福建省福州市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第十六次檢測三模試題含答案

2023-2024學(xué)年高三第十六次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的展開式中的系數(shù)為，則（）A.2 B. C.4 D.2.設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，則（）A.2 B. C. D.3.某學(xué)校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯誤的是（）A.若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則C.若該八名選手成績的極差為，則D.若該八名選手成績的平均數(shù)為，則4.在中，，，，則的面積為（）A B. C. D.5.已知，則（）A.0 B. C. D.16.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為（）A B. C. D.7.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.8.曲線是平面內(nèi)與三個定點，和的距離的和等于的點的軌跡.給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于軸、軸均對稱；②曲線上存在點，使得；③若點在曲線上，則的面積最大值是1；④曲線上存在點，使得鈍角.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.②③④ B.②③ C.③④ D.①②③④二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時，的值域為C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱10.已知是兩個虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則與均為實數(shù) B.若與均為實數(shù)，則C.若均為純虛數(shù)，則為實數(shù) D.若為實數(shù)，則均為純虛數(shù)11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對任意，，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則的最小值為__________．13.已知三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)時，且，則的取值范圍是____________．14.已知棱長為8正四面體，沿著四個頂點的方向各切下一個棱長為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計），則該球形容器表面積的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．16.已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且其離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，求證：（為坐標(biāo)原點）為定值.17.如圖，在正四棱臺中，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.18.某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求.性別就餐區(qū)域合計南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計711788（1）現(xiàn)在對學(xué)生性別與在南北兩個區(qū)域就餐的相關(guān)性進行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為.張同學(xué)第1天就餐時選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第（）天他去甲餐廳用餐的概率.附：，；19.已知定義域為的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）（2）已知函數(shù)，判斷是否存在，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域為.函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個零點.求證：.福州三中2023-2024學(xué)年高三第十六次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的展開式中的系數(shù)為，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】寫出展開式的通項，再令，即可求出展開式中的系數(shù)，從而得解.【詳解】二項式展開式的通項為（其中且），令可得，所以，解得.故選：B2.設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】成等比數(shù)列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，因為成等比數(shù)列，故，即，解得，故.故選：B3.某學(xué)校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，則下列說法錯誤的是（）A.若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則C.若該八名選手成績的極差為，則D.若該八名選手成績的平均數(shù)為，則【答案】A【解析】【分析】舉反例判斷A,利用眾數(shù)和平均數(shù)定義判斷B、D,分情況討論x判斷C.【詳解】對A,因為，當(dāng),八名選手成績從小到大排序，故該八名選手成績的第百分位數(shù)為，但，故A錯誤；對B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，B正確；對C,當(dāng)，極差為，不符合題意舍去；當(dāng)，極差為，符合題意當(dāng)，極差為不符合題意舍去，綜上，，C正確；對D,平均數(shù)為解得，故D正確.故選：A4.在中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可求解，由面積公式即可求解.【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，解得，所以，故選：A5.已知，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合求解.【詳解】已知，則，，，，則，，則.故選：A.6.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得甲去場館或的總數(shù)為，進一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概率.【詳解】不考慮甲是否去場館，所有志愿者分配方案總數(shù)為，甲去場館的概率相等，所以甲去場館或的總數(shù)為，甲不去場館，分兩種情況討論，情形一，甲去場館，場館有兩名志愿者共有種；情形二，甲去場館，場館場館均有兩人共有種，場館場館均有兩人共有種，所以甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為.故選：B．7.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)題意進行類比，利用平面法向量與面內(nèi)任意向量垂直，即可求得結(jié)論．【詳解】根據(jù)題意進行類比，在空間任取一點，則平面法向量為，故選：A．8.曲線是平面內(nèi)與三個定點，和的距離的和等于的點的軌跡.給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于軸、軸均對稱；②曲線上存在點，使得；③若點在曲線上，則的面積最大值是1；④曲線上存在點，使得為鈍角.其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.②③④ B.②③ C.③④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得曲線的方程為，可判斷①錯誤；②假設(shè)結(jié)論成立，推得曲線不存在；當(dāng)點P為點時，的面積最大，最大值是1，故③正確；在曲線上再尋找一個特殊點P（0，y），驗證即可判斷④正確．【詳解】設(shè)曲線上任意一點，由題意可知的方程為.①錯誤，在此方程中用取代，方程不變，可知關(guān)于軸對稱；同理用取代，方程改變，可知不關(guān)于軸對稱，故①錯誤.②錯誤，若，則曲線不存在，故②錯誤.③正確，P應(yīng)該在橢圓D：內(nèi)（含邊界），曲線與橢圓D有唯一的公共點，此時當(dāng)點P為點時，的面積最大，最大值是1，故③正確；④正確，由③可知，取曲線上點，此時，下面在曲線上再尋找一個特殊點，，則，把兩邊平方，整理得，解得，即或.因為，則取點，此時故④正確．故答案為：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時，的值域為C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【答案】AD【解析】【分析】利用圖象求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)最小正周期和區(qū)間內(nèi)的值域，求出函數(shù)圖象變換后的解析式，判斷新圖象的對稱中心.