山東詩營市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)收心考試含答案

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期收心考試高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.2.設(shè)，隨機變量的分布列為：589則（）A. B. C. D.3.在展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.124.已知，兩點到直線：的距離相等，則（）A. B.6 C.或4 D.4或65.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱的中點，且，則（）A.6 B.8 C.9 D.106.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的一點，是圓上的兩點，則的最大值為（）A. B. C. D.7.今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A. B. C. D.8.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關(guān)于的對稱點為，若，，則（）注：表示面積.A2 B. C.3 D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分．9.4個男生與3個女生并排站成一排，下列說法正確是（）（選項中排列數(shù)的計算結(jié)果均正確）A.若3個女生必須相鄰，則不同的排法有種B.若3個女生中有且只有2個女生相鄰，則不同的排法有種C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有種D.若3個女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有種10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，分別為曲線（且）的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A.若為雙曲線，且它的一條漸近線方程為，則的焦距為B.若，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的面積為C.若為橢圓，且與雙曲線有相同的焦點，則的值為D.若，為曲線上一點，則的取值范圍是11.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工”（），事件“零件為次品”，則（）A B.C. D.12.在棱長為2的正方體中，為平面上一動點，下列說法正確的有（）A.若點在線段上，則平面B.存在無數(shù)多個點，使得平面平面C.當(dāng)直線平面時，點的軌跡被以為球心，為半徑的球截得長度為1D.若，則點軌跡為拋物線第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）13.已知為正整數(shù)，且，則__________.14.如圖，電路中A、B、C三個電子元件正常工作的概率分別為，則該電路正常工作的概率______.15.如圖，在棱長為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積為______.16.已知拋物線C：的焦點為F，，過點M作直線的垂線，垂足為Q，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為______．四、解答題（本大題共6小題，共計70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知，其中，，，，.且展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大.（1）求值及二項式系數(shù)最大項；（2）求的值（用數(shù)值作答）.18.如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．（1）求異面直線與所成的角的大??；（2）點在線段上，若，求與平面所成的角的大小．19.學(xué)生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進(jìn)行投籃測試．測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄?。虎廴羲谌志€處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不予錄?。阎獙W(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為．假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響．（1）求學(xué)生甲被錄取的概率；（2）在這次測試中，記學(xué)生甲投籃的次數(shù)為，求的分布列．20.已知拋物線，為的焦點，直線與交于不同的兩點、，且點位于第一象限.（1）若直線經(jīng)過的焦點，且，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點，為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值.21.如圖，等腰梯形中，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為上的一點，若平面與平面的夾角的余弦值為，求點到平面的距離．22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過點，直線與軸交于點，過的直線與交于兩點（異于），記直線和直線的斜率分別為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值；（3）設(shè)直線和直線的交點為，求證：在一條定直線上.2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期收心考試高二數(shù)學(xué)（2024.02）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知雙曲線，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)合漸近線方程求解即可.【詳解】因為雙曲線方程為：，所以漸近線方程為：.故選：D2.設(shè)，隨機變量的分布列為：589則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分布列的性質(zhì)，列式計算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】寫出每一項的表達(dá)式，即可得出的系數(shù).【詳解】由題意，在中，每一項為，當(dāng)即時，，故選：D.4.已知，兩點到直線：的距離相等，則（）A. B.6 C.或4 D.4或6【答案】D【解析】【分析】求出點到直線的距離和點到直線的距離，二者相等求解方程即可.