信號與系統(tǒng)課件 第17講學(xué)習(xí)資料

信號與系統(tǒng)第17講教材位置:第9章拉普拉斯變換

§9.1-§9.3內(nèi)容概要:拉普拉斯變換； 拉普拉斯變換收斂域； 拉普拉斯反變換2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講2開講前言－前講回顧采樣概念連續(xù)信號到離散序列的轉(zhuǎn)換采樣定理采樣的頻率大于信號的最高頻率兩倍連續(xù)信號的恢復(fù)零階插值、一階插值、帶限內(nèi)插欠采樣混疊現(xiàn)象，相位倒置，取樣示波器連續(xù)時(shí)間信號的離散處理離散序列消除了采樣間隔的量綱，是對以連續(xù)方式表達(dá)的采樣信號的歸一化處理離散時(shí)間序列的采樣整數(shù)倍的采樣，序列的抽取-減采樣，序列的擴(kuò)充-增采樣2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講3開講前言－本講導(dǎo)入傅里葉變換對連續(xù)時(shí)間信號的分析將信號表示為復(fù)指數(shù)信號的線性組合如果s不是純虛數(shù)，是普通復(fù)數(shù)，傅里葉變換可行嗎？在傅里葉變換中，對信號有個(gè)絕對可積的要求不滿足絕對可積條件的信號要想利用傅里葉變換怎么辦？傅里葉變換對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)有很便捷的分析但是都是限于穩(wěn)定系統(tǒng)的分析，非穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)怎么辦？如果能分析非穩(wěn)定系統(tǒng)，那么能不能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性拉普拉斯變換將面對上述問題進(jìn)行討論對不滿足絕對可積信號的變換對非穩(wěn)定系統(tǒng)的頻域分析對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析更簡便的運(yùn)算2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講4§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換的引入拉普拉斯變換可看成信號與指數(shù)函數(shù)相乘后再進(jìn)行的傅里葉變換拉普拉斯變換表達(dá)式2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講5§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換舉例2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講6§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換收斂域2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講7§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換收斂域舉例（實(shí)指數(shù)函數(shù)之和的拉普拉斯變換）2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講8§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換收斂域舉例（實(shí)指數(shù)和復(fù)指數(shù)之和的拉普拉斯變換）2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講9§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換的零極點(diǎn)圖一個(gè)有理的拉普拉斯變換式，可表示為復(fù)變量s的兩個(gè)多項(xiàng)式之比數(shù)學(xué)上保證，只要x(t)是實(shí)函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)線性組合，X(s)為有理的一個(gè)多項(xiàng)式N(s)或D(s)，如果由其根來表示，只相差一個(gè)常數(shù)N(s)的根使得X(s)等于0，稱為X(s)的零點(diǎn)，作圖用O表示D(s)的根使得X(s)無窮大，稱為X(s)的極點(diǎn)，作圖用X表示用X(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)來表示X(s)，只相差一個(gè)常數(shù)x(t)的拉普拉斯變換用X(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)以及ROC表示，只差一個(gè)常數(shù)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講10§9.1拉普拉斯變換無限遠(yuǎn)點(diǎn)的零極點(diǎn)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講11§9.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換零極點(diǎn)分析舉例2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講12§9.2拉普拉斯變換收斂域收斂域是拉普拉斯變換的重要組成部分。研究收斂域的性質(zhì)很有必要2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講13§9.2拉普拉斯變換收斂域T1如果小于0，怎樣解釋？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講14§9.2拉普拉斯變換收斂域2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講15§9.2拉普拉斯變換收斂域包含虛軸，存在傅里葉變換2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講16§9.3拉普拉斯反變換反變換定義根據(jù)傅里葉變換和拉普拉斯變換之間的關(guān)系2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講17§9.3拉普拉斯反變換部分分式求解對于X(s)為有理式，假設(shè)分母多項(xiàng)式的階數(shù)高于分子多項(xiàng)式的階數(shù)，X(s)總可以展開為：反變換根據(jù)ROC不同可以有兩種可能的結(jié)果2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講18§9.3拉普拉斯反變換2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講19本講小結(jié)拉普拉斯變換拉普拉斯變換與傅里葉變換將jω替換為+jω增加σ的意義傅里葉變換應(yīng)用的拓展拉普拉斯變換收斂域σ取值決定變換存在變換存在的σ取值為收斂域同一拉普拉斯變換結(jié)果對應(yīng)不同信號（左邊、右邊、雙邊）拉普拉斯反變換反變換的定義反變換的計(jì)算極點(diǎn)與收斂區(qū)位置的判斷，決定信號的類型（左邊、右邊、雙邊）部分分式計(jì)算方法信號與系統(tǒng)第17次課外作業(yè)教材習(xí)題:9.21(a)(d)(g)(j)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講212025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講21補(bǔ)充：拉普拉斯反變換1、反變換求取的數(shù)學(xué)手段依據(jù)反變換公式，這是復(fù)變函數(shù)廣義積分問題使用復(fù)變函數(shù)中圍線積分和留數(shù)定理來解決如函數(shù)是有理函數(shù)，也可通過部分分式展開的方式來求解。2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講222025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講22補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式2、部分分式展開設(shè)F(s)為有理函數(shù)，它可由兩個(gè)s的多項(xiàng)式之比來表示。式中ak，bk為實(shí)數(shù)，m及n為正整數(shù)。一般m<n，取an=1。如mn時(shí)，應(yīng)化為真分式，再分解為部分分式，例如用長除法，可得前面兩項(xiàng)反變換L-1{5}=5(t),L

