山東省泰安市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題含答案

2022級高二下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷共4頁分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.，則（）A B.2 C. D.62.曲線在點處的切線方程是（）A. B.C. D.3.已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.6.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A. B.1 C.2 D.7.已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.兩個選項的，部分選對的每一個得3分。三個選項的，部分選對的每一個得2分，有選錯的得0分.）9.在曲線上的切線的傾斜角為點的橫坐標可能為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A時，恒成立B.時，無極值點C.若有3個零點，則的范圍為D.時，有唯一零點且11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上有極小值C.的最小值為 D.的最小值為三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則的最大值為_______．13.已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個不同的解，則m的取值范圍是______.14.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最小值為______；若對任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．四、解答題（本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．16已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.17.某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具千件并全部銷售完，每千件銷售收入為萬元，且滿足函數(shù)關(guān)系：．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大利潤為多少？18.已知函數(shù)在與時都取得極值.（1）求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）求該函數(shù)在極值.（3）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線并比較與的大小關(guān)系；（2）記函數(shù)的極大值點為，已知表示不超過的最大整數(shù)，求．新泰中學(xué)2022級高二下學(xué)期第一次階段性考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷共4頁分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.，則（）A. B.2 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計算，可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2.曲線在點處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入可得切線方程的斜率，再用點斜式即可得出答案.【詳解】因為，所以，又因為曲線過點，由點斜式可得，化簡可得，所以切線方程是，故選：A.3.已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在（1，2）上為減函數(shù)，由求解即得.【詳解】由，得，∵在，上為增函數(shù)；上為減函數(shù),∴兩根分別位于和中，得，即，解得.故選：B4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出，再設(shè)，由其導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，即可由得出，即，即可得出答案；方法二：由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出，再由為中間值得出，，，即，即可得出答案.【詳解】方法一：因為在上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，當時，，所以再上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.綜上，得，故選：B.方法二：因為在上單調(diào)遞增，所以.又.綜上，得，故選：B.故選：B.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象得到的單調(diào)性，從而得到的正負，即可得解.【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，時，時，所以不等式的解集為.

故選：A6.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，代入，求出的值，進而求解的值即可.【詳解】因為所以定義域為.所以當時，，，則故選：A7.已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點，因為，令，即，可得．令，則，令，得，令，得，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因為，，，如下圖所示：當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，設(shè)兩個交點的橫坐標分別為、，且，由圖可知，當或時，，此時，，當時，，此時，，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，原不等式等價于.構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，可得不等式在上恒成立，利用分離參數(shù)法可得在上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)求出即可.詳解】設(shè)，，等價于，即，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.兩個選項的，部分選對的每一個得3分。三個選項的，部分選對的每一個得2分，有選錯的得0分.）9.在曲線上的切線的傾斜角為點的橫坐標可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】切線的斜率，設(shè)切點為，則，又，所以，所以，，當時，，故AD正確.故選：AD10.已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A.時，恒成立B.時，無極值點C.若有3個零點，則的范圍為D.時，有唯一零點且【答案】BCD【解析】【分析】對于AB：將和代入，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求極值最值即可求解；對于C：將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和極值，然后畫圖求解；對于D：利用零點存在定理求解.【詳解】對于A：當時，，則，令，則，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，又，A錯誤；對于B：當時，，，令，則，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，無極值，B正確；對于C：令，當時，顯然，則，記，則當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，且，當和時，，函數(shù)圖象如下：所以若有3個零點，則的范圍為，C正確；對于D：當時，，則，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在定理可得有唯一零點且，D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上有極小值C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】由已知等式變形可得出，設(shè)（為常數(shù)），根據(jù)題中條件求出的值，可求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷CD選項.【詳解】因為函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則，即，令（為常數(shù)），所以，，因為，可得，所以，，對于A選項，當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A對；對于B選項，由可得，且，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上有極小值，B對；對于C選項，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，C錯；對于D選項，，令，可得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，D錯.故選：AB.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則最大值為_______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值為.【詳解】由可得，令可得，又，所以，當時，，此時在上單調(diào)遞減，當時，，此時在上單調(diào)遞增；易知，；因此的最大值為.故答案為：13.已知函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個不同的解，則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)圖象的平移變換，進而可得函數(shù)的圖象，將方程有3個不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個不同交點即可求解.【詳解】由題意可知，方程有3個不同的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象的有個不同交點.當時，，由，即，解得，由，即，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取的極大值為；作出與的大致圖象，如圖所示.由圖可知，要使函數(shù)與圖象的有個不同交點，只需要.所以m的取值范圍是.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)最小值為______；若對任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最小值；令，，問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求兩個函數(shù)最小值即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；令，，又對任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；時，，當且僅當時取得最小值2，，，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；所以，由，可得．所以的取值范圍是.【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.四、解答題（本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標．【答案】（1）（2），切點為【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將原點代入即可求解.【小問1詳解】由，得，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】設(shè)切點為，由（1）得，所以切線方程為，因為切線經(jīng)過原點，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點為．16.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．【小問1詳解】當時，，所以當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍．17.某小型玩具廠研發(fā)生產(chǎn)一種新型玩具，年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入3萬元，設(shè)該廠年內(nèi)共生產(chǎn)該新型玩具千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且滿足函數(shù)關(guān)系：．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于該新型玩具年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在此新型玩具的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大利潤為多少？【答案】（1）（2）9千件；38.6萬元【解析】【分析】（1）由G(x)等于銷售收入減去成本求解即可；（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性求最值即可【詳解】（1）依題意，（）（2）由（1）得，令，得.∴當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.∴當時，有.即當年產(chǎn)量為9千件時，該廠在該商品生產(chǎn)中獲得的年利潤最大且最大值為38.6萬元【點睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題18.已知函