上海市嘉定區(qū)2025屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024學(xué)年高三年級第二次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果．1.已知集合，集合，則＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳解】.故答案為：.2.不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法得，再解二次不等式即可得答案.【詳解】解：由分式不等式的解法得原不等式等價于，解不等式得.故不等式的解集為.故答案為：3.已知向量，若，則______．【答案】8【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示，列方程求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè).故答案為：84.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，其前n項(xiàng)和為．若，則q的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識化簡已知條件，從而求得正確答案.【詳解】依題意，，即，所以.故答案為：5.在二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為______．【答案】60【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得出【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：60.6.已知，若，則______．【答案】##0.4【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系可得，再應(yīng)用二倍角正弦公式求函數(shù)值.【詳解】由，所以，則.故答案為：7.直線與圓相交所得的弦長為______．【答案】【解析】【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心到直線的距離，再利用幾何法求相交弦長即可.【詳解】由，即，所以圓心，半徑為，所以到的距離，綜上，直線與圓的相交弦長為.故答案為：8.已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，把復(fù)數(shù)和平面向量建立一一對應(yīng)關(guān)系，再利用向量的加減運(yùn)算及平行四邊形的性質(zhì)即可.【詳解】設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)?，由平行四邊形的性質(zhì)可得：所以故答案為：9.在由1，2，3，4，5這五個數(shù)組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其能被3整除的概率為______.【答案】##0.2【解析】【分析】利用排列數(shù)公式分別求出由1，2，3，4，5這五個數(shù)組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)，及其中能被3整除的四位數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)古典概型公式即可得解.【詳解】由1，2，3，4，5這五個數(shù)組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共個，其中能被3整除的四位數(shù)是由1，2，4，5組成的，共，故由1，2，3，4，5這五個數(shù)組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其能被3整除的概率為.故答案為：.10.已知某次數(shù)學(xué)的測試成績X服從的正態(tài)分布，若小明的成績不低于91分，那么他的成績大約超過了______%的學(xué)生（精確到0.1%）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的范圍求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?1.某建筑公司欲設(shè)計(jì)一個正四棱錐形紀(jì)念碑，要求其頂點(diǎn)位于容積為36π立方米的球形景觀燈所在球面上．考慮到抗風(fēng)、抗震等結(jié)構(gòu)安全需求，側(cè)棱長度l需滿足．當(dāng)紀(jì)念碑體積取得最大值時，正四棱錐的側(cè)棱長約為______米（精確到0.01米）．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)可得球半徑為，結(jié)合正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征及其外接球半徑與棱長、底面邊長的關(guān)系得，進(jìn)而得到紀(jì)念碑體積關(guān)于的表達(dá)式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最大值，并確定對應(yīng)的側(cè)棱長.【詳解】若球的半徑為，則，可得，又，對于正四棱錐，設(shè)底面邊長為，高為，則，所以，即，又，則，故，即，紀(jì)念碑體積，令，對于，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，所以，故，此時米.故答案為：12.在平面直角坐標(biāo)系中，一質(zhì)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，第一次從點(diǎn)O移動到點(diǎn)，第二次從點(diǎn)移動到點(diǎn)，…，第k次從點(diǎn)（規(guī)定）移動到點(diǎn).記向量，其模長為k，方向與x軸正方向成角，設(shè)為經(jīng)過n次移動的位移向量，即，則當(dāng)時，n的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出向量的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)模長求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知的模長為k，方向與x軸正方向成角，，∴，∴，；，；，；，.故.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）每題有且只有一個正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式中，不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性、特殊值、基本不等式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，所以，A選項(xiàng)不等式恒成立.B選項(xiàng)，當(dāng)時，，但，B選項(xiàng)不等式不恒成立.C選項(xiàng)，，根據(jù)基本不等式可知，B選項(xiàng)不等式恒成立.D選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，所以，D選項(xiàng)不等式恒成立.故選：B14.已知平面和平面，直線，直線，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.若，則 B.若與為異面直線，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對于A，直線，直線，若，則或平面、平面相交，故A錯誤.對于B，直線，直線，若與為異面直線，則或平面、平面相交，故B錯誤.對于C，直線，直線，若，則或平面、平面相交，故C錯誤.對于D，直線，直線，若，則.故選：D15.已知關(guān)于x的不等式在區(qū)間內(nèi)有k個整數(shù)解，則k的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由二倍角正弦公式有，討論、，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式求解集，進(jìn)而確定整數(shù)解的個數(shù).