推證路徑，在順推中，要時常聯(lián)絡(luò)最終止果進(jìn)行猜測，預(yù)防迷途和剪除無用中間結(jié)果；使用分析法證實(shí)時，要做到步步追逆條件都是結(jié)論充分條件(當(dāng)然，充要條件更加好)．反證法證題關(guān)鍵是恰看成出假設(shè)，正確推理找出矛盾．?dāng)?shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時，首先要明確不完全歸納和完全歸納作用、區(qū)分與聯(lián)絡(luò)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一個完全歸納證實(shí)方法，它適合用于與自然數(shù)相關(guān)問題．兩個步驟、一個結(jié)論缺一不可，不然結(jié)論不成立；在證實(shí)遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，必須進(jìn)行恒等變換．2．3．第3頁歸納推理和類比推理是慣用合情推理，兩種推理結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證實(shí)．盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其主要作用．演繹推理主要形式是三段論，在前提和推理形式都正確前提下，得到結(jié)論一定正確，實(shí)際上，演繹推理是我們處理問題最慣用推理形式．專題一歸納推理和類比推理第4頁

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，是cos2A＋cos2B＝1，請在立體幾何中給出類似四面體性質(zhì)猜測．【例1】第5頁點(diǎn)評：(1)平面圖形中線、角類比到空間中分別對應(yīng)著空間中面和二面角．(2)Rt△ABC類比到四面體P-A′B′C′中，AB對應(yīng)著底面A′B′C′，直角邊對應(yīng)著側(cè)面PA′B′，PB′C′，PA′C′，直角對應(yīng)著側(cè)面兩兩垂直，銳角對應(yīng)著側(cè)面與底面所成二面角．第6頁第7頁第8頁點(diǎn)評由歸納推理所得到結(jié)論不一定正確，但它所含有特殊到普通性質(zhì)對數(shù)學(xué)發(fā)展有著十分主要作用，應(yīng)用時應(yīng)首先分析清楚題目標(biāo)條件，合理歸納．第9頁綜正當(dāng)是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最終推出待證結(jié)論．分析法是從待證結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立充分條件，最終把要證實(shí)結(jié)論歸結(jié)為判斷一個顯著成立條件(已知條件、定理、定義、公理等)．反證法是否定命題結(jié)論，在這個否定條件下，推出與已知條件或已證事實(shí)相矛盾，從而得出否定命題不成立，原命題成立．反證法反應(yīng)了“正難則反”解題思想．專題二證實(shí)第10頁答案：C第11頁點(diǎn)評本題主要考查了綜正當(dāng)．綜正當(dāng)處理問題關(guān)鍵是從“已知”(已知條件，已經(jīng)有定義、公理、定理)看“可知”，逐步迫近“未知”，其逐步推理，實(shí)質(zhì)上是尋找已知必要條件，利用綜正當(dāng)解題時首先要明確方向，然后能夠?qū)⒚總€條件一一解碼，使文字、符號、圖形、結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)信息遷移，化生為熟，化新為舊，從而使結(jié)論水落石出．第12頁

如圖，在四面體B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD中點(diǎn)，求證：(1)直線EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.證實(shí)

(1)要證直線EF∥平面ACD，只需證EF∥AD且EF?平面ACD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BD中點(diǎn)，所以EF是△ABD中位線，所以EF∥AD，所以直線EF∥平面ACD.要證平面EFC⊥平面BCD，【例4】第13頁第14頁點(diǎn)評對于第一問采取逆向分析尋線方法，即假設(shè)結(jié)論成立，利用線面平行性質(zhì)定理，尋找兩個面交線．對于第二問能夠從結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化，一步步逆尋條件：即證面面垂直?線面垂直?線線垂直．本題主要利用了分析法，其處理問題關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知．第15頁第16頁(2)由(1)知an＋1－2an＝2n＋1，∴an＋2－2an＋1＝2n＋3，兩式相減可得an＋2－3an＋1＋2an＝2，即an＋2－an＋1－2(an＋1－an)＝2.∵bn＝an＋1－an，∴bn＋1＋2＝2(bn＋2)，∴數(shù)列{bn＋2}是公比為2等比數(shù)列．又∵a1＝1，∴a2＝5，∴b1＝4，即b1＋2＝6.∴bn＋2＝6·2n－1，即bn＝3·2n－2.(3)由(2)知an＋1－an＝3·2n－2，而已知an＋1－2an＝2n＋1，聯(lián)立解得an＝3·2n－2n－3，第17頁∴2an＝6·2n－4n－6，∴2an－bn＝3·2n－4(n＋1)，當(dāng)n＝1時，2a1－b1＝－2<0，即2a1<b1；當(dāng)n＝2時，2a2－b2＝0，即2a2＝b2；當(dāng)n＝3時，2a3－b3＝8>0，即2a3>b3；當(dāng)n＝4時，2a4－b4＝28>0，即2a4>b4；猜測當(dāng)n≥3時，2an>bn，即3·2n>4(n＋1)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)①當(dāng)n＝3時，命題成立．第18頁②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時，命題成立，即3·2k>4(k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時，即3·2k＋1＝2×(3·2k)>8(k＋1)＝8k＋8＝4k＋8＋4k>4k＋8＝4(k＋2)，不等式也成立．∴總而言之，當(dāng)n＝1時，2an<bn；當(dāng)n＝2時，2an