1996年全國高考文科數(shù)學真題及答案

PAGE1996年全國高考文科數(shù)學真題及答案第Ⅰ卷（選擇題共65分）注意事項：1．答案Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，在選涂其它答案，不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回．一．選擇題：本大題共15小題；第1—10題每小題4分，第11—15題每小題5分，共65分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合．則A．B．C．D．2．當時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖像3．若，則的取值范圍是A．B．C．D．4．復數(shù)等于A．B．C．D．5．6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有A．720種

B．360種

C．240種

D．120種6．已知是第三象限角且，則A．

B．C．D．7．如果直線與平面滿足：和，那么必有A．且B．且C．且D．且8．當時，函數(shù)的A．最大值是1，最小值是B．最大值是1，最小值是C．最大值是2，最小值是D．最大值是2，最小值是9．中心在原點，準線方程為，離心率為的橢圓方程是A．

B．C．

D．10．圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖圓心角為，該圓錐的體積是A．B．C．D．11．橢圓的兩個焦點坐標是A．B．

C．

D．12．將邊長為的正方形沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為A．B．C．D．13．等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則它的前項和為A．130B．170C．210D．26014．設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過兩點．已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為A．2B．C．D．15．是上的奇函數(shù)，，當時，，則等于A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題共85分）注意事項：1．第Ⅱ卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中．2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚．二．填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．16．已知點與拋物線的焦點的距離是5，則．17．正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有個．（用數(shù)字作答）18．的值是．19．如圖，正方形所在平面與正方形所在平面成的二面角，則異面直線與所成角的余弦值是．三．解答題：本大題共6小題；共69分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．20．（本小題滿分11分）

解不等式．21．（本小題滿分12分）

設(shè)等比數(shù)列的前項和為．若，求數(shù)列的公比．22．（本小題滿分11分）已知的三個內(nèi)角滿足：，求的值．23．（本小題滿分12分）【注意：本題的要求是，參照標號①的寫法，在標號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟，完成（Ⅰ）證明的全過程；并解答（Ⅱ），如圖2．】如圖1，在正三棱柱中，，分別是上的點，且．（Ⅰ）求證：面面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．24．（本小題滿分10分）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%．如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）?（糧食單產(chǎn)=，人均糧食占有量=）25．（本小題滿分12分）已知是過點的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩個交點，分別為和．

（Ⅰ）求的斜率的取值范圍；（Ⅱ）若恰是雙曲線的一個頂點，求的值．1996年全國高考文科數(shù)學真題及答案第Ⅰ卷（選擇題共65分）注意事項：1．答案Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，在選涂其它答案，不能答在試題卷上．3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回．一．選擇題：本大題共15小題；第1—10題每小題4分，第11—15題每小題5分，共65分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合．則A．B．C．D．【答案】C【解析】顯然C正確．2．當時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖像【答案】A【解析】當時，函數(shù)是減函數(shù)，且過點；而函數(shù)為增函數(shù)，且過點．3．若，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D【解析】或，解得或，即，所以的取值范圍是．4．復數(shù)等于A．B．C．D．【答案】B【解析】．5．6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有A．720種

B．360種

C．240種

D．120種【答案】C【解析】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同的排法有．6．已知是第三象限角且，則A．

B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，所以．7．如果直線與平面滿足：和，那么必有A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】略．8．當時，函數(shù)的A．最大值是1，最小值是B．最大值是1，最小值是C．最大值是2，最小值是D．最大值是2，最小值是【答案】D【解析】因為，由已知．故當，即時，有最大值是2；當，即時，有最小值是．9．中心在原點，準線方程為，離心率為的橢圓方程是A．

B．C．

D．【答案】A【解析】由題設(shè)可得，解得，所以橢圓方程是．10．圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖圓心角為，該圓錐的體積是A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，則，得，則圓錐高為，圓錐的體積是．11．橢圓的兩個焦點坐標是A．B．

C．

D．【答案】B【解析】橢圓的標準方程為，而的焦點為，所以的焦點坐標是．12．將邊長為的正方形沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為A．B．C．D．【答案】D【解析】取的中點，連接，如圖所示．均為等腰直角三角形，，∴，則面，就是三棱錐的高，所以．13．等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則它的前項和為A．130B．170C．210D．260【答案】C【解析】由已知得，則成等差數(shù)列，所以．14．設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過兩點．已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為A．2B．C．D．【答案】A【解析】直線的方程為，原點到直線的距離為，則，即，解得或，又，所以，所以不合題意．15．是上的奇函數(shù)，，當時，，則等于A．B．C．D．【答案】B【解析】．