【詳解】由題設(shè)，顯然，當(dāng)，則，此時，當(dāng)，則，此時，所以，整數(shù)解有，共5個整數(shù)解.故選：C16.設(shè)數(shù)列滿足，記其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為．則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列和數(shù)列均不是周期數(shù)列B.數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列不是周期數(shù)列C.數(shù)列不是周期數(shù)列，數(shù)列是周期數(shù)列D.數(shù)列和數(shù)列均為周期數(shù)列【答案】B【解析】【分析】令，可得數(shù)列的周期為6，令，可得數(shù)列的周期為8，進(jìn)而依次得數(shù)列和數(shù)列的周期，又和判斷數(shù)列的周期性.【詳解】令，則數(shù)列的一個周期為6，又，則，令，則數(shù)列的一個周期為8，又，則，所以數(shù)列的一個周期為24，且，所以，則的一個周期為24，又，，所以，故，所以不是周期數(shù)列.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17.如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，．（1）若AD平面PBC，證明：；（2）在我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中，記載了一種特殊的三棱錐——鱉臑，其四個面均為直角三角形，找出本題圖中的一個鱉臑，并計(jì)算它的體積和表面積．【答案】（1）證明見解析；（2）為一個鱉臑，體積為，表面積為.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知有，線面垂直的性質(zhì)得，再應(yīng)用線面垂直的判定、線面平行的性質(zhì)得面，再由線面垂直性質(zhì)證結(jié)論；（2）根據(jù)已知得到，，，結(jié)合題設(shè)定義及棱錐體積公式求得.【小問1詳解】由題設(shè)，則，由PA⊥平面，平面，則，而都在面內(nèi)，則面，由AD平面PBC，面，面面，所以，則面，面，故.【小問2詳解】由PA⊥平面，平面，則，由（1）知，且面，面，則，所以都是直角三角形，且，根據(jù)題設(shè)定義，為一個鱉臑，體積，表面積.18.已知函數(shù)，其中，a，b為實(shí)常數(shù)且．（1）若為偶函數(shù)，且其最小值為4，求實(shí)數(shù)a與b的值；（2）若，，對任意實(shí)數(shù)x均滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)得到恒成立，即，根據(jù)已知及基本不等式求得，即可得參數(shù)值；（2）問題化為在R上恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最大值，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，所以恒成立，則，又，所以的最小值為4，顯然，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)，故；【小問2詳解】由題設(shè)，即在R上恒成立，令，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，故.19.某學(xué)校對學(xué)生的課外閱讀時間進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了150位學(xué)生，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該校學(xué)生的平均課外閱讀時間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）估計(jì)該校學(xué)生課外閱讀時間位于區(qū)間（單位：小時/月）概率；（3）已知該校喜歡閱讀的學(xué)生占比為18%，初一年級學(xué)生占該?？倢W(xué)生數(shù)的28%，且初一年級學(xué)生中喜歡閱讀的占40%，求其他年級學(xué)生中喜歡閱讀的比例．（精確到0.1%）【答案】（1）平均課外閱讀時間小時/月；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直方圖的平均值求法求該校學(xué)生的平均課外閱讀時間；（2）由直方圖估計(jì)時間位于區(qū)間的頻率，即可得概率；（3）根據(jù)已知得其他年級學(xué)生中喜歡閱讀的學(xué)生占比為，且其他年級學(xué)生占比為，進(jìn)而求出其他年級學(xué)生中喜歡閱讀的比例.【小問1詳解】由直方圖知，平均課外閱讀時間為小時/月；【小問2詳解】由直方圖知，時間位于區(qū)間的頻率為，所以該校學(xué)生課外閱讀時間位于區(qū)間（單位：小時/月）的概率為.【小問3詳解】由題設(shè)，初一年級學(xué)生中喜歡閱讀的學(xué)生占比為，所以其他年級學(xué)生中喜歡閱讀的學(xué)生占比為，故其他年級學(xué)生中喜歡閱讀的比例.20.已知橢圓C：．F為橢圓的右焦點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)Q，點(diǎn)M為橢圓上任意一點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求面積的最大值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若直線與直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D不在x軸上，Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)R，直線與交于點(diǎn)E，求線段的取值范圍．【答案】（1）,（2）,（3）【解析】【小問1詳解】由橢圓方程知，，所以右焦點(diǎn)，設(shè)，則，由代入得：，由于，對稱軸，所以，即的最小值為，此時點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn).【小問2詳解】由直線的斜率為1且經(jīng)過，可得直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，消元得：，解得，則代入得：，所以，則，設(shè)平行于直線的直線方程為，則與橢圓聯(lián)立方程組，消元得：，當(dāng)此直線與橢圓相切時，滿足判別式為，即，解得，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得時，滿足切點(diǎn)取到面積最大值，此時方程為，代入直線得，則，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，所以面積的最大值為，此時點(diǎn)；【小問3詳解】設(shè)過點(diǎn)直線為：，與橢圓聯(lián)立方程組，消元得：，由，再由于交點(diǎn)D不在x軸上，即，設(shè)交點(diǎn)，則有，代入得：，由于Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)R，所以，則直線方程為，與直線相交得：點(diǎn)縱坐標(biāo)為，而直線與直線相交得：點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到最小值.即的取值范圍是21.已知函數(shù)，其中，定義集合．對于點(diǎn)，定義集合．若對任意，均有，則稱點(diǎn)P為平衡點(diǎn)．（1）當(dāng)時，判斷點(diǎn)是否為平衡點(diǎn)；（2）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)b的取值范圍，使得點(diǎn)是平衡點(diǎn)；（3）求所有實(shí)數(shù)a和b，使得點(diǎn)是平衡點(diǎn)．【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)平衡點(diǎn)的定義判斷即可；（2）根據(jù)平衡點(diǎn)定義有、，即可得參數(shù)