【詳解】點到直線的距離為，點到直線的距離為，因為點到直線的距離和點到直線的距離相等，所以，所以或.故選：D.5.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱的中點，且，則（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的基本運算及數(shù)量積公式表示出，計算即可.【詳解】底面為菱形，，,為棱的中點,，解得.故選:A.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的一點，是圓上的兩點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，當(dāng)點與圓的距離最短時，且過與圓相切時，取得最大值，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由點是圓上的一點，是圓上的兩點，可得圓心，半徑，根據(jù)題意，當(dāng)點與圓的距離最短時，且過與圓相切時，此時取得最大值，此時，可得，所以，所以.故選：B.7.今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對觀看《長安三萬里》的人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用排列和組合計數(shù)原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】分以下兩種情況討論：（1）小明和其中一人同時看《長安三萬里》，另外兩人看剩余三部電影中的兩部，此時，所求概率為；（2）觀看《長安三萬里》只有小明一人，只需將剩余三人分為兩組，再將這兩組人分配給兩部電影，此時，所求概率為.綜上所述，恰有兩人看同一部影片的概率為.故選：B.8.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關(guān)于的對稱點為，若，，則（）注：表示面積.A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合橢圓性質(zhì)以及光學(xué)性質(zhì)得，再結(jié)合即可得解.【詳解】如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點共線.設(shè)，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是充分結(jié)合光學(xué)性質(zhì)以及橢圓定義，將線段長度都用來表示，由此即可順利得解.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分．9.4個男生與3個女生并排站成一排，下列說法正確的是（）（選項中排列數(shù)的計算結(jié)果均正確）A.若3個女生必須相鄰，則不同的排法有種B.若3個女生中有且只有2個女生相鄰，則不同的排法有種C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有種D.若3個女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有種【答案】BCD【解析】【分析】利用相鄰與不相鄰、有位置限制及定序的排列問題，列式計算判斷即可.【詳解】對于A，3個女生必須相鄰，則不同的排法有種，A錯誤；對于B，3個女生中有且只有2個女生相鄰，先排4個男生有種，3個女生取2個女生排在一起，與另1個女生插入4個男生排列形成的5個間隙中，有，不同排法有種，B正確；對于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有種，C正確；對于D，3個女生按從左到右的順序排列，不同的排法有種，D正確.故選：BCD10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，分別為曲線（且）的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A.若為雙曲線，且它的一條漸近線方程為，則的焦距為B.若，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的面積為C.若為橢圓，且與雙曲線有相同的焦點，則的值為D.若，為曲線上一點，則的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程即可判斷選項AB，利用橢圓和雙曲線方程中的關(guān)系即可判斷選項C，根據(jù)橢圓定義，化簡求解即可判斷選項D.【詳解】設(shè)曲線的半焦距為.對于A，若為雙曲線，則，所以，解得，則，雙曲線的焦距為，所以A錯誤；對于B，的一條漸近線方程為，，所以點到漸近線的距離，又，則，所以，所以B正確；對于C，因為橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，解得，故C正確；對于D，設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以的取值范圍是，故D錯誤.故選：BC11.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工”（），事件“零件為次品”，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】【分析】AB選項，根據(jù)題意可得到，，判斷AB；C選項，根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解；D選項，根據(jù)貝葉斯公式進(jìn)行計算.【詳解】AB選項，事件“零件為第i臺車床加工”（），事件“零件為次品”，則，，，，，，故A正確，B錯誤；C選項，，故C正確；D選項，，故D正確．故選：ACD．12.在棱長為2正方體中，為平面上一動點，下列說法正確的有（）A.若點在線段上，則平面B.存在無數(shù)多個點，使得平面平面C.當(dāng)直線平面時，點的軌跡被以為球心，為半徑的球截得長度為1D.若，則點的軌跡為拋物線【答案】ABC【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷AD的正誤，對于C，可先求出的軌跡為直線，再結(jié)合點線距可求軌跡被球截得的長度，故可判斷其正誤，對于D，可先求出的軌跡，據(jù)此可判斷其正誤.【詳解】由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.A，因為點在線段上，故，其中，故，設(shè)平面的法向量為，而，故，故，取，則，故，故，故，而平面，故平面，故A正確.B，，而，故平面，當(dāng)時，確定一個平面，此時平面，故平面平面，故B正確.C，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，又，故即，取，故，故，因為平面，故即，所以，故的軌跡為直線，而，故到直線的距離為，故點的軌跡（即直線）被以為球心，為半徑的球截得長度為，故C正確.D，因為，故在以為頂點，為軸的圓錐面上，且圓錐軸截面的頂角的半角為，在平面上，故在平面與圓錐面的截面上，但平面，故該截線為雙曲線的一支，故D錯誤，故選：ABC.