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，的最小正周期為，A選項正確；，，，則，由，得，所以.當(dāng)時，，，的值域為，B選項錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，C選項錯誤；將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)的圖象，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，D選項正確.故選：AD10.已知是兩個虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則與均為實數(shù) B.若與均為實數(shù)，則C.若均為純虛數(shù)，則為實數(shù) D.若為實數(shù)，則均為純虛數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解ABC，舉反例即可求解D.【詳解】設(shè)，．，．若，則，，所以，，所以A正確；若與均為實數(shù)，則，且，又，，所以，所以B正確；若，均為純虛數(shù)，則，所以，所以C正確；取，，則為實數(shù)，但，不是純虛數(shù)，所以D錯誤．故選：ABC．11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對任意，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的運算法則，結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.【詳解】因為，令得：，又因為，所以，故A正確；因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，且為偶函數(shù).令，可得：①再用代替可得：②①②得：所以：，所以是周期為3的周期函數(shù)，所以：，故B正確.因為：，，所以：，所以：，故C錯誤；又因為亦為周期為3的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以令，可得：，所以.所以：.故D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：對于可導(dǎo)函數(shù)有：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).若定義在上的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為，則其導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)，且周期也為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計算即可得.【詳解】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.故答案為：.13.已知三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)時，且，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】分析】當(dāng)時滿足：且，可得，進而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.【詳解】當(dāng)時滿足：且，，即，進而，解得．所以或，，令，，由于所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以故答案為：．14.已知棱長為8的正四面體，沿著四個頂點的方向各切下一個棱長為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計），則該球形容器表面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先求出正四面體的外接球半徑，再利用，結(jié)合外接球知識求出該八面體的外接球半徑即可求解.【詳解】如圖：設(shè)為正四面體的外接球球心，為的中心,為的中心,為的中點，由正四面體可知平面，因為平面，所以，又因為棱長為8，所以，，設(shè)正四面體外接球球心為，則在，則為外接球半徑，由得，解得，即,在正四面體中，易得，，所以，則該八面體的外接球半徑,所以該球形容器表面積的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出，由已知分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.【小問1詳解】當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，于是，即，所以的圖象在點處的切線方程是.【小問2詳解】函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，由，得，令，求導(dǎo)得，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.16.已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且其離心率為.（1）求橢圓方程；（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，求證：（為坐標(biāo)原點）為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由拋物線的焦點得橢圓焦點，即可結(jié)合離心率求解,（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合斜率公式即可求解.【小問1詳解】∵拋物線的焦點為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為【小問2詳解】證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.，即，設(shè)，，則，，∴，∴.∴為定值17.如圖，在正四棱臺中，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將正四棱臺補成正四棱錐，證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的正切值求出棱臺的高，求出相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】延長交于一點P，連接BD交AC于O；由正四棱臺定義可知，四條側(cè)棱交于點P，且四棱錐為正四棱錐，即，又點O分別為的中點，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，故分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱臺的高為h，則，又平面的法向量可取為，而，由題意知直線與平面所成角的正切值為，則其正弦值為，則，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，而二面角范圍為，故二面角的正弦值為.18.某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求.性別就餐區(qū)域合計南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計711788（1）現(xiàn)在對學(xué)生性別與在南北兩個區(qū)域就餐的相關(guān)性進行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為.張同學(xué)第1天就餐時選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第（）天他去甲餐廳用餐的概率.附：，；【答案】（1）沒有關(guān)聯(lián)（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方的公式代入計算，與臨界值比較，即可求解；（2）（?。└鶕?jù)相互獨立事件的概率，結(jié)合全概率公式即可求解；（ⅱ）根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.【小問1詳解】零假設(shè)：在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒有關(guān)聯(lián)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，，依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】設(shè)“第天去甲餐廳用餐”，“第天去乙餐廳用餐”，“第天去丙餐廳用餐”，則兩兩獨立，，由題意可得，，，，，，，，，（?。┯?，結(jié)合全概率公式可得，，所以張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為.（ⅱ）記第天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為，則，由全概率公式可得故①，同理可得②，③，④，由①②可得，由④可得，代入②中可得，即，且，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，所以，于是，當(dāng)時，，綜上所述，.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了獨立性檢驗問題以及相互獨立事件概率與數(shù)列結(jié)合問題，難度較大，解答本題的關(guān)