-1{3s}=3

’(t)F(s)=3s3-2s2-7s+1s2+s-1s2+s-13s3-2s2-7s+13s3s3+3s2-3s-5s2-4s+1-5-5s2-5s+5s-4F(s)=3s–5+s-4s2+s-12025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講232025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講23補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）（1）m<n,D(s)=0的根無重根情況因D(s)是s的n次多項(xiàng)式故可分解因式如下因D(s)=0的根無重根，故s1,s2,---,sk,---,sn,彼此不等，于是式中K1,K2,--,Kk,--,Kn

為待定系數(shù)。兩邊乘（s-sk),再令s=sk,則2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講242025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講24補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）采用羅彼塔法則，可得另一求取Kk

的計(jì)算公式

每一分式的拉普拉斯反變換可直接寫出由此，可得拉普拉斯反變換結(jié)果2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講252025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講25補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）例題1，求解①將F（s）化為真分式2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講262025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講26補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）②將分母進(jìn)行因式分解將F(s)中的真分式寫成部分分式，計(jì)算系數(shù))23)(1()2325()(2++=++=sssssD2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講272025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講27補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）采用洛比塔方法計(jì)算系數(shù)③分解后的F（s）④反變換結(jié)果2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講282025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講28補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）例題2求解解：由D(s)=s2+2s+5=0，得由洛比塔法則求系數(shù)

D’(s)=2s+2

分解后F（s)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講292025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講29補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（無重根）反變換結(jié)果另一解題方式分解因式視察可知反變換結(jié)果2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講302025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講30補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（有重根）（2）m<n,D(s)=0的根有重根情況假設(shè)D(s)=0有p次重根s1，其余的根sp+1,sp+2,---,sn

均為單根，則D(s)=(s-s1)p(s-sp+1)------(s-sn)因此2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講312025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講31補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（有重根）系數(shù)確定算法 （a）兩邊同乘(s-s1)p

（b）令s＝s1

得到（c）將(a)步驟所得的式兩邊對s求導(dǎo)，得2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講322025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講32補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（有重根）再令s=s1，得將(a)步驟所得式兩邊對s求導(dǎo)兩次，再將s=s1

代入得依此類推，可得重根項(xiàng)的部分分式系數(shù)的一般公式如下查表求原函數(shù)因?yàn)?025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講332025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講33補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（有重根）有重根的反變換結(jié)果例題3：求解：

D(s)=0有4個(gè)根，兩單根s1=0,s2=-3及一二重根s3=-1故待定系數(shù)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講342025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講34補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（有重根）分解因子為原函數(shù)?()()()()()()()()()sssssssssssssssdsdKssssDsNsKssssDsNsK-=-=-=-=-=-=-=ú?ùê?é+++-+=tyü?íìú?ùê?é++=-=ú?ùê?é++=ú?ùê?é+==úùê?é++=ú?ùê?é+=4333223322132)()(112112)()(3122131112323232()()()()()()()ttetesssssssssssssDsN--ú?ùê?é+-+=tyü?íì++++-+-++=+++=t>0L

-1232112132132143121312132132)()(32222025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講352025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講35補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-部分分式（有重根）例題4，求解解：D(s)=0有4個(gè)根,一二重根s1=0,一對共軛根s2=+j2,s3=-j2。將F(s)展開，并令s2=w，得t>02025/4/30信號與系統(tǒng)－第17講362025/4/30信號與線性系統(tǒng)－第10講36補(bǔ)充：拉普拉斯反變換-留數(shù)定理求解3、圍線積分法（用留數(shù)定理計(jì)算）拉普拉斯反變換積分可以采用留數(shù)定理計(jì)算的積分圍線積分的幾何說明復(fù)平面任意閉合曲線積分等于圍線內(nèi)被積函數(shù)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2πj補(bǔ)充積分路徑的說明補(bǔ)充曲線與反變換積分路徑一起形成閉合曲線，從而可以利用留數(shù)進(jìn)行計(jì)算。補(bǔ)充曲線的取值為0，可以根據(jù)下列引理若爾當(dāng)輔助定理若|s|=R→∞，|F(s)|一致趨于0;