【點睛】結(jié)論點睛：如果圓錐的軸截面頂角為，圓錐的對稱軸與平面所成的角為，則當(dāng)時，平面與圓錐面的截面為拋物線；當(dāng)時，平面與圓錐面的截面為橢圓，當(dāng)時，平面與圓錐面的截面為雙曲線的一支.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）13.已知為正整數(shù)，且，則__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由，根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式，可得，解得.故答案為：.14.如圖，電路中A、B、C三個電子元件正常工作的概率分別為，則該電路正常工作的概率______.【答案】【解析】【分析】由題知該電路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一個能正常工作，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式代入計算即可．【詳解】由題，該電路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一個能正常工作，設(shè)A，B，C元件能正常工作為事件A，B，C，該電路正常工作為事件D，由題A，B，C相互獨立，則故答案為：．15.如圖，在棱長為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，即可求掃過的面積.【詳解】由題設(shè)，，要使與直線所成角的大小為，只需與直線所成角的大小為，∴繞以夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，∴在上掃過面積為.故答案為：.16.已知拋物線C：的焦點為F，，過點M作直線的垂線，垂足為Q，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】本題先求出直線必過的定點，再求出的軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合求最值即可.【詳解】由得，所以直線過點．連接AM，則，由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，設(shè)，所以點Q的軌跡方程為（不包含點），記圓的圓心為，過點Q，P，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，Q，N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立，所以的最小值為．故答案為;四、解答題（本大題共6小題，共計70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知，其中，，，，.且展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大.（1）求值及二項式系數(shù)最大項；（2）求的值（用數(shù)值作答）.【答案】（1）（2）3281【解析】【分析】（1）根據(jù)題意知最大得出的值，再計算即可；（2）利用賦值法，分別令和，得出兩式，相加即可得出的值.【小問1詳解】因為展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，即僅有最大，所以，故.即，二項式系數(shù)最大項為第5項：；【小問2詳解】令，得，令，得.兩式相加可得.18.如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．（1）求異面直線與所成的角的大?。唬?）點在線段上，若，求與平面所成的角的大?。敬鸢浮浚?）；（2）.【解析】【分析】（1）異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角，求解即可；（2）作交于點，連接，則與平面所成的角為，由勾股定理求出，即可得出答案.【小問1詳解】因為為正方形，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角，因為正方形的邊長為1，三角形是等邊三角形．所以，平面平面，所以，所以，．所以異面直線與所成的角為．【小問2詳解】作交于點，連接，平面平面，則與平面所成的角為，因為，所以，則，所以，則與平面所成的角的大小為19.學(xué)生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進(jìn)行投籃測試．測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄??；③若他在三分線處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不予錄?。阎獙W(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為．假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響．（1）求學(xué)生甲被錄取的概率；（2）在這次測試中，記學(xué)生甲投籃的次數(shù)為，求的分布列．【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【小問1詳解】記事件，表示“甲在罰球線處投籃，第次投進(jìn)”，事件表示“甲在三分線處投籃，第次投進(jìn)”．則，，設(shè)事件C表示“學(xué)生甲被錄取”，則，所以，所以學(xué)生甲被錄取的概率為.【小問2詳解】由題分析知，的可能取值為2，3，4.所以的分布列為23420.已知拋物線，為的焦點，直線與交于不同的兩點、，且點位于第一象限.（1）若直線經(jīng)過的焦點，且，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點，為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的焦點弦長公式求出的值，即可得出直線的方程；（2）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可得出，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【小問1詳解】解：依題意知，.若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，，解得，所以，直線的方程為或，即或.【小問2詳解】解：若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，則，即.不妨設(shè)，則，所以，的面積為，的面積為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.所以的最小值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.如圖，等腰梯形中，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且．（1）證明：平面平面；