第Ⅱ卷（非選擇題共85分）

注意事項：

1．第Ⅱ卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中．

2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚．二．填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．16．已知點與拋物線的焦點的距離是5，則．【答案】4【解析】由已知得，解得．17．正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有個．（用數(shù)字作答）【答案】32【解析】從7個點中取3個點有種取法，3個點共線的有3種，三角形共有個．18．的值是．【答案】【解析】∵，∴，．19．如圖，正方形所在平面與正方形所在平面成的二面角，則異面直線與所成角的余弦值是．【答案】【解析】由于，所以即為異面直線與所成角，設(shè)正方形邊長為，在中，，．三．解答題：本大題共6小題；共69分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．20．（本小題滿分11分）

解不等式．【解】本小題考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)不等式的解法，分類討論的方法和運算能力，滿分11分．（Ⅰ）時，原不等式等價于不等式組：

——2分解得．

——5分（Ⅱ）當時，原不等式等價于不等式組：——7分解得．

10分綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．

——11分21．（本小題滿分12分）

設(shè)等比數(shù)列的前項和為．若，求數(shù)列的公比．【解】本小題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，邏輯推理能力和運算能力．滿分12分．若，則有．但，即得，與題設(shè)矛盾，故．

——2分又依題意可得．整理得．由得方程．，

——9分∵

，∴，∴．

——12分22．（本小題滿分11分）已知的三個內(nèi)角滿足：，求的值．解法一：由題設(shè)條件知．——2分∵，∴．將上式化為．利用和差化積及積化和差公式，上式可化為．——6分將代入上式得．將代入上式并整理得——9分，∵，∴．從而得．——12分解法二：由題設(shè)條件知．設(shè)，則，可得，——3分所以．——7分依題設(shè)條件有，∵，∴．整理得——9分，∵，∴．從而得．——11分23．（本小題滿分12分）【注意：本題的要求是，參照標號①的寫法，在標號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟，完成（Ⅰ）證明的全過程；并解答（Ⅱ），如圖2．】如圖1，在正三棱柱中，，分別是上的點，且．（Ⅰ）求證：面面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．（Ⅰ）證明：

①∵，，延長與延長線交于，連結(jié)．∴，∴．

②

．

∴．③

．∴．④

．∴．⑤

．∴面．（Ⅱ）解：【解】本小題考查空間線面關(guān)系，正三棱柱的性質(zhì)，邏輯思維能力，空間想象能力及運算能力．滿分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴，——1分③∵是等腰三角形，且，∴，∴，

——3分④∵面，∴是在面上的射影，且，——5分⑤∵，面，面，∴面面．

7分（Ⅱ）∵，在面內(nèi)作，垂足為．．面面，∴面，∵，而面，∴三棱柱的高為．——9分．——10分∴．——12分24．（本小題滿分10分）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%．如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）?（糧食單產(chǎn)=，人均糧食占有量=）【解】本小題主要考查運用數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力，指數(shù)函數(shù)和二項式定理的應用，近似計算的方法和能力．滿分10分．設(shè)耕地平均每年至多只能減少公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為人，糧食單產(chǎn)為噸/公頃．依題意得不等式．——5分化簡得．——7分∵．——9分∴（公頃）．答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃．——10分25．（本小題滿分12分）已知是過點的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩個交點，分別為和．

（Ⅰ）求的斜率的取值范圍；（Ⅱ）若恰是雙曲線的一個頂點，求的值．【解】本小題主要考查直線與雙曲線的性質(zhì)，解析幾何的基本思想，以及綜合運用知識的能力．滿分12分．（Ⅰ）依題設(shè)，的斜率都存在，因為過點且與雙曲線有兩個交點，故方程組①——1分有兩個不同的解．在方程組①中消去，整理得．②若，則方程組①只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾，故，即，方程②的判別式為．設(shè)的斜率為，因為過點且與雙曲線有兩個交點，故方程組